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takahashicleaning · 1 month ago

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ＴＥＤにて

ジョージ・ホワイトサイド: 簡潔性の科学に向けて

（詳しくご覧になりたい場合は��記リンクからどうぞ）

簡潔性！

私たちは、それを見れば今すぐ分かります。しかし、その正体は一体何でしょう？

この愉快で哲学的な講演で、ジョージ・ホワイトサイドが簡潔性の正体を解き進めていきます。

複雑性は世の中にたくさんあります。そして、複雑なことには、あまり意識しないのと同じようにシンプルな現象にも気にも留めません。

あって当然と思ってしまうためで、利便性や機能の利用性にのみに気を払います。無用のことにも気がつかないだけで実は、有用かもしれないのに・・・

数学は、代表的なことです。物理学との関係性がなければ、ただのゲームでした。

また、カントやロジェ・カイヨワが「戦争論」でも言ってるように、無用のもの、無益なものは無駄だとし、悪の概念である可能性が高いという、そのような偏見は、実は、人間に自分自身を見誤らせている。ようです。

日常でよく飲むかぜ薬？スマートフォン？インターネット？トランジスタ？１０進法と２進法など。様々な一例と一部を丁寧に紹介しながら、重要性を語ります。

簡潔性に関して、二つの考え方があります。ポッタースチュワートの引用文から。つまり、機能がシンプルであるとその簡潔性が何であるかは見れば分かります。

簡潔性に関するもう一つの考え方は、道徳哲学者が言うところのティーポット問題と呼ばれるものからの考え方です。

複雑性や創発について考えることには、多くの恩恵があります。簡潔性にはあまりないと言われています。

言葉も複雑性と創発です。この言葉のおかげで会話は始まり、あなたは物理現象以外のことを考えていられます。

複雑性とは、創発とは、あらゆる瞬間に皆さんの細胞それぞれで起こっている化学反応のほんの一部ですし、交通システムのようなもの、インターネットや数学とも言えます。

そして、細胞の驚くべきことは、割としっかりした協働関係を他の細胞と持っているということです。

簡潔性で複雑なものもあります。二進法や現在の集積回路。ご覧のようなチップの中に、それぞれ10億個ほどのトランジスタがあり、その全てが、常に完璧に作動しなくてはなりません。

これが簡潔性の第二層です。集積回路は、しっかり動作するという点で極めてシンプルなのです。

集積回路を用いるとスマートフォンやインターネットが作れます。

インターネットは、数学とともに始まります。二進法とともにです。下に並べたリストをご覧ください。1から10。そして、続いていくアラビア数��に私たちは慣れ親しんでいます。

二進法では、1 は、0001。7 は、0111 です。問題は、なぜ二進法は、アラビア数字よりシンプルなのか？答えは、単純にこういうことで、つまり、私が指を 3本立てると皆さんは簡単に数えることができます。

でもこうしたら？私が、今、7 を出したと判断するのは少し難しいでしょう。二進法の素晴らしいところは、これが数を表す最も簡潔な方法だということです。

他の方法は、全てこれより複雑です。二進法を用いることで間違いを防ぐことができます。表示も明白です。二進法には良い点がたくさんあります。なので、一度読み方が分かればこれはとてもシンプルです。

さて、もし二進法の 0 と 1 を表現したい場合には、何か機器が必要となります。皆さんの生活の中にあるもので二進法のものを思い浮かべてください。

一つは、照明のスイッチです。スイッチはオンオフできます。これは二進法です。

壁面スイッチは、誰もが知っての通り故障しますが、50 年ほど前。私たちの友人である物性物理学者は、あのガラス鐘の下にある洗練された機器を発明しました。

トランジスタです。トランジスタは、壁面スイッチ以上の何物でもありません。それは、何かをオンオフしますが、部品を動かすことなくそれを為すのです。基本的に長期間故障せずに作動します。

簡潔性の第二層は、トランジスタとインターネットでした。トランジスタは、とてもシンプルであったためまとめ合わせることができます。トランジスタをまとめ合わせると集積回路と呼ばれるものになります。

現在の集積回路は、ご覧のようなチップの中に、それぞれ10億個ほどのトランジスタがあるでしょう。その全てが、常に、人間の限界を遥かに超えて、完璧に作動しなくてはなりません。

これが簡潔性の第二層です。集積回路は、しっかり動作するという点で極めてシンプルなのです。

この集積回路を用いると携帯電話が作れます。皆さんは携帯電話がいつもきちんと動作することに慣れています。

要するに、機能がなければなりません。その機能は、予測可能でなければならず、同時に低コストでなければなりません。高性能。あるいは、対費用効果がなければならないということです。

次は、インターネットです。こちらは大陸間の通信量を表したマップです。真ん中にある二つのぼやけている光は、アメリカとヨーロッパで。

それでは、再び簡潔性に戻りましょう。これは、最も偉大なアイデアの一つだと思います。グーグルです。このシンプルなポータルから世界の全ての情報にアクセスできるとグーグルは謳っています。

ここでの要点は、桁外れにシンプルな高密度なアイデアは、幾層もの簡潔性の上に成り立っているということです。

それらが組み合わさって、シンプルな複雑性を作り上げます。完全に信頼性があるという意味でシンプルなのです。

では、4つの総論。1つの例。そして、2つの格言を話して終わりにしたいと思います。シンプルなものについて考えるときに、このような性質を考えると便利だと思います。

第一に、それは予測可能なものです。その振る舞いは予測可能です。シンプルなものの素晴らしい性質の一つは、一般的にそれが何をするものか分かるということです。

つまり、簡潔性と予測可能性は、シンプルなものの性質なのです。

第二に、これは実社会的なことですが、安いです。

十分に安い何かが、そこにあれば、誰かがその使い道を見つけます。それが、どれだけ原始的に思えるものであってもです（基本的人権を尊重することが前提です）

例えば、人間ではない石です。皆さんは、石から大聖堂を建てることができます。それには、石で何ができるか知っていれば良いだけです。石をブロック状に彫り、一つ一つ積み上げます。そうすることでものを支えることができます。

つまり、機能がなければなりません（人間に対して、そのまま用いると人権侵害になりますので、十分に注意してください）その機能は、予測可能でなければならず、同時に低コストでなければなりません。

つまり、高性能。あるいは、対費用効果がなければなりません（人間に対して、そのまま用いると人権侵害になりますので、十分に注意してください）

最後の構成要素として、私が取り上げたいのは、それが構成単位として機能する。あるいは、その可能性を秘めているということです。つまり、積み重ねができるということです。

積み重ねは、どの方向でも良いですし、ある任意のn次元空間においてでも良いです。

機能を有��ており、それが、とても安価であれば、人々は、新しいものを作るための新しい組み合わせを創発するかもしれません。

安価で、機能的で、そして、信頼性のあるものは、人々の創造性を解き放ちます。その人々は、想像もつかないものを作り上げるでしょう。

最初のトランジスタからインターネットを予見するなんて、とても無理です（人間ではなく機械なので組み合わせ可能です）ただただ、あり得ません。以上が構成要素です。

どこでも使える技術を選出し、極めて安価な機器を作り、高密度なアイデアでこのようなとても信頼性のある形に仕上げたことです。

この試みを成功させられたら、もっと機能を持たせることができたら、それは積み重ねられるようになります。

つまり、一つか二つうまくいく基礎的な研究や技術を確立できたら、それは、さまざまな症状の人に適用できるようになり、したがって、縦にも横にも拡張できるようになります。

最後に、二つの格言を紹介しておしまいとさせてください。

一つは、アインシュタイン氏によるものです「全ては、できるだけシンプルであるべきだ」「しかし、それ以上にシンプルであってはならない」と彼は述べています。

これは、問題を考えるにあたってとても良い方法だと思います。もし、シンプルなものから多くのものを取り除きすぎたら機能が失われます。低コストでなければなりませんが、機能が損なわれてもいけません。

したがって、過剰にシンプルにはできません。幸福に資する生産性も同じ。二つ目は、デザインに関するもので、簡潔性と直接関係はありませんが良い格言です。

もう一つは「星の王子さま」でよく知られているサンテグジュペリによるものです。スティーブジョブズも関係してきます。

「あなたが完璧なデザインを実現したと分かるのは」「それは付け加えるものがなくなった時ではなく」「取り除くものがなくなった時です」これは確実に正しい方向へ導くものでしょう。

ただ、重要な点は、一つには、ものを作る人の現実とものについて考える人の現実を区別することです。

もう一つは、次の問いを立てることには、知的な利点があるということです。「私たちはどのようにして」「可能な限りシンプルに安価に機能的に」「そして��自在に組み合わせられるようにものを作るでしょうか？」（人間だと人権侵害になります）

もし、私たちが持てる基礎研究や技術でこのような簡潔性を達成することができ、そして、皆さんに幸福を提供できたら皆さんは、それで、あらゆる素晴らしいことができるようになるでしょう。

どうもありがとうございました。

カオス理論にも、内蔵しているこのフラクタル構造とバタフライ(butterfly effect)効果は、量子力学の不確定性原理や一般相対性理論のような巨大なラグランジュ点にも似ています。

日本の仏教の曼荼羅？のような図形が導かれてしまうという不思議なアトラクターパターンにも似ています

これは、伝来している日本仏教にもテーラワーダ仏教（密教？）という形で古代から継承されています。

もしかして、何か複雑なシステムとも関係があるのかもしれません。

次元に関してはこの場合、数学的な次元を前提としています。

次元のコンパクト化の説明の前に、数学的な次元の重要性について、さて、一般相対性理論をカルツァは、電磁気力に応用していきます。

当時は、それが重力以外に考えられる唯一の力でした。つまり、電気や、磁石の引き付けなどを引き起こす力のことです。ここで空間と時間が歪むこと以外に、もしも次元が歪むことで電磁気力が働くかもしれないことに気づきます。

1926年にオスカークラインも、知覚で見えない次元がある可能性を示します。5 次元化して電磁気力も幾何学として表せるようにしたカルツァ・クライン理論というものです。

カルツァが3次元ではなく、4次元の宇宙における歪みと曲がりを説明する方程式を書き出した時、彼はアインシュタインがすでに３次元で導き出していた方程式を見出しました。それらは、重力を説明するための方程式です。

でも、カルツァは次元がひとつ増えたことによるもうひとつの方程式も見つけました。その方程式を見てみるとそれは正に科学者たちが長年の間。電磁力を表すために使ってきた方程式でした。驚くべきことです。それが、こつぜんと計算結果に現れてきたのです。

こうして、数学的な次元は、空間の量子化を数値的に表現できるようになっていくキッカケになりました。

その後のカルツァ・クライン理論は、無限に存在する次元の形状の一部をカラビ・ヤウ多様体として表現できました。

例えば、手を振って大きな弧を描く時、手のひらは3つの広がった次元の中ではなく、巻き上げられた次元の中を突っ切っています。

もちろん、巻き上げられた次元はとても小さいので、体を動かす間に、こうした次元を1サイクルして出発点に戻ることが繰り返され、その回数は、膨大な数にのぼります。このように次元の広がりが小さいと言う事は、手のような大きな物体が動く余地があまりないと言うことです。

これは、結び目の不変量にも関連しています。

まず初めに、円周を3次元ユークリッド空間に埋め込んだものを「結び目」と定��していることから始まります。

結び目理論においては、変形して移り合う「結び目」は、同じ「結び目」とみなして「結び目」を研究する。

「結び目」を研究するひもの結び方はいろいろあるので、様々なタイプの「結び目」がある。では、「結び目」のタイプはどのようにして区別すれば良いのであろうか？

「結び目」に対して定められる値で、「結び目」を変形することに関して不変であるようなものを「不変量」と言う。結び目理論は、トポロジー(位相幾何学)の一分野である。

1980年代に、数理物理的手法が、低次元トポロジーに導入されて、3次元トポロジーにおいては「結び目」と3次元多様体の膨大な数の不変量(量子不変量)が発見された。

これによって、4次元トポロジーには、ゲージ理論がもたらされることになりました。これらからゲージ場の数学的根拠として、活用されることになっていきます。

量子不変量は、数理物理に由来する量子群や共形場理論やチャーンサイモンズ理論を背景として、様々な代数構造を用いて構成される量子不変量やこれに関連するトピックを研究する研究領域を量子トポロジーと呼ばれています。

古典的な結び目理論においては、個々の結び目の特性を個別に研究する研究が中心であったが、量子トポロジーでは多くの「結び目の集合」を研究対象としています。

1980年代に結び目の不変量が大量に発見される発端になったのは、1914年にジョーンズ多項式と言う結び目不変量が発見されたことにあります。

その後、統計物理で知られていたヤンバクスター方程式の多数の解、つまり「R行列」を用いて大量の結び目不変量が発見されました。

さらに、1980年代後半に量子群が、発見されたことにより、それらの大量の不変量は、量子不変量として整理されて理解されるようになりました。

1990年代には、これらの大量の量子不変量を統一的に扱って、研究する2つの手法が開発されました。

これは、次元のコンパクト化への始まりになります。

1つは、コンセビッチ不変量と言う1つの巨大な不変量に、すべての量子不変量を統一する方法。

もう一つは、バシリエフ不変量と言う「共通の性質」で不変量を特徴づける方法があります。

ゲージ対称性、アイソスピン、クォーク理論、ヒッグス粒子など。

さらに、数理物理に由来する量子群や共形場理論、チャーンサイモンズ理論もあります。

そして、スーパーストリング理論や量子化学の「変分法」にも応用されている。

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