#minibrots

[mrvelocipede]

Having finished one elaborate ceiling medallion, it becomes very tempting to make more. If only because it means I can use colors I like better. Still very rococo-influenced, though.

[ztlawton]

The Mandelbrot Set

The Mandelbrot Set, named after mathematician Benoit Mandelbrot, is one of the most famous fractals. It is strange, beautiful, and chaotic. But what exactly is it?

Formally, the Mandelbrot Set is the set of all complex numbers 𝑐 that cause the function 𝑧ₙ₊₁ = 𝑧ₙ² + 𝑐, known as the complex quadratic map, to remain bounded within a circle of radius 2 when iterated from 𝑧₀ = 0 (for more info on the quadratic map, see our post on that topic).

That definition sounds complicated, so let’s break it down. Complex numbers are the sum of a real number and an imaginary number, represented as 𝑎 + 𝑏𝑖, where 𝑎 is on the horizontal axis and 𝑏𝑖 is on the vertical axis, and where 𝑖 squared is negative one (for more detail, see our post on complex numbers). To iterate a function means to take the output and plug it back in as the next input, then take the new output and plug it in as the next input, over and over again; the sequence of values generated by this process is known as an orbit. To remain bounded in this case means that the output is never farther than two units away from zero in any direction; if the orbit ever escapes that bounding circle, it will race off to infinity and never return.

Let’s consider some different values of 𝑐 and see what happens. We’ll start with zero. When 𝑐 = 0, our function becomes simply 𝑧ₙ₊₁ = 𝑧ₙ². Starting with 𝑧₀ as zero, each iteration is zero because zero squared is zero, so we never move. This never escapes our bounding circle, so zero is in the Mandelbrot Set.

What about one? If 𝑐 = 1, the first iteration of our function becomes 𝑧₁ = 0² + 1 = 1 (when 𝑧₀ = 0, the first iteration is always just 𝑐). The next iterations are 𝑧₂ = 1² + 1 = 2, then 𝑧₃ = 2² + 1 = 5, then 𝑧₄ = 5² + 1 = 26, and so on. Clearly, this is already outside a circle of radius two, and it just keeps on getting bigger. Therefore, one is not in the Mandelbrot Set.

How about negative one? If 𝑐 = −1, the next iterations are 𝑧₂ = (−1)² − 1 = 0, then 𝑧₃ = 0² − 1 = −1, then 𝑧₄ = (−1)² − 1 = 0, and so on. The orbit bounces back and forth between negative one and zero, never straying outside our bounding circle. Therefore, negative one is in the Mandelbrot Set, and has an orbit of period two.

What about negative zero point two five? If 𝑐 = −0.25, the next iterations are 𝑧₂ = (−0.25)² − 0.25 = −0.1875, then 𝑧₃ = (−0.1875)² − 0.25 = −0.21484375, then 𝑧₄ = (−0.21484375)² − 0.25 = −0.2038421630859375, then 𝑧₅ = (0.2038421630859375)² − 0.25 = −0.208448372548446…, and so on. The value of 𝑧 oscillates around the value (1 − √2) / 2, approximately 0.2071, getting closer with each iteration. This is not a true periodic orbit, because the value never repeats. However, as we continue iterating, the orbit becomes arbitrarily close to a true periodic orbit, so we call this orbit asymptotically periodic with a period of one. The orbit also never escapes the bounding circle, so negative zero point two five is in the Mandelbrot Set.

What about negative one point five? If 𝑐 = −1.5, the next iterations are 𝑧₂ = (−1.5)² − 1.5 = 0.75, then 𝑧₃ = 0.75² − 1.5 = −0.9375, then 𝑧₄ = (−0.9375)² − 1.5 = −0.62109375, then 𝑧₅ = (−0.62109375)² − 1.5 = −1.1142425537109375, and so on. It isn’t obvious what will happen next; the value jumps around chaotically, sometimes positive and sometimes negative, sometimes closer to zero and sometimes farther. If we keep iterating, we can find places where the value comes arbitrarily close to the starting point, but it never converges to a periodic cycle. The orbit is chaotic. However, even if we keep iterating forever, the value never gets farther than two units from zero, so negative one point five is in the Mandelbrot Set.

Let’s get complex. What about 𝑖? If 𝑐 = 𝑖, the next iterations are 𝑧₂ = 𝑖² + 𝑖 = −1 + 𝑖, then 𝑧₃ = (−1 + 𝑖)² + 𝑖 = −𝑖, then 𝑧₄ = (−𝑖)² + 𝑖 = −1 + 𝑖, and so on. This is an orbit with period two, so 𝑖 is in the Mandelbrot set, but our starting point isn’t one of the repeating values, so we call 𝑖 itself pre-periodic.

In general, there is no way to prove that any given complex number is inside the Mandelbrot Set. There are special cases, like 0, −1, and 𝑖, where we wind up in a perfect loop and thus know that we will never break out of the boundary circle, but such cases are a tiny minority. For most complex numbers we iterate the function some arbitrarily large number of times — say, a hundred, or a thousand — and if we still haven’t exceeded the boundary, we declare that number to be part of the set, or at least very close to it.

To visualize this, let’s create an image — a grid of pixels with horizontal and vertical coordinates. We’ll use the coordinates of each pixel as our value of 𝑐, with zero at the center of the image, and color each pixel based on what happens under iteration of our function. If the iterations ever get outside the circle of radius two, we know that the current value of 𝑐 is not in the set, and we record how many iterations it took to reach that boundary and use that number as a brightness value for that pixel — the more iterations, the brighter the pixel. If, after some large number of iterations, we are still inside the circle, we declare that the pixel is probably a member of the set and color it black. The result is an image like this:

Some features stand out immediately. We can see that the set consists of a large kidney-bean-shaped blob, a shape mathematically known as a cardioid, with many smaller circular features attached to it. Each circular region has more, even smaller disks and thin filaments (sometimes called antennae) attached, repeating down to infinitely small scales. The central shape is called the Main Cardioid, and the largest circular section is called the Main Bulb. Inside the filaments/antennae coming off each disk are smaller copies of the whole cardioid-and-bulbs shape, which are sometimes called Minibrots. The set is symmetrical about the real (horizontal) axis, but is not symmetrical about the imaginary (vertical) axis — it is heavily skewed to the negative real direction. The set is a fractal, meaning in this case that the boundary is infinitely complicated, so zooming in will always reveal more detail no matter how far you go. The boundary is also chaotic, meaning that small changes in the initial conditions (the value of 𝑐 or 𝑧₀) lead to large changes in the path of the orbit.

The Main Bulb is a perfect circle of radius ¼ centered on the number negative one. The Main Cardioid is a perfect cardioid that can be drawn by placing a circle of radius ¼ at zero and another at positive ½, rolling the second circle around the first without slipping, and tracing the path of the point that starts out in contact with the base circle. Each bulb on the Main Cardioid is attached at a point corresponding to a rational fraction of the whole rotation of this outer circle about the base circle.

The Mandelbrot Set is quasi-self-similar: each cardioid and bulb has an infinite number of smaller bulbs attached, each with its own infinite number of attached bulbs, down to infinitely small scales. The set also contains an infinite number of smaller copies of the cardioid-and-bulbs shape in the filaments that extend from the main shape. It is not obvious when just looking at the Mandelbrot Set, but it can be shown mathematically that the Main Cardioid is the only perfect cardioid, and the Main Bulb is the only perfectly circular bulb. All other copies are distorted by varying amounts depending on their location.

Because the Main Cardioid and the Main Bulb are geometrically perfect shapes, and all complex numbers inside these shapes are part of the Mandelbrot Set, when calculating the Mandelbrot Set we can easily test if a given point is inside one of these two regions to bypass having to iterate the point through the complex quadratic map hundreds or thousands of times. Of the two regions, the Main Bulb is simpler to check: if |𝑐 + 1| ≤ ¼, that value of 𝑐 is guaranteed to be in the set. The test for the Main Cardioid is a little more complicated: if |1 − √(1 − 4𝑐)| ≤ 1, that value of 𝑐 is guaranteed to be in the set.

Each region of the Mandelbrot Set has orbits with a distinct period and set of attracting points. Every bulb has a period that is an integer multiple of the period of the larger bulb or cardioid to which it is attached. The Main Cardioid has a period of one, with one attracting point, and is the only period-one region. The Main Bulb has a period of two, with two attracting points that the orbit cycles between, and is the only period-two region. The next largest bulbs, the ones at the top and bottom of the Main Cardioid, have periods of three, as does the cardioid of the largest Minibrot, located in the main antenna/filament coming off of the Main Bulb; these three regions are the only period-three regions. There are six period-four regions and fifteen period-five regions. In general, there are 2ⁿ⁻¹ regions with orbits that loop back to the start after 𝑛 iterations, but this includes all regions with periods that are factors of 𝑛. For example, there are 2⁴⁻¹ = 8 regions where a cycle of four iterations takes you back to your starting point: six period-four regions, plus the period-one region and the period-two region. The number of regions with period 𝑛 is sequence A000740 in the Online Encyclopedia of Integer Sequences.

Inside each period-𝑛 region is a point which, if used as the value of 𝑐, causes the orbit of 𝑧 to cycle perfectly through 𝑛 values, including the starting point of zero. This is known as a superattracting orbit, and that point is called the hyperbolic center of that region, though it is not the geometric center of any region besides the Main Bulb. The center of the Main Cardioid is zero, and the center of the Main Bulb is negative one. The center of the period-three minibrot is −𝜌², where 𝜌 is the Plastic Number, approximately 1.3247; the centers of the period-three bulbs are 𝜌² / 2 − 1 ± √(3𝜌 − 𝜌²) / 2 𝑖.

If 𝑐 is near a period-𝑛 region’s hyperbolic center, the orbit will tend towards a set of 𝑛 fixed points as the number of iterations goes to infinity, every 𝑛th iteration appearing to spiral in towards each fixed point in sequence. The farther away from the center 𝑐 is, the longer it takes for the orbit to approach its fixed points. If 𝑐 is exactly on the boundary of a region, at a rational fraction of the distance around the boundary, the orbit will still approach the fixed points, but extremely slowly. If 𝑐 is exactly on the boundary of a region, at an irrational fraction of the distance around the boundary, the orbit may never actually approach the fixed points, but only circle around them at roughly the same distance forever.

If 𝑐 is located inside the Main Cardioid, the single fixed point about which the orbit spirals lies inside a circle of radius ½ centered on zero. If 𝑐 is on the boundary of the Main Cardioid, the fixed point will be on the boundary of that circle. The location of the fixed point is given by the expression (1 − √(1 − 4𝑐)) / 2.

If 𝑐 is inside the Main Bulb, the two fixed points about which the orbits spiral will lie inside a curve called a lemniscate of Bernoulli with foci at 0 and −1. If 𝑐 is on the boundary of the Main Bulb, the fixed points will be on the boundary of that lemniscate. The locations of the fixed points are given by the expression (−1 ± √(−3 − 4𝑐)) / 2.

Higher-period regions do not have neat expressions for their fixed points. Their fixed points, at the regions’ boundaries, make distorted lemniscates with 𝑛 distinct foci, where 𝑛 is the period of the region.

The area of the Mandelbrot Set is approximately 1.506484. There is no known formula for directly calculating the area; instead, most attempts at finding the area of the set rely on generating an image of the set, counting the pixels that are members of the set, and multiplying by the area of each pixel. The accuracy of this method depends on the size of the individual pixels and on the number of iterations calculated to determine if a given pixel is part of the set. More iterations and/or smaller pixels increases the accuracy at the expense of also greatly increasing calculation time.

The Mandelbrot Set is simply connected. This means that you can “walk” from any point inside the set to any other point within the set, without ever stepping outside the set. All Minibrots are connected to the main body by infinitesimally thin, but continuous, filaments. Being simply connected also means that there are no “holes”, or regions that are not part of the set but that are completely surrounded by the set.

[olbaid-st]

Mandelbrot Landscape #37 Blessing

This is a #Mandelbrot Set zoom #fractal video rendered with UltraFractal6.This video is based on the following fractal art still image. https://www.deviantart.com/olbaid-st/art/Mandelbrot-75-Blessing-402266856 When I finished the above image, I associated it with Minibrot receiving something from God. That's where the title comes from. I really like the scene around 1:51 where I zoom in on the mesh pattern. It's a simple red and gold piece, but I hope you like it.

[kochfee]

750 g - über - Nacht - Brot

Plus 2 x Mini-Brot-Teig auf Vorrat:

Große Schüssel auf die Waage: 1 kg Mehl + 1 Tütchen Trockenhefe + 20 g Salz vermengen mit Loch-Kochlöffel. Kuhle bilden.

Hinein: 440 g Wasser + 330 g Bier + vermengen mit Kochlöffel. Verkneten mit Teigkarte oder einer Hand. Bedecken.

1-2 Stunden zimmerwarm stehen lassen.

Falte den Teig mit einer Teigkarte vom Rand zur Mitte. Stelle eine Waage bereit und zwei 750-ml-Dosen. Teig abtrennen: 440 g pro Dose. Deckel zu.

In den Kühlschrank. - Stelle die Dosen an die kälteste Stelle im Kühlschrank, falls vorhanden: ins 0-Grad-Fach oder Fleisch+Fisch-Fach. Bis zu 2 Wochen hast du Zeit, diesen Teig zu verwenden. Backe in dieser Weise.

Restlichen Teig in der großen Schüssel belassen. Bedeckt über Nacht zimmerwarm stehen lassen, für mindestens 8 und höchstens 20 Stunden.

Am nächsten Tag kannst du backen:

Große Teigschüssel: Falte den Teig mit einer Teigkarte rundum vom Rand zur Mitte.

Stelle einen 22/24/26-Durchmesser gusseisernen Topf mit feuerfestem Deckel aufs Backofen-Gitter. Backofen vorheizen bei 250 Grad mit Umluft+Ober+Unterhitze für mindestens 15 Minuten.

Schiebe den Teig aus der großen Teigschüssel heraus mit einer Teigkarte direkt in den heißen Topf hinein. Deckel zu.

Sofort in den Backofen. Wecker auf 20 Minuten.

Herd runter schalten auf 200 Grad. Wecker auf 30 Minuten.

Auf einem Kühlgitter ablegen, damit der Boden nicht nass wird beim Abkühlen.

Optional: Erst nach dem Auskühlen anschneiden, damit es einen glatten Schnitt gibt.

[kemoding]

Traditionell werden am Erntdankfest Minibrote für einen guten Zweck verkauft, heuer ging der sehr gute Erlös an die Familie Humm, welche durch eine Gasexplosion zwei Familienmitglieder und ihren gesamten Besotz verloren hatt.

[zwentner]

Extreme ‘Mandelbrot Zoom’ on Beethoven Piano Sonata

Mein neuer YouTube Lieblingskanal zum Zeit verbrennen heißt Fractal Universe. Er hat sich zur Aufgabe gemacht psychedelische Visuals zu erstellen, die auf der sog. Mandelbrot-Menge basieren.

13.07.2018

Keine Chance, mathematisch verstehe ich das nicht mal im Ansatz. Wenn ihr wollt probiert’s doch selbst.Viel Erfolg ;) Wenn ihr aber nicht zufällig mindestens Hobby-Mahematiker seid, dann wird es euch wie mir ergehen, just saying…

Die Mandelbrot-Menge ist die Menge aller komplexen Zahlen , rekursiv definierte Folge beschränkt ist. für welche die durchBilder der Mandelbrot-Menge können erzeugt werden, indem für jeden Wert des Parameters , der gemäß obiger Rekursion endlich bleibt, ein Farbwert in der komplexen Ebenezugeordnet wird. Die Farbwerte können dabei gemäß der Anzahl von Iterationen festgelegt werden oder auch in einer schwarz-weiß Darstellung visualisiert werden. Mittels dieser Art der Visualisierung entsteht aus der Mandelbrotmenge ein Fraktal, das im allgemeinen Sprachgebrauch oft Apfelmännchen genannt wird. Die ersten computergrafischen Darstellungen wurden 1978 von Robert Brooks und Peter Matelski vorgestellt. 1980 veröffentlichte Benoît Mandelbrot, nach dem die Menge benannt wurde, eine Arbeit über das Thema.

Viel wichtiger ist aber das was man damit erzeugen kann. Die Kunst scheint darin zu liegen die Mandelbrot Menge in möglichst vielen aneinandergereihten Interationen darzustellen. So entsteht die Illusion einer gezoomten Kamerafahrt. Im Fractal Universe gibt es sollte Videos zu sehen, unterlegt mit passender Mucke.

Im folgenden Clip, unterlegt mit ‘Beethovens 15. Piano Sonate’, behaupten sie mit 250 Millionen Iterationen, den bisherigen Rekord gebrochen zu haben. Wie gesagt keine Ahnung ob das stimmt, doch ich bin gerade noch schlau genug um echten Augenzucker zu erkennen, den wir hier definitiv vor uns haben. Einfach hypnotisch!

This is the absolute record of biggest number of iterations for Mandelbrot set. The ancient record, which was 250,000,000 iterations, has been beaten nowadays. The minibrot at 3:25 (10^74) have 100,000,000 iterations. at 9:00, the picture represent the final minibrot with 150,000,000 iterations.

( Erst wenn Du “Play” klickst, sammelt Google Deine Daten: Infos >Hier< )

Image Source: YouTube

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[gropinginthedark]

The Hardest Mandelbrot Zoom Ever In 2014,10^198 : New record - 350 000 000 iterations This is the absolute record of biggest number of iterations for Mandelbrot set. The ancient record, which was 250,000,000 iterations, has been beaten nowadays. The minibrot at 3:25 (10^74) have 100,000,000 iterations. at 9:00, the picture represent the final minibrot with 150,000,000 iterations. For those who want to test thenumber of iterations : Re = -1.74999841099374081749002483162428393452822172335808534616943930976364725846655540417646727085571962736578151132907961927190726789896685696750162524460775546580822744596887978637416593715319388030232414667046419863755743802804780843375 Im = -0.00000000000000165712469295418692325810961981279189026504290127375760405334498110850956047368308707050735960323397389547038231194872482690340369921750514146922400928554011996123112902000856666847088788158433995358406779259404221904755 Zoom = 4.784E198 Realized with : Kalles fraktaler 2.6.2 Music : Beethoven - Piano Sonata No. 15 in D major, Op. 28, Pastoral I. Allegro https://youtu.be/zXTpASSd9xE

[leipzigermama]

Butternut-Mini-Kürbisbrot | Rezept

Immer wenn ich mir einen Butternut-Kürbis hole mache ich nicht nur leckere Butternut-Kürbissuppe daraus, sondern direkt auch Brot. Meist habe ich dann so viel, dass ich entweder was mit auf Arbeit nehme oder einfriere. Und heute teile ich mit euch mein Rezept für solche gelblastige Minibrote ;) Vom Geschmack her, sind sie den Brioche gar nicht so unähnlich. Man kann ihn auch mit Milchbrötchen vergleichen. Dazu passt perfekt Erdbeer-Marmelade oder auch Apfel-Ingwer-Marmelade.

Mehr unter:

https://leipzigermama.de/butternut-mini-kuerbisbrot-rezept/

[chillypepperhothothot]

minibrot by louPasc on Flickr.

[jaobeautyjunkie]

Guten Morgen! Zuerst lecker Frühstück (Minibrote mit Prosciutto, Tomate & Avocado), dann wieder ab an die Arbeit! Zuvor aber noch eine Runde #running! Ich hab mir vorhin nen neuen Trainingsplan erstellen lassen, da das mit dem letzten so gut geklappt hat (um das Tempo noch weiter zu erhöhen) und jetzt soll ich 5mal die Woche laufen geh'n 😄 Was gibt's bei euch heute leckeres? #blogger #avocado #bloggerde #bloggers #breakfast #bbloggers #blogger_de #fitness #fit #sport #run #runner #running #joggen #laufen #runners #runnersworld #shealth #health #healthy #fitfam #fitspo #fitspiration #foodporn #food #foodie #foodblogger #lecker #yummy

[mrvelocipede]

This one is the intersection of several ideas that I've seen lately: one, that fractals are kind of like angels (infinite, hard to understand, made of strange geometries) and two, that there are angels for all sorts of familiar things, like the Angel of Water Coming to a Boil, or the Angel of Fallen Leaves Decaying into Dirt.

So here we have the Angel of Flimsy Comic-Book Logic.

[diekuechebrennt]

Kräuter Zupfbrot / Faltenbrot Rezept in der Springform

So schnell könnt ihr gar nicht gucken, wie sich ein warmes Kräuter Zupfbrot / Faltenbrot beim Grillen in Luft auflöst. Warmes weiches Brot mit einem Hauch Kräuterbutter und Parmesankruste - verständlich, dass da nicht sonderlich lange etwas übrig bleibt oder?  

Tolles Brot zum Grillen

Frisches, selbstgemachtes Brot ist mittlerweile eigentlich Pflicht bei uns beim Grillen. Da muss ich schon wirklich gar keine Zeit haben, das ich mir das Backen nehmen lassen. Wenn es aber passt, probiere ich gerne auch mal was Neues aus und experimentiere etwas. Gut.. manchmal geht das schief, dann gibt´s auch kein frisches Brot *lach*. Aber meistens sind die Ergebnisse durchaus vorzeigbar und häufig sogar sehr lecker und dann dürfen sie auch auf den Blog! Das hier ist eher ein Klassiker, schon gefühlte 100x so oder in abgewandelter Form gemacht, aber noch nie verbloggt. Wird langsam mal Zeit dachte ich mir und somit gibt es heute das Kräuter Zupfbrot / Faltenbrot Rezept für euch. Wieder ein sehr einfaches Rezept, keine Angst vor der Hefe.. das ist wirklich ganz easy! Wer möchte kann hier verschiedenste Käsekrusten oder auch verschiedene Buttersorten benutzen. Auch unsere mediterrane Tomatenbutter oder die Senf-Kräuterbutter machen sich ganz wunderbar im Brot. Man kann auch einfach mehrere kleine Gläser mit Broten machen und verschiedene Buttersorten benutzen.    

  Zupfbrot / Faltenbrot in der Springform / Glasform oder Kastenform

In welche Art von Form ihr das Brot packt, ist völlig euch überlassen. Die runde Variante mit der schaut natürlich sehr cool aus, aber auch eine Variante mit der schaut echt cool aus. Hier solltet ihr den Teig dann aber lieber in 10x10cm große Stücke schneiden, einmal übereinander schlagen und dann aufrecht rein stellen. So entstehen quasi schon "vorgeschnittene" Stücke, die man einfach rausziehen kann. Meine kleinen Gläschen hier sind mehr aus der Not heraus entstanden, aber haben mir damals so gut gefallen, dass ich das seitdem häufiger gemacht habe. So könntet ihr jedem Grillgast z.B. ein eigenes kleines Faltenbrot hinstellen. Backofenfeste kleine Formen gibt es aus Glas oder Keramik. Meine hier sind übrigens ehemals Nachspeisen von Gü gewesen, die ich aufgehoben habe. Süß oder? :)   Kräuter Zupfbrot / Faltenbrot in der Springform Author: Die Küche brennt Prep time: 120 mins Cook time: 40 mins Total time: 2 hours 40 mins Serves: 1 Ingredients 500 g Mehl 1 frische Hefe 300ml lauwarmes Wasser 10g Salz 1 Prise Zucker 2 EL Olivenöl 50g Parmesan 150 g weiche Kräuterbutter (z.B. unsere mediterrane Tomatenbutter oder Senf-Kräuterbutter) 2 zerhackte Knoblauchzehen italienische Kräutermischung (getrocknet) Springform 26cm Instructions Zuerst löst ihr eure Hefe zusammen mit der Prise Zucker unter Rühren im lauwarmen Wasser auf. Dann gebt ihr das Salz und Olivenöl dazu und lasst nach und nach das Mehl einrieseln. Alles zu einem glatten Teig verkneten. Den Teig für ca. 1h abgedeckt an einem warmen Ort stehen lassen. In der Zeit könnt ihr die Kräuterbutter machen oder einfach die Beine hochlegen :-) Ist der Teig aufgegangen nehmt ihr in aus der Schüssel und legt ihn auf eine bemehlte Arbeitsfläche. Nochmal kurz gut durchkneten und dann rollt ihr ihn (möglichst) als eckige Form aus. Nun bestreicht ihr den Teig mit eurer weichen Kräuterbutter. Bei 150g Kräuterbutter wird das Brot durchaus "buttrig" aber nicht zu extrem. Wenn ihr es softer bzw. saftiger mit Butter möchtet, verdoppelt einfach die Menge. Schneidet euch jetzt ca. 10cm große Dreiecke, rollt sie von der kurzen Seite her auf (wie bei einem Croissant) und stellt sie dann in eine Springform (mit Backpapier drin). Das macht ihr nun mit dem gesamten Teig. Wenn ihr am Ende noch etwas übrig habt, könnt ihr es einfach in ein Glasförmchen stecken und habt noch ein paar Minibrote. Als letzten Schritt vor dem Ofen bestreut ihr jetzt euer Brot noch mit dem Parmesan und ggf. noch etwas italienischen Kräutern. Ab in den Ofen damit und bei 180°C ca. 40-50 Minuten backen. Durch das Backpapier kriegt ihr das Brot prima raus oder ihr stellt es direkt in der Form auf den Tisch - warm schmeckt das nämlich auch göttlich! Notes Die "Optik" kommt übrigens vom allein beim Backen. Macht euch da nicht verrückt, wenn ihr die gerollten Dreiecke in die Form stellt... am Anfang schaut das überhaupt nicht schick aus. Wird aber :) 3.5.3226

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[mrvelocipede]

exercises: the baroquening

This is a photograph of part of the ceiling in the Charlottenburg Palace.

When I first saw this picture, a number of years ago now, I immediately thought it looked a lot like the kinds of patterns you get around minibrots. Which made me wonder what Baroque-era designers might have done if they'd had access to actual fractal geometry, and then made me wonder how close I could get to this same effect.

If I start with something like this

and add a lot of gold filigree and whatnot

Pretty close. It's a lot of work, though. I've been tinkering with this version for at least a week (for more hours per day than I like to admit to), and according to my records I have several dozen older and less successful attempts dating back to 2018.

The minibrot at the center of the symmetry is too small to see, at this magnification, but it only takes a little bit of a zoom for it to show.

[mrvelocipede]

Octarine, 2008

[mrvelocipede]

South Transept, 2015

[mrvelocipede]

You know what would make a neat scarf, actually, is this one.