#Henri Poincare

[postersbykeith]

[tenth-sentence]

If a third object – a moon, say – is introduced, it was proven in the late nineteenth century by Heinrich Burns and, later, Henri Poincaré that no general solutions to Newton's equations can be found.

"Human Universe" - Professor Brian Cox and Andrew Cohen

[tagitables]

Happy Birthday !! ^^ 🎂

[incorrectlooneytunesquotes]

Science is facts just as houses are made of stones, so is science made of facts but a pile of stones is not a house and a collection of facts is not necessarily science.

Wile E. Coyote 

[unnatural-transformations]

My Favorite Mathematical Proofs [2 of n]

For any convex polyhedron with V vertices, E edges and F faces it is always true that V-E+F=2. This result is known as Euler's formula, named after the prolific Swiss mathematician Leonard Euler. In more modern terminology, we can also express this fact by saying that a convex polyhedron has Euler characteristic equal to 2.

However, the story of this formula goes back to well before Euler, and it would be decades after Euler before any really satisfactory proofs were discovered.

Ancient Greek mathematicians had proved the existence of exactly five convex, regular polyhedron [also known as the Platonic solids]. Recall that these are:

The tetrahedron, which has 4 vertices, 6 edges and 4 [triangular] faces

The cube, which has 8 vertices, 12 edges and 6 [square] faces

The octohedron, which has 6 vertices, 12 edges and 8 [triangular] faces

The dodecahedron, which has 20 vertices, 30 edges and 12 [pentagonal] faces

The icosahedron, which has 12 vertices, 30 edges and 20 [triangular] faces

[The images above are from the Polytope Wiki and were created using Robert Webb's Stella Software, http://www.software3d.com/Stella.php]

In the 16th century, the Sicilian mathematician Francesco Maurolico observed that all five Platonic solids satisfy the equation V-E+F=2. A couple of centuries later, Euler -- who probably wasn't aware of Maurolico's earlier work -- discovered that the same formula seems to hold for convex polyhedron more generally [i.e. without the assumption of regularity]. However, Euler himself did not publish a convincing proof. (It feels a bit surprising that it took mathematicians this long to notice what now seems such an obvious fact. In fact, in the 17th century René Descartes had stated a result about the face angles of a polyhedron which implies Euler's formula, but Descartes doesn't seem to have explicitly recongized the connections between face angles and edges.)

Imre Lakatos' (excellent) book Proofs and Refutations uses a (deliberately very simplified) version of the history of attempts by mathematicians to investigate this formula as a way of discussing Lakatos's thoughts on the role of proof-attempts in developing mathematics. Rather than describe the actual history, Lakatos presents a discussion of Euler's claim in a classroom setting, with the various students (named Alpha, Beta, Gamma and so on) variously attempting to prove, falsify, defend or expand the scope of the original formula. Reading this book as a teenager made a huge impact on me, and I'd recommend it to anyone interested in the philosophy of mathematics who hasn't read it before (just don't take the historical footnotes too literally...).

I was particularly impressed by the final proof Lakatos presents (through the student named Epsilon), which is actually due to Henri Poincare (who is really the first mathematician to establish topology -- or 'analysis situ', as he called it -- as a branch of mathematics in its own right).

Epsilon's proof works by first translating the geometric definitions of polyhedron (or more generally any n-dimensional polytope) into purely combinatorial language. A polyhedron is a collection of objects called vertices, edges and faces, all of which can be related to each other in terms of incidence matrices. These incidence matrices let us translate our new combinatorial terms into the language of linear algebra. The vertices, edges and faces of our polyhedron become the basis of vector spaces over the field with two elements. The geometrically intuitive notion of a 'boundary' (of a given polygonal face, say) corresponds to a linear map between such vector spaces, which sends a given face to the sum of its boundary elements (a polygon is mapped to the formal sum of the edges that bound it, an edge is mapped to the sum of its two vertices, and so on).

Finally Euler's original claim about polyhedrons becomes a claim about the properties of this map, which we can prove directly using the rank-nullity theorem.

For the simplest possible example, consider the tetrahedron $P^T$.

(Obviously in any worked example like this when we can simply read off the number of faces, edges and vertices such a proof seems redundant. The point is that we can show that this approach will work for any convex polyhedron, or indeed convex polytope, not just a given one.)

The faces $F^T_i$, edges $E^T_j$ and vertices $V^T_k$ are related as shown in the Hasse diagram below.

We associate a vector space to each row of the diagram, with basis given by the number of nodes on that row. The boundary maps δn map each basis element to the [basis element corresponding to the] sum of the nodes incident to this element on the row below. This then extends linearly to a map defined on the whole vector space.

It can be checked directly from the diagram that the boundary maps are as given below:

Indeed, working over the field with two elements (so that addition is modulo 2), we can explicitly calculate the kernel and image of all four of these maps. The results are summarzied in the table below.

Note that the image of δn is always equal to the kernel of δn-1. Epsilon argues -- or asserts, anyway -- that this is necessarily true for any simply connected polyhedron [and in particular any convex polyhedron]. A polyhedron is simply connected if it contains no 'holes'; and a hole in a polyhedron would correspond exactly to an element of the kernal of δn that was not an element of the image of δn-1.

Assuming this to be true -- and noting that the images of both δ3 and δ0 are always one dimensional for any single polyhedron, we have, using the rank-nullity theorem and the fact that F, E and V are by definiton the dimensions of the vector spaces V2, V1 and V0:

The proof as presented in Proofs and Refutations is not quite as rigorous as Epsilon claims (and indeed the slightly longer version that appears in Coexter's Regular Polytopes suffers from some of the same flaws). Nonetheless, I found it pretty amazing when I first saw it. It would be a few more years before I knew anything about algebraic topology or category theory [even basic linear algebra was quite new to me at the time], and this idea of solving a problem in one mathematical field by transforming it into something that seemed to be completely unrelated kind of blew my mind at the time.

As always, more details below the cut, where I try to sketch a version of the proof that holds for n-dimensional convex polytopes.

We start by defining a convex polytopes, which are a generalization of two-dimensional polygons and three-dimensional polyhedra to any n dimensions.

This definition doesn't mention vertices explicitly, but these arise as particular points in the convex hull. For example, the tetrahedron is the convex hull of its four vertices in three dimensional space, while the (regular) pentagon is the convex hull of its five vertices in two dimensional space.

However note that two different sets may have the same convex hull. For example, if a and b are points and we add a new point 0.5a + 0.5b this clearly does not change the convex hull. More generally if any point p can be written as the convex combination of a set of points S then the convex hull of S ⨃ {p} is just the convex hull of S.

The vertices (or extreme points) of a convex set are exactly those elements that cannot be written as a convex combination of any other points.

Definition 1 also makes no explicit mention of 'faces' or 'edges' but these concepts can be recovered. It is conventional to use the more general term 'face' to refer to both edges and (two-dimensional) faces and their higher dimensional generalizations. (Some authors use 'facet' to specifically refer to the faces of codimension 1.)

[As @bubbloquacious pointed out in the replies, the version of this definition I stated originally didn't correctly define the dimension of a face. This definition has now been updated.]

The set of all faces has the structure of a particular type of partially ordered set. We recall some related terminology:

We can now introduce the face lattice of a polytope. This is a purely combinatorial object that (we claim) captures all the information about a convex polytope we will need for our proof of Euler's (generalized) formula.

See the texts by Grünbaum or Ziegler below for more details. The geometric properties of a polytope are often easier to reason about when translated into the languages of lattices. To begin to do this, we need a few more definitions.

The face lattice of a polytope has many of these properties. We will not use them all in the proof but list them anyway for background. The key property we want to make use of is the so-called diamond property.

For example, the dual of the face lattice of a cube is the face lattice of the octohedron while the dual of the face lattice of the dodecahedron is the face lattice of the icosohedron. The tetrahedron's face lattice is self-dual.

We will not prove Proposition 6 by the interested reader is again encouraged to check the references, particularly the book by Ziegler.

We will try to be a little more careful than Epsilon in establishing that the boundary maps have the properties we want. In words, we want to show that 'boundaries have no boundaries' and 'all cycles are boundaries'.

We just need one more result before stating our main theorem.

A proof of this result can be found in any linear algebra textbook.

Now we are ready to state and prove our result.

References & Further Reading

H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes (Methuen, 1947)

Branko Grünbaum, Convex Polytopes (John Wiley & Sons, 1967)

Imre Lakatos, Proofs and Refutations (Cambridge University Press, 1976)

Richard Stanley, Enumerative Combinatorics Volume 1 (Wadsworth & Brooks/Cole, 1986)

Gunter M. Ziegler, Lectures on Polytopes (Springer-Verlag, 1995)

[loving-n0t-heyting]

Til henri poincare (the mathematician) played an important role in the dreyfus affair by cowriting an eli5 on applied probability theory to rebut sophisticated eulering expert testimony by alphonse bertillon, an anti dreyfusard and foundational figure in modern forensics, that had been used to convict dreyfus

A bunch of sources here connected to the topic

[waltfrasescazadordepalabras]

Probamos por medio de la lógica, pero descubrimos por medio de la intuición.

(Henri Poincare)

[dreams-of-mutiny]

MORTIMER ADLER’S READING LIST (PART 2)

Reading list from “How To Read a Book” by Mortimer Adler (1972 edition).

Alexander Pope: Essay on Criticism; Rape of the Lock; Essay on Man

Charles de Secondat, baron de Montesquieu: Persian Letters; Spirit of Laws

Voltaire: Letters on the English; Candide; Philosophical Dictionary

Henry Fielding: Joseph Andrews; Tom Jones

Samuel Johnson: The Vanity of Human Wishes; Dictionary; Rasselas; The Lives of the Poets

David Hume: Treatise on Human Nature; Essays Moral and Political; An Enquiry Concerning Human Understanding

Jean-Jacques Rousseau: On the Origin of Inequality; On the Political Economy; Emile, The Social Contract

Laurence Sterne: Tristram Shandy; A Sentimental Journey through France and Italy

Adam Smith: The Theory of Moral Sentiments; The Wealth of Nations

Immanuel Kant: Critique of Pure Reason; Fundamental Principles of the Metaphysics of Morals; Critique of Practical Reason; The Science of Right; Critique of Judgment; Perpetual Peace

Edward Gibbon: The Decline and Fall of the Roman Empire; Autobiography

James Boswell: Journal; Life of Samuel Johnson, Ll.D.

Antoine Laurent Lavoisier: Traité Élémentaire de Chimie (Elements of Chemistry)

Alexander Hamilton, John Jay, and James Madison: Federalist Papers

Jeremy Bentham: Introduction to the Principles of Morals and Legislation; Theory of Fictions

Johann Wolfgang von Goethe: Faust; Poetry and Truth

Jean Baptiste Joseph Fourier: Analytical Theory of Heat

Georg Wilhelm Friedrich Hegel: Phenomenology of Spirit; Philosophy of Right; Lectures on the Philosophy of History

William Wordsworth: Poems

Samuel Taylor Coleridge: Poems; Biographia Literaria

Jane Austen: Pride and Prejudice; Emma

Carl von Clausewitz: On War

Stendhal: The Red and the Black; The Charterhouse of Parma; On Love

Lord Byron: Don Juan

Arthur Schopenhauer: Studies in Pessimism

Michael Faraday: Chemical History of a Candle; Experimental Researches in Electricity

Charles Lyell: Principles of Geology

Auguste Comte: The Positive Philosophy

Honore de Balzac: Père Goriot; Eugenie Grandet

Ralph Waldo Emerson: Representative Men; Essays; Journal

Nathaniel Hawthorne: The Scarlet Letter

Alexis de Tocqueville: Democracy in America

John Stuart Mill: A System of Logic; On Liberty; Representative Government; Utilitarianism; The Subjection of Women; Autobiography

Charles Darwin: The Origin of Species; The Descent of Man; Autobiography

Charles Dickens: Pickwick Papers; David Copperfield; Hard Times

Claude Bernard: Introduction to the Study of Experimental Medicine

Henry David Thoreau: Civil Disobedience; Walden

Karl Marx: Capital; Communist Manifesto

George Eliot: Adam Bede; Middlemarch

Herman Melville: Moby-Dick; Billy Budd

Fyodor Dostoevsky: Crime and Punishment; The Idiot; The Brothers Karamazov

Gustave Flaubert: Madame Bovary; Three Stories

Henrik Ibsen: Plays

Leo Tolstoy: War and Peace; Anna Karenina; What is Art?; Twenty-Three Tales

Mark Twain: The Adventures of Huckleberry Finn; The Mysterious Stranger

William James: The Principles of Psychology; The Varieties of Religious Experience; Pragmatism; Essays in Radical Empiricism

Henry James: The American; ‘The Ambassadors

Friedrich Wilhelm Nietzsche: Thus Spoke Zarathustra; Beyond Good and Evil; The Genealogy of Morals; The Will to Power

Jules Henri Poincare: Science and Hypothesis; Science and Method

Sigmund Freud: The Interpretation of Dreams; Introductory Lectures on Psychoanalysis; Civilization and Its Discontents; New Introductory Lectures on Psychoanalysis

George Bernard Shaw: Plays and Prefaces

Max Planck: Origin and Development of the Quantum Theory; Where Is Science Going?; Scientific Autobiography

Henri Bergson: Time and Free Will; Matter and Memory; Creative Evolution; The Two Sources of Morality and Religion

John Dewey: How We Think; Democracy and Education; Experience and Nature; Logic; the Theory of Inquiry

Alfred North Whitehead: An Introduction to Mathematics; Science and the Modern World; The Aims of Education and Other Essays; Adventures of Ideas

George Santayana: The Life of Reason; Skepticism and Animal Faith; Persons and Places

Lenin: The State and Revolution

Marcel Proust: Remembrance of Things Past

Bertrand Russell: The Problems of Philosophy; The Analysis of Mind; An Inquiry into Meaning and Truth; Human Knowledge, Its Scope and Limits

Thomas Mann: The Magic Mountain; Joseph and His Brothers

Albert Einstein: The Meaning of Relativity; On the Method of Theoretical Physics; The Evolution of Physics

James Joyce: ‘The Dead’ in Dubliners; A Portrait of the Artist as a Young Man; Ulysses

Jacques Maritain: Art and Scholasticism; The Degrees of Knowledge; The Rights of Man and Natural Law; True Humanism

Franz Kafka: The Trial; The Castle

Arnold J. Toynbee: A Study of History; Civilization on Trial

Jean Paul Sartre: Nausea; No Exit; Being and Nothingness

Aleksandr Solzhenitsyn: The First Circle; The Cancer Ward

Source: mortimer-adlers-reading-list

[rlyehtaxidermist]

hairy ball theorem

on one hand, it's a funny name. on the other hand, it makes computer graphics so much more complicated. on the third hand, the hairy doughnut construction is a funnier name. on the table next to me, preserved like a butterfly on a pinboard, Henri Poincare stares, confused, wondering why the modern world is like this and whether he will ever be returned to his own time.

for his sake I think pass.

[brookstonalmanac]

Birthdays 4.29

Beer Birthdays

Matthew Vassar (1792)

Robert Cain (1826)

Phillip Jacob Ebling Jr. (1861)

Pat McIllhenney (1954)

Tom Riley (1963)

Five Favorite Birthdays

Duke Ellington; jazz composer (1899)

Tommy James; pop singer (1947)

Rafael Sabatini; writer (1875)

Jerry Seinfeld; comedian (1955)

John Waters; film director (1946)

Famous Birthdays

Andre Agassi; tennis player (1970)

Luis Aparicio; Chicago White Sox SS (1934)

John Arbuthnot; Scottish scientist, mathematician (1667)

Thomas Beechum; orchestra conductor (1897)

Philippe Brun; jazz trumpeter (1908)

Daniel Day-Lewis; actor (1958)

Lonnie Donegan; folk singer (1931)

Nora Dunn; actor, comedian (1952)

Dale Earnhardt; automobile racer (1951)

Oliver Ellsworth; Chief Justice of the U.S. Supreme Court (1745)

William Randolph Hearst; newspaper magnate (1951)

Celeste Holm; actor (1917)

David Icke; writer, conspiracy theorist (1952)

Irvin Kershner; film director (1923)

Rod McKuen; folk singer (1933)

Zubin Mehta; orchestra conductor (1936)

Donald Mills; singer, "Mills Brothers" (1915)

Kate Mulgrew; actor (1955)

Tommy Noonan; actor (1922)

Michelle Pfeiffer; actor (1958)

Eve Plumb; actor (1958)

Henri Poincare; French mathematician (1854)

Malcolm Sargent; orchestra conductor (1879)

Toots Thielmans; jazz musician (1922)

Uma Thurman; actor (1970)

Klaus Voorman; rock bassist (1942)

Rachel Williams; model (1967)

Carnie Wilson; pop singer (1968)

Fred Zinnemann; film director (1907)

[whats-in-a-sentence]

His version of entropy, expressed concisely by the equation on his tombstone, uses statistical reasoning to provide a link between the hire number of individual ingredients that make up a physical system and the overall properties the system has.⁴

4. To keep the focus on modern ways of thinking about these ideas, I am skipping over some very interesting history. Boltzmann's own thinking on the subject of entropy went through significant refinements during the 1870s and 1880s, during which time interactions and communications with physicists such as James Clerk Maxwell, Lord Kelvin, Josef Loschmidt, Josiah Willard Gibbs, Henri Poincaré, S. H. Burbury, and Ernest Zermelo were instrumental. In fact, Boltzmann initially thought he could prove that entropy would always and absolutely be nondecreasing for an isolated physical system, and not that it was merely highly unlikely for such entropy reduction to take place. But objections raised by these and other physicists subsequently led Boltzmann to emphasize the statistical/probabilistic approach to the subject, the one that is still in use today.

"The Fabric of the Cosmos" - Brian Greene

[bilimuzay]

Kaos Teorisi Nedir? - Kaos Kuramı: Kelebek Etkisi

Kaos Teorisi Nedir? - Kaos Kuramı: Kelebek Etkisi

Kaos teorisi, ilk bakışta karmaşık ve anlaşılması güç görünen fenomenleri açıklamaya yardımcı olan büyüleyici bir bilim dalıdır. Kaos Kuramı, küçük başlangıç koşullarının büyük ve öngörülemeyen sonuçlara yol açabileceği fikri üzerine kuruludur; bu, "kelebek etkisi" olarak bilinir. Ancak, kaos teorisi sadece hava durumu tahminleri veya meteorolojik olaylarla sınırlı değildir. Tarih boyunca, kaos teorisi kompleks sistemleri, yapay zekayı, fraktalları, evrimi ve kuantum fiziğini anlamada önemli bir rol oynamıştır. Bu blog yazısında, kaos teorisinin kökenlerinden başlayarak, nasıl geliştiğini ve günümüzde farklı bilim dallarında nasıl uygulandığını detaylı bir şekilde ele alacağız. Unutmayın, kaos aslında gizli bir düzeni temsil eder ve onu keşfetmek, evrene dair anlayışımızı genişletebilir. Hazırsanız, karmaşık ama bir o kadar da heyecan verici bu yolculuğa başlayalım.

Kaos Teorisinin Tarihçesi

Henri Poincare Kaos teorisi, başlangıçta deterministik sistemlerin düzensizliğini anlamak amacıyla ortaya çıkmıştır. 20. yüzyılın başlarındaki klasik fizikte, sistemlerin davranışlarının önceden tahmin edilebileceği düşünülmekteydi. Ancak, Henry Poincaré'nin çalışmaları, bu teoriye yeni bir perspektif kazandırdı. Poincaré, çok küçük değişikliklerin büyük ve öngörülemeyen sonuçlara yol açabileceğini gösterdi. Bu düşünce, kaos teorisinin temelini oluşturdu.

Edward Lorenz Kaos teorisinin önemli bir dönüm noktası, 1960'larda Edward Lorenz tarafından geliştirilen Lorenz Çekicisi ile gerçekleşti. Lorenz, hava durumu tahminleri üzerine çalışırken, başlangıç koşullarındaki çok küçük bir farkın hava durumundaki büyük değişimlere neden olabileceğini keşfetti. Bu olgu, kelebek etkisi olarak bilinir hale geldi. Lorenz'in çalışmaları, kaos teorisine olan ilgiyi önemli ölçüde artırdı. 1980'lerde, kaos teorisi popülerleşmeye başladı. Bu dönemde, belirsizliğin ve karmaşıklığın sadece fiziksel sistemlerde değil, biyolojik, ekonomik ve sosyal sistemlerde de yer aldığı anlaşıldı. Bu dönemde kaos teorisi ve kompleks sistemler arasındaki bağlantılar daha belirgin hale geldi. Stanford Üniversitesi'nden Mitchell Feigenbaum, karmaşık sistemlerin doğasını inceleyerek, evrensel sabitler ve aynı tipte sonuçlara ulaşan farklı dinamik sistemler üzerinde çalıştı. Bu keşifler kaos teorisinin geniş kabul görmesine yardımcı oldu. - Klasik Fizik ve Determinizm - Henry Poincaré'nin İzlenimleri - Edward Lorenz'in Lorenz Çekicisi ve Kelebek Etkisi - 1980'lerde Kaos Teorisinin Popülerleşmesi DönemÖnemli İsimlerKatkılar1900'lerHenry PoincaréDeterministik sistemlerde düzensizlik, öngörülemeyen değişiklikler1960'larEdward LorenzHava durumu tahminleri, Lorenz Çekicisi, Kelebek Etkisi1980'lerMitchell FeigenbaumKompleks sistemler, evrensel sabitler

Kaos Teorisi ve Kompleks Sistemler

Kaos teorisi, dinamik sistemlerin davranışını inceleyen önemli bir alandır ve bu teorinin birçok uygulama alanı mevcuttur. Kompleks sistemler, kaos teorisinin en ilgi çekici uygulama alanlarından biridir. Bu sistemler, düzensiz ve öngörülemez davranışlar sergilerken, aynı zamanda belirli bir düzen veya yapı içerisinde faaliyet gösterirler. Kaos teorisinin kompleks sistemlerdeki etkilerini anlamak için, kaos teorisi ile başlayan süreci incelemek oldukça önemlidir. Örneğin, meteoroloji modellerinde küçük farklılıkların büyük sonuçlara yol açabileceği fikri, kaos teorisinin en bilinen örneklerinden biridir. Bu durum, kelebek etkisi olarak da adlandırılmaktadır ve burada kompleks sistemlerin davranışı net bir şekilde gözlemlenebilir. Aşağıdaki tabloda, kaos teorisinin kompleks sistemlerde hangi alanlarda nasıl kullanıldığını g��rebilirsiniz: Uygulama AlanıÖrnekEkonomiFinansal piyasaların öngörülemez dalgalanmalarıBiolojiEkosistemlerin dinamik yapılarıSosyal BilimlerToplumsal değişimlerin karmaşık yapılarıKaos Teorisinin, Kompleks sistemler üzerine kullanımı Kompleks sistemler, birçok farklı bileşeni ve bu bileşenlerin birbirleriyle olan etkileşimlerini içerir. Aşağıda, kompleks sistemlerin bazı özelliklerini sıraladık: - Bileşenlerin Çokluğu: Kompleks sistemler, çok sayıda bileşeni içerir. - Etkileşimler: Bu bileşenlerin birbirleriyle karmaşık etkileşimleri vardır. - Öz Düzenleme: Kompleks sistemler, genellikle belli bir düzen içerisinde kendilerini organize ederler. Bu bağlamda, kaos teorisi kompleks sistemlerin davranışlarını açıklamada ve bu sistemlerin nasıl işlediğini anlamada önemli bir araçtır. Kaos teorisi, birbirine bağlı ve karmaşık süreçlerin şekillenmesinde kritik bir rol oynar. Bu nedenle, kaos teorisi ve kompleks sistemler arasındaki ilişki, bilim dünyasında büyük bir araştırma konusudur.

Kaos Teorisi ve Yapay Zeka

Kaos teorisi, dinamik sistemlerdeki düzensiz ve tahmin edilemez davranışları inceleyen bir bilim dalıdır. Bu teori, başlangıç şartlarına son derece duyarlı sistemlerde küçük değişikliklerin büyük sonuçlara yol açabileceğini savunur ve bu olgu, genellikle kelebek etkisi olarak adlandırılır. Yapay zeka ise, makinelerin insan benzeri davranış ve karar alma süreçlerini simüle etmeye yönelik teknolojiler ve algoritmalar bütünüdür. Kaos teorisi ile yapay zeka arasındaki bağlantılar, karmaşık ve öngörülemez sistemlerde tutarlı çözümler bulmak için önemli fırsatlar sunar. Örneğin, yapay zeka algoritmaları, kaos teorisi prensiplerini kullanarak tahmin yapma yeteneklerini geliştirebilirler. Karmaşık hava tahmin sistemleri, finans piyasaları ve hatta toplumsal davranış modelleri gibi düzensiz ve değişken veri setlerini analiz ederken, kaos teorisi matematiksel araçlar sağlayarak bu sistemlerdeki belirsizlikleri daha iyi anlamamıza yardımcı olabilir. Yapay zeka ve kaos teorisi arasındaki iş birliği, teşhis ve öngörü gibi alanlarda devrim niteliğinde ilerlemeler kaydedebilir. Örneğin, tıbbi teşhis sistemlerinde, kaotik veri yapıları ve değişkenlikler göz önünde bulundurularak, daha hassas ve özgüvenli kararlar alınabilir. Bu bağlamda, kaos teorisi ile güçlendirilmiş yapay zeka sistemleri, başlangıç şartlarındaki küçük değişikliklerin büyük etkiler yaratabileceği durumlarda daha güvenilir sonuçlar elde edebilirler. - Kaos teorisinin yapay zeka algoritmalarına entegrasyonu - Öngörü ve tahmin süreçlerinde kaos teorisinin rolü - Tıbbi teşhis ve diğer uygulama alanlarında kaos teorisi Uygulama AlanıKaos Teorisi KullanımıYapay Zeka ve Kaos TeorisiHava TahminiTahmin yapma doğruluğunun arttırılmasıDinamik ve değişken verilerin analiz edilmesiFinansPiyasa dalgalanmalarının öngörülmesiFinansal modellemelerde doğrulukTıbbi TeşhisBelirsizliklerin analiziHassas ve güvenilir teşhislerKaos Teorisinin, Yapay zeka üzerinde kullanımına örnekler

Kaos Teorisi ve Fraktallar

Kaos teorisi, karmaşıklığın ve düzensizliğin altında yatan derin düzeni araştırırken, fraktallar bu düzene görsel bir temsil sağlar. Fraktal ÖzellikleriFraktal ÖrnekleriÖzyinelenen DesenlerKar Tanesi, Mandelbrot SetiHassas BağımlılıkLorenz Çekicisi Bir fraktal, kaos teorisi içinde kendini tekrar eden desenlere sahip olan ve matematiksel olarak karmaşık yapıları ifade eden bir objedir. Bu objeler, doğanın birçok yerinde bulunabilir ve bize doğadaki kaotik düzen hakkında ipuçları verir. - Fraktallar, doğada çok yaygın olan ve örneğin bulutlar, dağlar, ve nehir yatakları gibi yapılarda gözlemlenebilen geometrik şekillerdir. - Kaos teorisi bu tür yapıları anlamamızı sağlar ve fraktalların nasıl oluştuğunu açıklayabilir. - Fraktalların temel özelliklerinden biri, her bir detalta daha da küçük, ancak benzer bir yapıya sahip olmalarıdır, bu da doğanın kaotik yönlerinin bilimsel bir kavrayışını sağlar. Kaos teorisi ile fraktallar arasındaki ilişkiyi anlamak, doğal dünyanın derinliklerinde yatan düzene dair daha kapsamlı bir inceleme imkanı sunar.

Kaos Teorisi ve Evrim

Kaos teorisi, biyolojiden ekonomiye kadar geniş bir yelpazede uygulanabilir. Kaos teorisi ve evrim teorisi arasındaki ilişki, yaşamın karmaşıklığını anlamamızda önemli bir rol oynamaktadır. Evrim, biyolojik çeşitliliğin ve organizma seviyesindeki karmaşıklığın zamanla nasıl ortaya çıktığını araştırır. Kaos teorisi ise, biyolojik sistemlerde gözlemlenen düzensiz ve karmaşık davranışların altında yatan dinamikleri anlamamıza yardımcı olur. Örneğin, genetik mutasyonlar ve doğal seçilim mekanizmaları kaotik süreçler olarak değerlendirebilir. Bir türün çevresel koşullarındaki küçük değişimler, büyük evrimsel sonuçlara yol açabilir. Bu kelebek etkisi olarak bilinen kavram, kaos teorisinin bir bileşeni olup, evrimsel süreçlerin karmaşıklığını daha iyi kavramamızı sağlar. Kaos Teorisi ile İlgili KonularUygulama AlanlarıGenetik MutasyonlarBiyoloji ve GenetikDoğal SeçilimBiyolojik Evrim Evrim süreci, kaos teorisi kapsamında ele alındığında, türler arası etkileşimlerin karmaşıklığını ve bu etkileşimlerin sistemin bütününe olan etkilerini daha iyi anlamamızı sağlar. - Evrimsel değişikliklerin tahmin edilemezliği - Biyolojik çeşitliliğin sürpriz doğası - Çevresel koşulların etkileri Özetle, kaos teorisi ve evrim arasındaki bu iç içe geçmişlik, biyolojik sistemlerin dinamik ve karmaşık yapısını daha derinlemesine incelememize olanak tanır.

Kaos Teorisi ve Kuantum Fiziği

Kaos teorisi, fiziksel ve matematiksel sistemlerdeki düzensizlikleri açıklamak için kullanılmaktadır ve kuantum fiziği, atom altı parçacıkların davranışlarını inceler. İlk bakışta, bu iki alan arasında herhangi bir bağlantı kurmak zor gibi gözükse de, aslında bu alanlar birbirleriyle oldukça ilişkilidir. Kaos teorisi, sistemlerin başlangıç koşullarındaki küçük farklılıkların zamanla büyük ve tahmin edilemez sonuçlara yol açabileceğini belirtir. İşte burada kelebek etkisi devreye girer; örneğin, Amazon ormanlarında bir kelebeğin kanat çırpması, Kuzey Amerika'da bir fırtınaya neden olabilir. Bu bağlamda, kaos teorisinin kuantum fiziğindeki yeri çok önemlidir çünkü kuantum sistemleri de başlangıç koşullarına karşı son derece hassas olabilir. Kuantum fiziğindeki birçok fenomen, kaotik davranışlar sergiler. Atom altı seviyedeki parçacıkların hareketleri, klasik fizik kurallarıyla açıklanamaz. Aşağıdaki tabloda kuantum fiziği ve kaos teorisinin bazı temel özelliklerini karşılaştırabilirsiniz: Kaos TeorisiKuantum FiziğiDüzensizlik ve karmaşıklıkBelirsizlik ve olasılıklarDeterministik ama öngörülemezİndeterministikKelebek etkisiHeisenberg'in Belirsizlik İlkesi Kuantum fiziğinde, parçacıkların durumları ve davranışları genellikle olasılık dalgaları ile tanımlanır. Bu dalgalar, tıpkı kaotik sistemlerde olduğu gibi, başlangıç koşullarındaki küçük değişikliklere duyarlıdır. Kuantum dünyasındaki bu belirsizlik ve düzensizlik, büyük ölçekli sistemlerde kaotik davranışların neden görülebildiğini açıklar. Kaos teorisi ve kuantum fiziği, modern bilimin en karmaşık ve en ilgi çekici alanlarıdır. Her iki alan da, doğanın düzenini ve düzensizliğini anlamamıza yardımcı olur ve birbirlerini tamamlayan perspektifler sunar. - Kaos teorisinin temel kavramları - Kuantum fiziğinin temel ilkeleri - Kaos teorisinin kuantum fiziğine uygulanması Kaynak: Kaos Teorisi Nedir? Read the full article

[tagitables]

Henri Poincaré's signature ! 😍

[math1089]

Unveiling the World of Magic Bi-Deci Cards

The mathematician does not study pure mathematics because it is useful; he studies it because he delights in it and he delights in it because it is beautiful. Henri Poincare A binary number is a number expressed in the base-2 numeral system, using only two symbols: 0 (zero) and 1 (one). The base-2 numeral system is a positional notation with a radix of 2, and each digit is referred to as a…

[thexchangeonline]

Henri Poincare

"Thought is only a flash between two long nights, but this flash is everything."

[isaaclewis]

Reply to a Facebook post

(Context: the original post was a discussion of a quote by Henry Poincare. "The scientist does not study nature because it is useful; he studies it because he delights in it, and he delights in it because it is beautiful." The OP held that this quote represented a "Platonist mindset", i.e., the idea that we pursue knowledge as an end-in-itself and not for any practical purpose. [If you read this as pursuing knowledge solely as an end-itself, and deliberately eschewing all practical purposes, then this is a bad idea for those who value the advance of industrial civilisation.] Someone else agreed and added "nature is not beautiful, it is messy". The below was my reply.)

Nature contains order, symmetry, organisation, patterns, structure. It follows laws and the laws create regularities. Grasping the recurring patterns in the world is pleasing to the mind, for a similar reason that grasping the patterns in a piece of music, or the shape of a beautiful building or car, is pleasing.

= = = = =

This post bugged me a lot; I thought about it a bit and I think I know why.

Anyone who is deeply immersed in their work (truly valuable work that they aim to do with a superlative degree of quality), at the times when they are immersed in their work, feels like *they are doing the work for its own sake*, and not for the benefit of others. The true craftsman wants to deeply understand his ideal user, but that is because his craft has to be closely fit to the needs of the (ideal) user, and not because he is doing the work for the sake of others.

People who are deeply immersed in truth-seeking work (like science) do so for the joy of discovery. E O Wilson (who, incidentally, Harry Binswanger knocked for his work on "sociobiology") described the "Ionian Enchantment" -- the discovery that the disparate phenomena in the world can be explained as the product of a small number of fundamental factors interacting. When Peikoff talks about cognitive "integration", he's clearly talking about something very similar. Maslow describes "intellectual peak experiences" encountered by those who make fundamental discoveries, and many others who do original work describe, in different forms, the experience of mentally rearranging elements into harmonious wholes, of identifying patterns, of successfully forming *gestalts*. All of this indicates a deep link between truth-seeking and aesthetic experiences.

This is equally true for people (like me) who work in more tangible fields. The joy of building something new is more closely tied to the excitement of anticipating the effects the new creation will have in reality, but it also stems from the mental activity of invention and creativity: of taking a high-level objective, breaking it down into lower-level pieces, rearranging the pieces, understanding sub-problems and solving them, repeating the process at lower and higher levels, etc.

People gain many different values from their work. It's difficult to tell a priori whether or not a given person is doing their work for the "right" reasons, or if they're just struggling to express overpowering emotions. Anyway, this is why I tend to avoid certain philosophical groups these days, and just try to explore reality directly, myself, without intermediating commentary. The fundamental ideas (reason, reality, etc) are rock-solid; the debates around those ideas caused me endless confusion for years, until I checked out and went my own way.