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takahashicleaning · 22 days ago

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大規模言語モデルまとめ2025。数学や物理学が得意？Grok 3 DeepSearchを用いて人間には不可能なトポロジーなイメージを描かせて見た

イーロンマスクが買収した後に登場したGrok3の他には・・・まず巨大な法人が提供してる大規模言語モデルのApple Intelligence 。

次に、OpenAIのChatGPT (MicrosoftのCopilotに搭載)とGoogleのGeminiとMeta（旧フェイスブック）のオープンソースのLlama 3（ラマ3）と差が縮まってきてます。

最後に2025年2月後半に登場したAmazonのアレクサが大規模言語モデルに対応してGAFAMがすべて揃いぶみしました！

OpenAIのChatGPTが呼び水となり風穴を開けてから国家予算レベルの巨大法人による約2年ちょっと位での怒涛の巨大投資と開発スピードの追随は凄まじい！！

大小含めて毎日、大規模言語モデルの話題が出ていますが、Apple Intelligence 以外の他の大規模言語モデルのセキュリティやプライバシーの懸念もあります。

個人的には、抽象的に言葉で質問した入力ワード。例えば、わかってる数学理論を入力したら自動でグラフにして候補イメージを表示してくれたり

さらには、その数学を土台にして物理学のシュミレーションでは、どのような物理にあてはまるのか？力学、熱力学、電磁気学、量子力学の分野ごとに候補イメージを自動で表示してもらいたい。

以下本題です。

トポロジーや非線形の数式を画像ジェネレーティブAIにイメージとして描かせれば良いかもしれないと気づいた！

無限とも言える形状を世界中の研究者が探究してパターンを分類すれば研究が加速するかもしれない。

以下を入力。

結び目の不変量での体積予想の結果の先に「双曲構造の量子化とは何か？」が目標としてあります。最新論文を調査して解明して下さい。さらに量子エンタングルメントはワームホールと等価であることの数学的裏付けを体積予想で絵にして表現して下さい。

無料版では、絵は描けないから違う人工知能。画像ジェネレーティブAIに描かせた。

以下は出力結果

結び目の不変量での体積予想とその先にある双曲構造の量子化

体積予想とは何か？

体積予想は、結び目理論における重要な予想の一つで、特に結び目が双曲構造を持つ場合にその特性を表す不変量として双曲体積が注目されます。双曲体積とは、結び目の補空間（結び目を取り除いた3次元空間）が双曲3次元多様体として表現される場合の、その多様体の体積を指します。体積予想によれば、この双曲体積は結び目の複雑さや性質を反映する重要な量であるとされます。

双曲構造の量子化とは何か？

双曲構造の量子化とは、双曲幾何学の概念（特に双曲体積や関連する幾何学的性質）を量子論の枠組みで捉え直すことを意味します。このアプローチは、古典的な双曲幾何学と量子力学の接点を模��するもので、特に双曲3次元多様体の量子化が研究の焦点となっています。

背景: 双曲3次元多様体の体積は、結び目の不変量として古典的に研究されてきました。これを量子論的に解釈することで、新しい不変量や物理的洞察が得られる可能性があります。

研究の目標: 双曲3次元多様体の量子不変量を定義し、それが古典的な双曲体積とどのように関連するかを探ることが一つの目標です。

最新の研究動向:

双曲幾何と量子論の融合を目指す研究が行われています。

例えば、双曲3次元多様体の量子化を通じて、体積や他の幾何学的特性が量子情報量（例: エンタングルメントエントロピー）とどのように対応するかが注目されています。

ただし、これらの研究はまだ初期段階であり、具体的な数学的定式化や証明には至っていません。最新の論文を調査することで、より詳細な知見が得られる可能性があります。

量子エンタングルメントとワームホールの等価性（ER=EPR仮説）

ER=EPR仮説とは？

量子エンタングルメントとワームホールの等価性は、量子重力理論における重要な洞察であり、ER=EPR仮説として知られています。

ER: アインシュタイン-ローゼンブリッジ（ワームホール）を指します。これは時空の異なる領域を結ぶトンネル状の構造です。

EPR: 量子もつれ（エンタングルメント）を指します。これは二つの粒子が空間的に離れていても、量子状態が強く相関している現象です。

仮説の内容: ER=EPR仮説は、量子もつれを持つ二つの粒子が、時空のワームホールで結ばれているという考えに基づいています。

数学的裏付け: AdS/CFT対応

この等価性の数学的裏付けは、AdS/CFT対応（反ド・ジッテン時空と共形場理論の対応）を用いて探求されています。

AdS/CFT対応とは:

AdS時空（反ド・ジッテン時空）における重力理論が、AdSの境界上の共形場理論（CFT）と等価であるという理論です。

この対応は、時空の幾何学と量子場の理論を結びつける強力なツールです。

ワームホールとエンタングルメントの関係:

AdS/CFT対応の枠組みでは、AdS時空内のワームホールは、境界上のCFTにおけるエンタングルメントと関連付けられます。

例えば、AdS時空の体積や幾何学的構造は、境界理論のエンタングルメントエントロピーと対応することが知られています。

体積予想とER=EPR仮説の結びつき

体積予想とER=EPR仮説を結びつけるためには、双曲3次元多様体の体積が量子論的な観点からどのように解釈されるかを考える必要があります。

双曲3次元多様体の量子化とエンタングルメント:

双曲3次元多様体の体積を量子化し、それがエンタングルメントエントロピーや他の量子情報量と関連付けられる可能性があります。

AdS/CFT対応では、AdS時空の体積が境界理論のエンタングルメントエントロピーと対応することが知られています。双曲3次元多様体の場合も、類似のアプローチで体積とエンタングルメントの関係を探ることができるかもしれません。

概念的なイメージ:

体積予想をER=EPR仮説の文脈で視覚的に表現するならば、双曲3次元多様体の体積が、量子もつれを持つ二つの領域を結ぶワームホールの「太さ」や「長さ」に対応するようなイメージが考えられます。

例えば、結び目の双曲体積が大きいほど、その結び目が表すワームホールがより「太く」なり、エンタングルメントの強さが強くなるといった具合です。

体積予想を絵で表現するアイデア

以下に、体積予想とER=EPR仮説を結びつけた概念的なイメージを説明します。

結び目と双曲体積:

結び目の補空間が双曲3次元多様体として表現され、その体積が計算されます。

この体積は、結び目の複雑さや特性を表す量です。

ワームホールとエンタングルメント:

ER=EPR仮説に基づき、量子もつれを持つ二つの領域（粒子）を考えます。

この二つの領域は、時空のワームホールで結ばれていると解釈されます。

体積とワームホールの対応:

双曲3次元多様体の体積を、ワームホールの幾何学的特性（例: ワームホールの「太さ」や「長さ」）に対応させます。

具体的には、体積が大きいほどワームホールが「太く」なり、エンタングルメントの強度が高いことを示すイメージです。

視覚的表現:

図の構成:

左側: 結び目とその補空間（双曲3次元多様体）を描く。

右側: 量子もつれを持つ二つの粒子と、それらを結ぶワームホールを描く。

中央: 双曲体積とワームホールの太さを対応させる矢印や説明を加える。

(出力はできないから他の人工知能でプロンプト代用。トポロジーな非線形の形なら描くことは最適？)

一枚目↓ 結び目とその補空間（双曲3次元多様体）状態のみ？

もう一枚追加↓エンタングルメントの短距離相関図？

もう一枚追加↓ 補空間（双曲3次元多様体）から伸びるエンタングルメントの長距離相関図？

例:

結び目の双曲体積が大きい場合、ワームホールの断面積が大きくなる。

ワームホールの太さは、エンタングルメントエントロピーの大きさに比例する。

「ブラックホールエントロピー」は体積ではなく、面積に比例する！（ベッケンシュタイン・ホーキングの公式から。通常の物質の熱力学では、エントロピーやエネルギーは、常に体積に比例する）

注意点と今後の展望

研究の現状:

双曲構造の量子化や、体積予想とER=EPR仮説の結びつきは、まだ研究の初期段階にあります。

具体的な数学的定式化や証明には至っておらず、理論的な探求の対象となっています。

最新の論文を調査することで、より詳細な知見が得られる可能性があります。

今後の課題:

双曲3次元多様体の量子不変量を厳密に定義し、それが古典的な双曲体積とどのように関連するかを解明する必要があります。

AdS/CFT対応の枠組みを双曲3次元多様体に適用する方法を具体化することが求められます。

エンタングルメントエントロピーと双曲体積の関係を数学的に証明することが重要です。

結論

双曲構造の量子化:

双曲3次元多様体の体積や幾何学的性質を量子論の枠組みで捉え直す試みであり、双曲幾何と量子論の接点を模索する研究分野です。

最新の研究では、双曲3次元多様体の量子不変量と古典的な双曲体積の関連性が注目されています。

量子エンタングルメントとワームホールの等価性:

ER=EPR仮説に基づき、量子もつれを持つ二つの粒子がワームホールで結ばれていると解釈されます。

AdS/CFT対応を通じて、この等価性が数学的に探求されています。

体積予想とER=EPRの結びつき:

双曲3次元多様体の体積を量子化し、それがエンタングルメントエントロピーと関連付けられる可能性があります。

体積をワームホールの幾何学的特性（太さや長さ）に対応させることで、体積予想とER=EPR仮説を視覚的に結びつけることができます。

この分野は理論的な探求の初期段階にあり、今後の研究進展が期待されます。

補足として・・・

違う概念も。「ブラックホールエントロピー」は体積ではなく、面積に比例する！（ベッケンシュタイン・ホーキングの公式から。通常の物質の熱力学では、エントロピーやエネルギーは、常に体積に比例する）

続いて、以下を入力。

これに加えて「ブラックホールエントロピー」は体積ではなく、面積に比例すると言うベッケンシュタイン・ホーキングの公式も追加すると結び目の不変量での体積予想で絵にして表現して下さい

以下は出力結果

ブラックホールエントロピーと結び目の不変量の概要

1. ブラックホールエントロピー公式

ベッケンシュタイン・ホーキングの公式によれば、ブラックホールのエントロピー S はその事象の地平面の面積 A に比例します。具体的には、次の式で表されます：

重要な点は、エントロピーがブラックホールの体積ではなく面積に依存することです。これは、ブラックホールの内部の情報がその表面（事象の地平面）にエンコードされているという物理学的洞察を示しています。

2. 結び目の不変量と体積予想

結び目の不変量の一つとして、体積予想があります。これは、結び目の補空間（結び目が存在する3次元空間から結び目自体を取り除いたもの）が双曲3次元多様体として表現可能な場合、その双曲体積が結び目の複雑さや性質を反映する重要な不変量であるというものです。

補空間の双曲体積：結び目の補空間の3次元的な「大きさ」を表す。

境界：結び目が存在する空間（補空間の境界）は、2次元的な特性を持ちます。

体積予想では、この双曲体積が結び目の本質的な性質を捉えているとされています。

ブラックホールエントロピーと結び目の不変量の関連付け

ブラックホールのエントロピーが面積（2次元）に比例するのに対し、結び目の不変量としての体積は3次元的な量です。この違いを視覚的に結びつけるために、次の対応を考えます：

結び目の補空間の体積（3次元）をブラックホールの内部体積とみなす。

結び目の境界の特性（2次元）をブラックホールの事象の地平面の面積と対応させる。

この対応により、ブラックホールエントロピー（面積依存）と結び目の体積予想（体積依存）の間の橋渡しを試みます。

視覚的表現の構成

以下に、結び目の不変量（体積予想）とブラックホールエントロピー（面積比例）を絵として表現するための具体的なアイデアを示します。

図の構成

視覚的表現は3つの部分で構成されます：

1. 左側：結び目とその補空間

描画内容：

結び目（例えば、トーラス結び目や8の字結び目）を3次元空間に描くイメージ。

その周囲に、結び目の補空間（双曲3次元多様体）を示す立体的な領域を描く。

強調点：

補空間の双曲体積を矢印やラベルで明示し、「結び目の不変量としての体積」と注釈を付ける。

意味：

補空間の体積は、結び目の3次元的な複雑さを表す。

(出力はできないから他の人工知能でプロンプト代用。トポロジーな非線形の形なら描くことは最適？)

一枚目↓

2. 右側：ブラックホールと事象の地平面

描画内容：

ブラックホールを中心にした球体を描き、その表面に事象の地平面を示すイメージ。

事象の地平面を強調するために、表面を網掛けや色で塗る。

強調点：

事象の地平面の面積を矢印やラベルで示し、「エントロピー S に比例」と注釈を付ける。

意味：

エントロピーは面積（2次元）に依存し、体積には依存しないことを強調。

3. 中央：対応関係を示す矢印と説明

描画内容：

左側の補空間の体積から右側のブラックホールの内部体積へ矢印を引く。

注釈：「補空間の体積（3次元）→ ブラックホールの内部体積に対応」。

左側の結び目の境界（2次元）から右側の事象の地平面へ矢印を引く。

注釈：「結び目の境界の特性（2次元）→ 事象の地平面の面積に対応」。

意味：

結び目の補空間の体積をブラックホールの内部空間と関連付け、結び目の境界を事象の地平面と結びつけるイメージ。

(出力はできないから他の人工知能でプロンプト代用。トポロジーな非線形の形なら描くことは最適？)

一枚目↓

もう一枚追加↓

もう一枚↓ 3つの部分を組み合わせた視覚的表現

左側：結び目とその補空間を3次元的に描き、体積を強調。

右側：ブラックホールと事象の地平面を球体として描き、面積を強調。

中央：矢印で対応関係を示し、3次元（体積）と2次元（面積）の関連を明示。

発展：ER=EPR仮説との統合（オプション）

さらに視覚的表現を豊かにするために、ER=EPR仮説（ワームホールと量子もつれの対応）を追加することも可能です：

補空間内の双曲構造をワームホールと見なし、その「太さ」や「長さ」を体積に対応させる。

結び目の境界をワームホールの入り口（事象の地平面）と関連付け、量子もつれとのつながりを示す注釈を加える。

例えば、中央に「ワームホール構造」として補空間とブラックホールをつなぐトンネルを描き、「量子もつれと関連」と記載。

(出力はできないから他の人工知能でプロンプト代用。トポロジーな非線形の形なら描くことは最適？)

一枚目↓ ブラックホールの事象の地平面をワームホールの入り口として示すイメージ

もう一枚追加↓違う形状の入り口イメージ

結論

この視覚的表現では、次のポイントが強調されます：

ブラックホールエントロピーは事象の地平面の面積（2次元）に比例し、体積には依存しない。

結び目の不変量としての体積予想は、補空間の双曲体積（3次元）を重視する。

補空間の体積をブラックホールの内部体積、結び目の境界を事象の地平面と対応させることで、2つの概念を視覚的に結びつける。

この図を描くことで、ブラックホールエントロピーと結び目の体積予想の間の興味深いアナロジーを視覚的に示し、イメージを理解しやすくなります。

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