#রাশি

[bangladailynews]

August 21, 2023 Panchang: Tithi, Vrat, Rahu Kaal, and Other Details - News18

সর্বশেষ সংষ্করণ: আগস্ট 21, 2023, 05:00 IST আজ কা পঞ্চং, 21 আগস্ট, 2023: আজ সোমবার নাগ পঞ্চমী উদযাপিত হবে। (ছবি: শাটারস্টক) আজ কা পঞ্চং, 21 আগস্ট, 2023: সোমবার নাগ পঞ্চমী এবং তৃতীয় শ্রাবণ সোমওয়ার ব্রত উদযাপন করে। তিথি, শুভ ও অশুভ সময় এবং অন্যান্য বিবরণ এখানে দেখুন। আজ কা পঞ্চাং, 21 আগস্ট, 2023: শুক্লপক্ষের পঞ্চমী তিথি এবং ষষ্ঠী তিথি 21 আগস্ট সোমবার পালিত হবে। এটি লক্ষণীয় যে শুক্ল পঞ্চমী এবং…

[banglakhobor]

আর ভয় নেই! অক্টোবর পর্যন্ত রাহুর 'সুনজর', ভাগ্যের চাকা ঘুরে মালামাল হবে ৪ রাশি

জ্যোতিষশাস্ত্রে, বিভিন্ন গ্রহ সময়ে সময়ে রাশিচক্র পরিবর্তন করে থাকে। তার এই পরিবর্তনকে ট্রানজিট বলে। এই ঘটনাটি বৈদিক জ্যোতিষশাস্ত্রে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ বলে বিবেচিত হয়। কারণ এতে শুভ ও অশুভ যোগগুলি তৈরি হয়। Source link

[ajmerigemsworldabulhasan]

রাশি রত্নপাথর মুক্তা দেহের সৌন্দর্য রূপ লাবণ্য ধরে রাখে ।। আজমেরী জেমস্ ...

[basicpart]

মঙ্গলবার দিনটি কেমন কাটবে, দেখুন রাশিফল

জ্যোতিষশাস্ত্রে গ্রহ-নক্ষত্রের অবস্থান আর সংখ্যাতত্বের পর্যালোচনায় রাশিচক্র অনুযায়ী আগাম ধারণা দেয়ার চেষ্টা করা হয়ে থাকে। তবে এটা মনে রাখতে হবে রাশি কখনো ভাগ্যের নিয়ন্ত্রক হতে পারে না। মানুষের কর্মই নিয়ন্ত্রণ করে তার ভাগ্যকে। জ্যোতিষশাস্ত্র কেবল কিছু সূত্র ধরে সম্ভাবনার পথ বাতলে দেয়। আসুন, রাশিচক্র অনুযায়ী জেনে নেয়া যাক আজকের দিনটি আপনার কেমন যাবে। মেষ: আজ সকাল থেকে কাজে অনীহা আসতে পারে। একাধিক…

[speedywonderlandtrash]

SSC higher math chapter 2 solution part 2

SSC higher math chapter 2 solution part 2

প্রশ্ন ১০ যদি হয়, তবে দেখাও যে, bc + ca + ab = 0 অথবা, a = b = c সমাধান : দেওয়া আছে,                          বা,            বা,           বা,              বা, left(frac1a+frac1b+frac1cright) = 0           বা,            ∴ bc+ca+ab = 0           অথবা,           যেহেতু তিনটি বর্গের সমষ্টির মান শূন্য, সুতরাং এদের প্রত্যেকের মান শূন্য।           অর্থাৎ           বা,            বা,             বা,  a = b           অনুরূপভাবে, b = c এবং c = a           ∴ a = b = c           সুতরাং bc + ca + ab = 0 অথবা a = b = c (দেখানো হলো) প্রশ্ন ১১ যদি x = b + c - a, y = c + a - b হয়, z = a + b - c তবে দেখাও যে, x3 + y3 + z3 - 3xyz = 4(a3 + b3 + c3 - 3abc) সমাধান : এখানে,       x3 + y3 + z3 - 3xyz =  (x + y + z){(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x2)} =  (b + c - a + c + a - b + a + b - c){(b + c - a - c - a + b)2 +    (c + a - b - a - b + c)2 + (a + b - c - b - c + a)2    =  (a + b + c){(2b - 2a)2 + (2c - 2b)2 + (2a - 2c)2} =  (a + b + c) =  (a + b + c){ 4(a - b)2 + 4(b - c)2 + 4(c - a)2} = 4.   (a + b + c){(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2} = 4(a3 + b3 + c3 - 3abc) x3 + y3 + z3 - 3xyz = 4(a3 + b3 + c3 - 3abc) (দেখানো হলো) প্রশ্ন ১২ সরল কর : (a) চক্রক্রমিক রাশির সূত্রানুযায়ী  a2(b - c) + b2 (c - a) + c2(a - b) = - (a - b) (b - c) (c - a) ∴ প্রদত্ত রাশি = সমাধান :   = = =   এখানে, লব = - a(b - c)(x2 - bx - cx + bc) - b(c - a) (x2 - ax - cx + ca) - c(a - b)(x2 - ax - bx + ab) = - a(b - c) {x2 - (b + c) x + bc} - b(c - a){x2 - x(c + a) + ca} - c(a - b){x2 - x(a + b) + ab} = - ax2(b - c) + a(b - c)(b + c) x - abc (b - c) - bx2 (c - a) + b(c - a)(c + a) x - abc(c - a) - cx2(a - b) + c(a - b)(a + b)x - abc (a - b) = - x2{a(b - c) + b(c - a) + c(a - b)} + x {a(b2 - c2) + b (c2 - a2) + c(a2 - b2)} - abc (b - c + c - a + a - b) = - x2(ab - ca + bc - ab + ca - bc) + x (a - b) (b - c)(c - a) - abc × 0 = - x2 × 0 + x = x(a - b)(b - c)(c - a) ∴ প্রদত্ত রাশি           = (c) সমাধান :   = = = = = = 0 (Ans) (d) সমাধান :   = = = = = = = = = = প্রশ্ন ১৩ আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর : (a) সমাধান : মনে করি, .......... (i) সমীকরণ (i) এর উভয়পক্ষকে x(x + 2) দ্বারা গুণ করে পাই, 5x + 4 ≡ A(x + 2) + B(x) ............. (ii) সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = 0 বসিয়ে পাই, 5.0 + 4 = A(0 + 2) + B ´ 0 বা, 4 = 2A বা, 2A = 4 ∴ A = 2 আবার, সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = -2 বসিয়ে পাই, 5.( - 2) + 4 = A(- 2 + 2) + B ( - 2) বা, - 2B = -6 ∴ B = 3 এখন, A এবং B এর মান সমীকরণ (i)- এ বসিয়ে পাই, ;  এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ। (b) সমাধান : এখানে,           =           = মনে করি, ........... (i) সমীকরণ (i) এর উভয়পক্ষকে (x - 3)(x - 4) দ্বারা গুণ করে পাই, x + 2 ≡ A(x - 4) + B(x - 3) ............... (ii) সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = 3 বসিয়ে পাই, 3 + 2 = A(3 - 4) + B(3 - 3) বা,  - A = 5 ∴ A = -5 আবার, সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = 4 বসিয়ে পাই, 4 + 2 = A(4 - 4) + B(4 - 3) ∴ B = 6 এখন, A ও B এর মান সমীকরণ (i) - এ বসিয়ে পাই,        = ; এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ। (c) সমাধান : মনে করি, .......... (i) সমীকরণ (i) এর উভয়পক্ষকে x (x - 2)(x + 3) দ্বারা গুণ করে পাই, x2 - 9x - 6 ≡ A(x - 2)(x + 3) + B.x(x + 3) + C.x (x - 2)             ............ (ii) সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = 0 বসিয়ে পাই, 0)2 - 9.0 - 6 = A(0 - 2)(0 + 3) + B.0(0 + 3) + C.0 (0 - 2) বা, - 6 = - 6A বা, A = 1 ∴ A = 1 আবার, সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = 2 বসিয়ে পাই, 22 - 9.2 - 6 = A(2 - 2)(2 + 3) + B.2 (2 + 3) + C.2 (2 - 2) বা, 4 - 18 - 6 = 10B বা, 10B = - 20 ∴ B = - 2 আবার, সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = - 3 বসিয়ে পাই, ( - 3)2 - 9( - 3) - 6 = A( - 3 - 2)( - 3 + 3) + B (- 3 )( - 3 + 3) + C( - 3)( - 3 - 2) বা, 9 + 27 - 6 = 0 + 0 + 15C বা, 15C = 30 ∴ C = 2 এখন A, B ও C এর মান সমীকরণ (i) - এ বসিয়ে পাই, ; এ��িই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ। (d) সমাধান : মনে করি, ---------------------- (i) সমীকরণ (i) এর উভয়পক্ষকে (x + 1)(x2 + 4) দ্বারা গুণ করে পাই, x2 - 4x - 7 ≡ A(x2 + 4) + (Bx + C)(x + 1) ¼ ¼ ¼ ¼ (ii) সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = - 1 বসিয়ে পাই, (- 1)2 - 4(- 1) - 7 = A{(- 1)2 + 4} + {B(- 1) + C} (- 1 + 1) বা, 1 + 4 - 7 = 5A

বা, 5 - 7 = 5A বা, - 2 = 5A বা, A = আবার সমীকরণ (ii) এর x2 ও x এর সহগ সমীকৃত করে পাই, A + B = 1 ............. (iii) এবং B + C = -4........ (iv) সমীকরণ (iii) এ A = বসিয়ে পাই,   + B = 1 বা,  B = 1 + বা,  B = সমীকরণ (iv)  এ B = বসিয়ে পাই,   + C = - 4 বা,  C = - 4 - বা,  C = বা,  C = সমীকরণ (i) এ A, B এবং C এর মান বসিয়ে পাই, ∴ ; এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ। (e) সমাধান : মনে করি, ................... (i) সমীকরণ (i) এর উভয়পক্ষকে (2x + 1)(x + 3)2 দ্বারা গুণ করে পাই, x2 ≡ A(x + 3)2 + B(x + 3)(2x + 1) + C(2x + 1) ......... (ii) সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = - 3 বসিয়ে পাই, ( - 3)2 = A( - 3 + 3)2 + B( - 3 + 3){2( - 3) + 1} + C{2(- 3) + 1} বা,  9 = -5C বা,  C = -   ∴ C = - আবার, সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = - বসিয়ে পাই,   বা,  বা,  বা,  ∴ আবার, সমীকরণ (ii) এর x2 এর সহগ সমীকৃত করে পাই, A + 2B = 1 বা,  2B = বা,  2B=  বা,  B =  ∴ B =  এখন, A, B ও C এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই, ∴ এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ। প্রশ্ন ১৪ চলক x এর একটি বহুপদী P(x) = 7x2 - 3x + 4x4 - a + 12x3 ক.      বহুপদীটির আদর্শরূপ লেখ। খ.       P(x) এর একটি উৎপাদক (x + 2) হলে a এর মান নির্ণয় কর। গ.       যদি Q(x) = 6x3 - x2 - 5x + 2 এর ক্ষেত্রে Q = 0 হয়, তবে P(x) এবং Q(x) এর সাধারণ উৎপাদক দুইটি নির্ণয় কর। সমাধান : ক.      দেওয়া আছে, P(x) = 7x2 - 3x + 4x4 - a + 12x3           x চলকের বহুপদীকে x-এর ঘাতের অধঃক্রমে সাজালে বহুপদীর এরূপ বর্ণনাকে বহুপদীটির আদর্শরূপ বলে।           ∴ P(x) এর আদর্শরূপ হলো : 4x4 + 12x3 + 7x2 - 3x - a খ.       দেওয়া আছে, P(x) = 7x2 - 3x + 4x4 - a + 12x3           ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, (x + 2), P(x) – এর একটি উৎপাদক হবে যদি P( - 2) = 0 হয়।      এখন, P ( - 2)      = 7( - 2)2 - 3 ( - 2) + 4( - 2)4 - a + 12( - 2)3      = 28 + 6 + 64 - a - 96      = 2 - a           যেহেতু P( - 2) = 0 সুতরাং, 2 - a = 0     ∴ a = 2 (Ans.) গ.       দেওয়া আছে, Q(x) = 6x3 - x2 - 5x + 2           যেহেতু Q = 0, সুতরাং ((2x - 1), Q(x) এর একটি উৎপাদক।      এখন, Q(x)         = 6x3 - x2 - 5x + 2                      = 6x3 - 3x2 + 2x2 - x - 4x + 2                  = 3x2(2x - 1) + x(2x - 1) - 2(2x - 1)                  = (2x - 1)(3x2 + x - 2)                  = (2x - 1)(3x2 + 3x - 2x - 2)                  = (2x - 1) {3x(x + 1) - 2(x + 1)}                  = (2x - 1)(x + 1)(3x - 2)      আবার, P(x)        = 7x2 - 3x + 4x4 - a + 12x3                  = 4x4 + 12x3 + 7x2 - 3x - 2           ∴ P( - 1)  = 4( - 1)4 + 12( - 1)3 + 7( - 1)2 - 3 ( - 1) - 2                  = 4 - 12 + 7 + 3 - 2                  = 14 - 14                  = 0           ∴ (x + 1), P(x) এর একটি উৎপাদক।      এখন, 4x4 + 12x3 + 7x2 - 3x - 2          = 4x4 + 4x3 + 8x3 + 8x2 - x2 - x - 2x - 2          = 4x3(x + 1) + 8x2(x + 1) - x(x + 1) - 2 (x + 1)          = (x + 1)(4x3 + 8x2 - x - 2)          = (x + 1){4x2(x + 2) - 1(x + 2)}          = (x + 1)(x + 2)(4x2 - 1)          = (x + 1)(x + 2){(2x)2 - 1}          = (x + 1)(x + 2)(2x + 1)(2x - 1)     ∴ P(x) ও Q(x) উভয় বহুপদীর সাধারণ উৎপাদক (x + 1) I  (2x - 1) (Ans.) প্রশ্ন ১৫ x, y, z এর একটি বহুপদী হলো,           F(x, y, z) = x3 + y3 + z3 - 3xyz ক.      দেখাও যে, F(x, y, z) হলো একটি চক্র-ক্রমিক রাশি। খ.       F(x, y, z) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর এবং যদি           F(x, y, z) = 0, (x + y + z) ¹ 0 হয়,           তবে দেখাও যে, (x2 + y2 + z2) = (xy + yz + zx) গ.       যদি x = (b + c - a), y = (c + a - b), এবং z = (a + b - c) হয়, তবে দেখাও যে, F(a, b, c) :  : F(x, y, z) = 1 : 4 সমাধান : ক. দেওয়া আছে, F(x, y, z) = x3 + y3 + z3 - 3xyz           এখন, রাশিটিতে x এর পরিবর্তে y, y এর পরিবর্তে z এবং z এর পরিবর্তে x বসিয়ে পাই,      F(y, z, x) = y3 + z3 + x3 - 3y.z.x               = x3 + y3 + z3 - 3xyz     ∴ F(x, y, z) = F(y, z, x) = F(z, x, y)           দেখা যাচ্ছে চলকগুলো স্থান পরিবর্তন করলেও রাশিটি একই থাকে।           সুতরাং F(x, y, z) হলো একটি চক্র-ক্রমিক রাশি।(দেখানো হলো) খ.  দেওয়া আছে, F(x, y, z) = x3 + y3 + z3 - 3xyz      = (x + y)3 - 3xy(x + y) + z3 - 3xyz      = (x + y)3 + z3 - 3xy(x + y + z)      = (x + y + z){(x + y)2 - (x + y)z + z2} - 3xy(x + y + z)      = (x + y + z)(x2 + 2xy + y2 - zx - yz + z2) - 3xy (x + y + z)      = (x + y + z)(x2 + 2xy + y2 + z2 - zx - yz - 3xy)      = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx)      প্রশ্নানুসারে F(x, y, z) = 0      বা,  x3 + y3 + z3 - 3xyz = 0      বা,  (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) = 0      বা,  x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx = 0           ∴ x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx   (দেখানো হলো) গ.  দেওয়া আছে, F(x, y, z) = x3 + y3 + z3 - 3xyz ........ (i)     ∴ F(a, b, c) = a3 + b3 + c3 - 3abc           সমীকরণ (i) হতে পাই,      F(x, y, z) = x3 + y3 + z3 - 3xyz      =  (x + y + z){x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2}      = (b + c - a + c + a - b + a + b - c){(b + c - a - c - a + b)2 + (c + a - b - a - b + c)2 + (a + b - c - b - c + a)2}      = (a + b + c){(2b - 2a)2 + (2c - 2b)2 + (2a - 2c)2}       =  (a + b + c)       =  (a + b + c){4(a - b)2 + 4(b - c)2 + 4(c - a)2}      = 4.  (a + b + c){(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2}     ∴ F(x, y z) = 4(a3 + b3 + c3 - 3abc)     ∴ F(a, b, c) : F(x, y z)     = (a3 + b3 + c3 - 3abc) : 4(a3 + b3 + c3 - 3abc)                        = 1 : 4           ∴ F(a, b, c) : F(x, y, z) = 1 : 4 (দেখানো হলো) প্রশ্ন ১৬ চলক x এর চারটি রাশি (x + 3), (x2 - 9), (x3 + 27) এবং (x4 - 81) ক.      উপরিউক্ত রাশিগুলো হতে একটি প্রকৃত মূলদ ভগ্নাংশ এবং একটি অপ্রকৃত মূলদ ভগ্নাংশ বের কর। খ. কে সম্ভাব্য আংশিক ভগ্নাংশের সমষ্টিরূপে উপস্থাপন কর। গ.       উপরের প্রথম, দ্বিতীয় এবং চতুর্থ রাশিসমূহের প্রত্যেকের গুণাত্মক বিপরীত রাশির সমষ্টিকে সরলরূপে প্রকাশ কর। সমাধান : ক.      প্রকৃত মূলদ ভগ্নাংশ =           এবং অপ্রকৃত মূলদ ভগ্নাংশ = খ.       প্রদত্ত ভগ্নাংশ                    =                    =                    =                    =                    =                    =   গ.       প্রথম রাশি (x + 3) এর গুণাত্মক বিপরীত রাশি দ্বিতীয় রাশি (x2 - 9) এর গুণাত্মক বিপরীত রাশি এবং চতুর্থ রাশি (x4 - 81) এর গুণাত্মক বিপরীত রাশি  গুণাত্মক বিপরীত রাশিগুলোর সমষ্টি           =           =           =           =           =           =           = প্রশ্ন ১৭ (x + 1)3 y + (y + 1)2 রাশিটিকে ক.      x চলকের বহুপদীর আদর্শ আকারে বর্ণনা কর এবং x চলকের বহুপদীরূপে তার মাত্রা, মুখ্য সহগ ও ধ্রুব পদ নির্ণয় কর। খ.       y চলকের বহুপদীর আদর্শ আকারে বর্ণনা কর এবং y চলকের বহুপদীরূপে তার মাত্রা, মুখ্য সহগ ও ধ্রুব পদ নির্ণয় কর। গ.       x ও y চলকের বহুপদীরূপে বিবেচনা করে তার মাত্রা নির্ণয় কর। সমাধান : ক. দেওয়া আছে, (x + 1)3 y + (y + 1)2      = (x3 + 3x2 + 3x + 1) y + y2 + 2y + 1      = x3y + 3x2y + 3xy + y + y2 + 2y + 1           = x3y + 3x2y + 3xy + (y2 + 3y +1) এটি x চলকের আদর্শ আকার।           এখানে, x চলকের মাত্রা = 3                    মুখ্য সহগ = y                    এবং ধ্রুব পদ = y2 + 3y + 1 খ.  দেওয়া আছে, (x + 1)3y + (y + 1)2      = (x3 + 3x2 + 3x + 1) y + y2 + 2y + 1      = x3y + 3x2y + 3xy + y + y2 + 2y + 1           = y2 + (x3 + 3x2 + 3x + 3) y + 1; এটি y চলকের আদর্শ আকার।           এখানে, y চলকের মাত্রা = 2                    মুখ্য সহগ = 1                    এবং ধ্রুব পদ = 1 গ.  দেওয়া আছে, (x + 1)3y + (y + 1)2      = (x3 + 3x2 + 3x + 1) y + y2 + 2y + 1      = x3y + 3x2y + 3xy + y2 + 3y + 1;           এখানে x  ও y এর ঘাতের যোগফলের সর্বোচ্চ মান 4 যা x3y পদে পাওয়া যায়।           ∴ রাশিটিকে x ও y চলকের বহুপদী বিবেচনা করলে বহুপদীটির মাত্রা ৪.   SSC higher math chapter 2 solution part 1   SSC higher math chapter solution part 2 PDF Read the full article

[tajmahalgemsworld]

অপ্রয়োজনীয় জিনিস কিনতে অধিক ব্যয় করেন এই চার রাশি

চিনে নিন এই চার রাশিকে, অপ্রয়োজনীয় জিনিস কিনতে অধিক ব্যয় করেন এরা - শাস্ত্র মতে, কেউ সঞ্চয়ী তো কেউ অধিক খরচ করেন। রয়েছে সকলের স্বভাবেও তফাত। কেউ শান্ত তো কেউ উদ্ধত।

অধিক ব্যয় করেন এই চার রাশি

কেউ স্বার্থপর তো কেউ সকলের কথা ভাবেন। তেমনই কেউ অন্যকে সহজে ক্ষমা করতে পারেন তো কেউ প্রতিশোধ নিতে চান। কেউ সব সময় পরিবারের কথা ভাবেন, তো কেউ শুধু নিজের কথা ভেবে খান্ত থাকেন। আজ রইল চার রাশির কথা। এই চার রাশির ছেলে মেয়েরা অপ্রয়োজনীয় জিনিস কিনতে অধিক ব্যয় করে থাকে। কোন খাতে কত খরচ করা উচিত তা ঠিক রাখতে পারেন না এরা।

মীন রাশি রাশি চক্রের দ্বাদশ রাশি হল মীন রাশি। এই রাশির ছেলে মেয়েরা জীবনে একাধিকবার উত্থান- পতন দেখেন। এরা বাস্তবাদী হলেও অর্থ খরচের ব্যাপারে এরা কিছু ঠিক করতে পারেন না। চিনে নিন এই রাশির ছেলে মেয়েদের। এরা অপ্রয়োজনীয় জিনিস কিনতে অধিক ব্যয় করে থাকে।

কুম্ভ রাশি দাম না দেখেই জিনিস কিনে ফেলেন এরা। অপ্রয়োজনীয় জিনিস কিনতে অধিক ব্যয় করে থাকে। রাশি চক্রের একাদশ রাশি হল কুম্ভ। এই রাশির অধিকর্তা শনি। এরা কোন খাতে কত খরচ করতে হয় তা ঠিক করে উঠতে পারেন না। শপিং করতে এরা খুবই ভালোবাসেন। তবে, অধিকাংশ সময় এরা অপ্রয়োজনীয় জিনিস কিনে খরচ করেন। কোনটা বেশি প্রয়োজন তা ঠিক করে উঠতে পারেন না।

সিংহ রাশি জেদি স্বভাবের হয়ে থাকেন। আর শপিং-এর সময়ও এই জেদের বসে ভুল জিনিস কিনে থাকেন। কোন খাতে কত খরচ করবেন তা ঠিক করতে পারেন না এরা। যা প্রয়োজন নয়, তা বহু অর্ধ ব্যয় করে কিনে ফেলেন। রাশি চক্রের পঞ্চম রাশি হল সিংহ রাশি। এই রাশির অধিকর্তা গ্রহ হল রবি। এরা সব সময় সেরা জিনিস কিনতে চান। আর এই করতে গিয়েই ভুল করে ফেলেন এরা। চিনে নিন এই চার রাশিকে, অপ্রয়োজনীয় জিনিস কিনতে অধিক ব্যয় করেন এরা।

[shameemsayedee]

#পাহাড় সমান ক্ষমার আশায়

দিন গুনিয়াছে যারা

উচ্ছসিত সুশোভিত মনে

চেয়ে আছে আজ তারা

ঈদের চাঁদের আগমণে যেন

হয়না এতোটা খুশি

সিয়ামের চাঁদে খুঁজে পেয়ে যায়

স্নিগ্ধতা রাশি রাশি !

রমযান কারীম সবাইকে....

সহিহভাবে প্রতিটি রোজা যেন পালন করে আল্লাহ সুবহানাহু ওয়াতাআ'লার কাছ থেকে ক্ষমার যোগ্য হতে পারি, এই দোয়া সকলের জন্য ।

[kolkataastrologer472]

#শুক্র ও #রাহু যোগে কি কি ফল পেতে পারে কিছু কিছু রাশি তা আজ জেনে নিন জ্যোত...

[best-astrologer-in-kolkata]

শুক্র ও রাহু যোগে কি কি ফল পেতে পারে কিছু কিছু রাশি তা আজ জেনে নিন জ্যোত...

[bangladailynews]

Aranmanai 4 movie review: A template Sundar C horror-comedy aimed at the masses

দ্য আরনমানই ফ্র্যাঞ্চাইজি পরিচালকের জন্য কাজ করেছেন সুন্দর সি অতীতে এবং তিনি চতুর্থ কিস্তি নিয়ে ফিরে এসেছেন। যদিও কেউ কেউ তার আগের আরামনাই চলচ্চিত্রগুলি অপছন্দ করতে পারে, দর্শকরা সেগুলিকে যথেষ্ট পরিমাণে পেতে পারে বলে মনে হয় না। আরনমানই ঘ 2021 সালে মুক্তি পাওয়া বছরের সবচেয়ে বাণিজ্যিকভাবে সফল একটি হতে পরিণত হয়েছে। এছাড়াও পড়ুন | Aranmanai 4 ট্রেলার: সুন্দর সি, তামান্নাহ ভাটিয়া, রাশি খান্না…

[banglakhobor]

বাড়িতে নেমে আসবে ভয়ানক আর্থিক সমস্যা! ঝাড়ু নিয়ে এই ভুলগুলি কখনও করবেন না

Vastu Tips: বাস্তুশাস্ত্রে থাকা নিয়ম মেনে চললে জীবনে আসা নানা ধরনের সমস্যা দূর করা যায় । Source link

[mediaissuee]

বলিউডে থিতু হচ্ছেন রাশি খান্না #viral #short #mediaissue #bollywood #srk

[mdrahmatalis-blog]

কি এ জীবন -

============

মোঃ রহমত আলী

============

কি এ আমাদের মানব জীবন,

আজও ঠিক বুঝা হলো না।

এ জীবন কি কোন রাতের

শিশীরে ভেজা ঘাস।

নাকি মাঝ দরিয়ায় কোন ডুবন্ত কিস্তি।

এই নয়তো তবে আর কি ?

এ মানব প্রাণ যার নাম জীবন।

কখনো আবার মনে হয়,

আমার এ জীবন যেন,

কোন মরুভূমি প্রান্তরের

খুবই পরিশ্রান্ত ক্লান্ত এক উট।

নয়তো আবার বুঝি ! এক বৃক্ষ

যে এক পায়ে দাঁড়িয়ে রয়েছে

আকাশ পানে নয়ন মেলি।

এছাড়া আর কি হতে পারে,

এ জীবন মানে- যা একবার

শুরু হয়ে চিরতরে শেষ হয়ে যায়।

কি এ জীবন ?

কিভাবে শুরু আর

কোথায় গিয়ে-ই বা শেষ।

মরণ কি এর শেষ ঠিকানা !

নাকি মরণের পরেও

আর কিছু আছে এ জীবনের।

তবে কি ? কি ?

মনে হয় আমার এ মানব জীবন,

যেন একরাশ কালো মেঘ,

যার আসল সীমান্ত ঐ আকাশ।

কি এ জীবন ?

সংগ্রামী কোন মিছিল, নাকি !

ভালোবাসায় ভরা এক উড়ন্ত চিল।

না আবার চিতায় পুড়া ছাই,

এই নয়-তো তবে কি এ জীবন ?

এ জীবন কি !

জ্বলন্ত কোন চিরাগ,

না জমানো এক বরফ টুকরা,

যা নিমিষেই গলে-গলে হয়ে যায় জল।

নাকি কারো রিস্তায়-বন্দি এক কাক,

এ মোদের মানব জীবন।

এ মানব জীবন কি !

অতীতের শুধু রাশি রাশি স্মৃতি,

নাকি ভবিতব্যের কোনো এক স্বপ্ন।

না আবার বর্তমান এই সময়,

না- মনে হয় আমার এ জীবন,

একটি জনশূন্য বেদে বস্তি,

যা বাতাসের মতো এক যাযাবর জীবন।

এইতো জীবন,

যা পবিত্র এক আমানত,

পূর্ণ কর্মের জন্য খোদার দান।

তবে কেন আমরা এত ছোট

এ জীবনে পাপের জন্ম দেই।

এ জীবন তো কবরে-ই

শেষ বিছানা নাকি !

জীবনতো ওকেই বলে,

যে অন্যের জন্য সহসা হতে পারি।

জীবনতো এটাই হতে পারে,

যে নিজ সঙ্গে যুদ্ধ করে !

এ জীবন তো এক নাটকীয় মঞ্চ,

যেখানে সবে শুধুই সুন্দরের পূজারী।

কি এ জীবন,

মোমের তৈয়ারী শোপিস,

যা একটু বেদনায় চিরতরে

নিমজ্জিত হতে চায়।

না আবার কঠিন পাথরের

এক মূর্তি যে পাষাণ।

কি এ জীবন,

অভিমানী কোন রাত,

নাকি অশ্রু ঝরা ভালবাসা,

যে শুধু কাঁদাতেই জানে।

এ মানব জীবন তো আমার

এক ছলনা গোলক ধাঁধা।

কি এ জীবন,

জ্বলন্ত কোন দিয়া,

যা একটু হাওয়ায়

একাকী অনুভূতি করি।

এ জীবন বুঝি

এক পুতলা মাটির যে শুধু

দুঃখ পেতে ভালবাসে একা হয়ে।

কি এ জীবন,

কোন দিগন্তের শেষ সীমানা,

নাকি এক ধাপ এগিয়ে যাওয়া

কমন্ত বয়স যা সর্বদা

আমাদের মুখে-মুখে।

সত্যি কি এই জীবন !

তবে আর কি হতে পারে

এ জীবন মানে ভাবি আমি তাই।

কি এ জীবন,

আঁধার রাতের এক নীরব রাজপথ।

না কোন গায়ের,

কাদামাখা হাহাকার মেঠো পথ।

না না মনে হয়

এ জীবন একরাশ বৃষ্টি।

কি এ জীবন,

নেশায় রাঙ্গা কোন

এক রাতের জলসা।

নাকি এক সুরাহী সারাব,

যে করে দেয় বদনাম।

এ জীবন তো তারই দান,

ভালোবাসা যার নাম।

কি এ জীবন,

বিষাক্ত কোন গ্লানি,

বহন করা এক পচা অতীত

যা শুধুই গঞ্জিত হয়ে কাঁদে !

কি এ জীবন,

আহত এক খনজর্

যে কভু জীবন যুদ্ধে,

সারা-কাল সংগ্রাম করেছে।

এ জীবন কি অসহায় কোন

ঘাসে ভরা কাদামাটি,যাতে

লুকানো রয়েছে হাজারো কঙ্কার।

কি এ জীবন,

আমার অবহেলিত কোন এক ডাস্টবিন।

যার বুকে জমানো রয়েছে ময়লা কাকন। নাকি ঠিকানা হীন,

কোন এক হাহাকার রাজপথ।

যা একদিন মিশে যাবে,

মেটে ঘরে কবর হয়ে।

কি এ জীবন,

কারো কারো ছেঁড়া কাফনে ঢাকা,

কোন এক বেওয়ারিশ লাশ।

নাকি জীবন সংগ্রামে হেরে যাওয়া

কোন এক অতীত সময়।

তবে আর কি হতে পারে,

এ মানব জীবন মানে,

আজো আমি ঠিক বুঝলাম না।

কি এ জীবন,

কোন এক ঈদ বেলার মত,

ক্ষণিকের জযবা মেলা।

নাকি একাকী এক বোতল সারাব।

মোরা সবে এই আছি,এই নাই,

এ ভবের জীবন নামক নাট্টালয়ে,

তবু কেন আমরা মিছে

এ জীবন লয়ে করি এত অহংকার ॥

২৩.১১.২০০৩

[drsohinisastri]

যে মাসে কোনো রাশি প্রবেশ করে না, সেই মাসকে বলে অধিক মাস (মলমাস)।

||মলমাস প্রারম্ভ||

[speedywonderlandtrash]

SSC general math exercise 13.1 (সসীম ধারা) solution

SSC general math exercise 13.1 (সসীম ধারা) solution

   অনুক্রম           কতকগুলো রাশিকে একটা বিশেষ নিয়মে ক্রমান্বয়ে এমনভাবে সাজানো হয় যে, প্রত্যেক রাশি তার পূর্বের পদ ও পরের পদের সাথে কীভাবে সম্পর্কিত তা জানা যায়। এভাবে সাজানো রাশিগুলোর সেটকে অনুক্রম (Sequence) বলা হয়।           অনুক্রমের প্রথম রাশিকে প্রথম পদ, দ্বিতীয় রাশিকে দ্বিতীয় পদ, তৃতীয় রাশিকে তৃতীয় পদ ইত্যাদি বলা হয়। 1, 3, 5, 7,  ------- অনুক্রমের প্রথম পদ = 1, দ্বিতীয় পদ = 3,  ইত্যাদি।        ধারা           কোনো অনুক্রমের পদগুলো পরপর ‘+’ চিহ্ন দ্বারা যুক্ত করলে একটি ধারা (Series) পাওয়া যায়। যেমন, 1 + 3 + 5 + 7 + .... একটি ধারা। ধারাটির পরপর দুইটি পদের পার্থক্য সমান। আবার 2 + 4 + 8 + 16 + ........ একটি ধারা। এর পরপর দুইটি পদের অনুপাত সমান। সুতরাং, যেকোনো ধারার পরপর দুইটি পদের মধ্যে সম্পর্কের ওপর নির্ভর করে ধারাটির বৈশিষ্ট্য। ধারাগুলোর মধ্যে গুরুত্বপূর্ণ দুইটি ধারা হলো সমান্তর ধারা ও গুণোত্তর ধারা।        সমান্তর ধারা  কোনো ধারার যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের পার্থক্য সব সময় সমান হলে, সেই ধারাটিকে সমান্তর ধারা বলে।           1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 একটি ধারা।  এখানে, দ্বিতীয় পদ – প্রথম পদ = 3 – 1 = 2, তৃতীয় পদ – দ্বিতীয় পদ = 5 – 3 = 2           সুতরাং, ধারাটি একটি সমান্তর ধারা। উল্লিখিত ধারার সাধারণ অন্তর ২.        সমান্তর ধারার সাধারণ পদ নির্ণয়           মনে করি, যেকোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ = a ও সাধারণ অন্তর = d হলে ধারাটির n তম পদ = a + (n - 1)d           এই হ তম পদকেই সমান্তর ধারার সাধারণ পদ বলা হয়। কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d জানা থাকলে n তম পদে n = 1, 2, 3, 4, ..... বসিয়ে পর্যায়ক্রমে ধারাটির প্রত্যেকটি পদ নির্ণয় করা যায়।        সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি           মনে করি, যেকোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a,  শেষ পদ p, সাধারণ অন্তর d, পদসংখ্যা n এবং ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি ঝহ.           ∴  Sn = (a + p)           n-তম পদ =p = a + (n - 1)d.           Sn = {2a + (n - 1)d}   Easy solution for SSC General Math Exercise 13.1 on সসীম ধারা        প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয়           মনে করি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি Sn           অর্থাৎ, Sn = 1 + 2 + 3 + ............ + (n - 1) + n                      বা, Sn = প্রশ্ন ১ 2 - 5 - 12 - 19 - .......... ধারাটির সাধারণ অন্তর এবং 12 তম পদ নির্ণয় কর। সমাধান : প্রদত্ত ধারাটি, 2 - 5 - 12 - 19 -.....                    এটি একটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ, a = 2                    ∴  সাধারণ অন্তর, d = - 5 - 2 = - 7                    ∴  ১২ তম পদ = a + (12 - 1) d = 2 + 11 × ( -7)                                        = 2 - 77 = - 75           নির্ণেয় ধারাটির সাধারণ অন্তর - 7 এর 12 তম পদ -75. প্রশ্ন ২ 8 + 11 + 14 + 17 + ........ ধারাটির কোন পদ 392 ? সমাধান :        প্রদত্ত ধারাটি, 8 + 11 + 14 + 17 + ........           এটি একটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ, a = 8           সাধারণ অন্তর, d = 11 - 8 = 3           মনে করি, n তম পদ  = 392          n তম পদ = = a + (n - 1)d          ∴ a + (n  -1) d = 392          বা, 8 + (n - 1) × 3 = 392          বা, (n - 1) × 3 = 392 - 8          বা, n - 1 =           বা, n = 128 + 1          ∴ n = 129           ∴ ধারাটির 129 তম পদ 392. প্রশ্ন ৩ 4 + 7 + 10 + 13 + ........... ধারাটির কোন পদ 301 ? সমাধান :        প্রদত্ত ধারাটি, 4 + 7 + 10 + 13 + ...........           এটি একটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ, a = 4           সাধারণ অন্তর, d = 7 - 4 = 3

          মনে করি, n তম পদ = 301          n তম পদ = = a + (n -1)d          ∴ a + (n - 1)d = 301          বা, 4 + (n -1) × 3 = 301          বা, (n -1) × 3 = 301 - 4          বা, n -1 =          বা, n = 99 + 1          ∴ n = 100           ∴ ধারাটির 100 তম পদ 301. প্রশ্ন ৪ কোনো সমান্তর ধারার p তম পদ p2 এবং q তম পদ q2 হলে, ধারাটির (p + q) তম পদ কত? সমাধান :        মনে করি,   ধারাটির প্রথম পদ = a                              এবং সাধারণ অন্তর = d           ∴ p তম পদ  = a + (p – 1)d                    q তম পদ = a + (q – 1)d           এবং (p + q) তম পদ = a + (p + q – 1)d          প্রশ্নমতে, a + (p – 1)d = p2 ................. (i)                  a + (q – 1)d = q2 ..................(ii)           সমীকরণ (i) থেকে (ii) বিয়োগ করি,              (p – 1)d – (q – 1)d = p2 – q2          বা, d(p – 1 – q + 1) = (p + q) (p – q)          বা, d(p – q) = (p + q) (p – q)          বা, d =         ∴  d = p + q          ∴  (p + q) তম পদ     = a + (p + q – 1) d                              = a + (p– 1) d + qd                              = p2 + q (p + q)                               = p2 + pq + q2           নির্ণেয় (p + q) তম পদ p2 + pq +  q2 প্রশ্ন ৫ কোনো সমান্তর ধারার m তম পদ n ও n তম পদ m হলে, (m + n) তম পদ কত? সমাধান : মনে করি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ = a                    এবং সাধারণ অন্তর = d           ∴ ধারাটির m তম পদ = a + (m - 1) d                "      n তম পদ = a + (n - 1) d           শর্তানুসারে, a + (m -1) d = n ..................... (i)                 এবং  a + (n -1) d = m .................... (ii) সমীকরণ (i) হতে (ii) বিয়োগ করে পাই            (m - 1 - n + 1) d = n - m      বা, (m - n) d = - (m - n)      বা, d =      ∴ d = - 1      ∴ ধারাটির (m + n) তম পদ = a + (m + n -1) d                               = a + {(m - 1) + n} d                               = a + (m - 1)d + nd                               = n + n(- 1)                               = n - n = 0      নির্ণেয় (m + n) তম পদ 0.   Step-by-step guide to solving finite series in SSC Math প্রশ্ন ৬ 1 + 3 + 5 + 7 + ... ... ... ধারাটির হ পদের সমষ্টি কত? সমাধান : প্রদত্ত ধারা, 1 + 3 + 5 + 7 + ... ... ...           এটি একটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ, a = 1      সাধারণ অন্তর, d = 3 – 1= 2           এবং পদ সংখ্যা = n      ∴ প্রদত্ত ধারার সমষ্টি, Sn = {2a + (n – 1) d}           =  {2 × 1 + (n – 1).2}                            =   (2 + 2n – 2)                            = × 2n                            = n2           নির্ণেয় ধারাটির n পদের যোগফল n2. প্রশ্ন ৭ 8 + 16 + 24 + ............. ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি কত? সমাধান : প্রদত্ত ধারা, 8 + 16 + 24 + ............. এটি একটি সমান্তর ধারা যার প্রথম পদ a = 8 এবং সাধারণ অন্তর d = 16 - 8 = 8 ∴ ধারাটির 9 টি পদের সমষ্টি, S9 = {2a + (9 - 1) d}                               = (2a + 8d)                               = (2 × 8 + 8 × 8)                               = (16 + 64)                               = × 80                               = 9 × 40                               = 360           ∴ ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি 360. প্রশ্ন ৮ 5 + 11 + 17 + 23 + ............... + 59 = কত? সমাধান : প্রদত্ত ধারা, 5 + 11 + 17 + 23 + ............... + 59 =           এটি একটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ, a = 5      সাধারণ অন্তর, d = 11– 5 = 17 – 11 = 6           শেষ পদ, p = 59           ধরি, ধারাটির পদসংখ্যা = n           ∴ n তম পদ = a + (n – 1)d           কিন্তু n তম পদ = শেষ পদ = 59      অর্থাৎ, 5 + (n – 1) 6 = 59      বা, 5 + 6n – 6 = 59      বা, 6n – 1 = 59      বা, 6n = 59 + 1      বা, n = = 10     ∴ সমষ্টি, S = {2a + (n – 1)d}                  = {2 × 5 + (10 – 1).6}                  = 5 (10 + 9 × 6)                  = 5 (10 + 54)                  = 5 × 64                  = 320           নির্ণেয় সমষ্টি 320. প্রশ্ন ৯  29 + 25 + 21 + ... ... ... – 23 = কত? সমাধান : প্রদত্ত ধারা, 29 + 25 + 21 + ... ... ... – 23 =           এটি একটি সমান্তর ধারা, যার ১ম পদ, a = 29           সাধারণ অন্তর, d = 25 – 29 = – 4           শেষ পদ, p = – 23           ধরি, ধারাটির পদ সংখ্যা = n           ∴ n তম পদ = a + (n – 1)d           কিন্তু n তম পদ = শেষ পদ = - 23      অর্থাৎ, a + (n – 1)d = – 23      বা, 29 + (n – 1) (– 4) = – 23      বা, 29 – 4n + 4 = – 23      বা, 4n = 33 + 23      বা, n =     ∴ n = 14      ∴ সমষ্টি, S = {2a + (n – 1)d}                  = {2 × 29 + (14 – 1) (– 4)}                  = 7{58 + 13 ( – 4)}                  = 7 (58 – 52) = 7 × 6 = 42            নির্ণেয় সমষ্টি 42. প্রশ্ন ১০ কোনো সমান্তর ধারার 12 তম পদ 77 হলে, এর প্রথম 23 টি পদের সমষ্টি কত? সমাধান : ধরি,  ধারাটির প্রথম পদ = a                    এবং সাধারণ অন্তর = d      ∴ 12 তম পদ       = a + (12 – 1) d                            = a + 11d           প্রশ্নমতে, a + 11d = 77 ... ... ... ... ... (i)           মনে করি, প্রথম 23 পদের সমষ্টি = S      ∴ S = {2a + (23 – 1) d}               = (2a + 22d)           =   × 2 (a + 11d)           = 23 (a + 11d)           = 23 × 77           = 1771           নির্ণেয় সমষ্টি 1771. প্রশ্ন ১১ একটি সমান্তর ধারার 16 তম পদ - 20 হলে, এর প্রথম 31 টি পদের সমষ্টি কত?           সমাধান : মনে করি, ধারাটির প্রথম পদ = a                    এবং সাধারণ অন্তর = d           ∴ ধারাটির 16 তম পদ, a + (16 -1)d = - 20                    বা, a + 15d = - 20           আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n -সংখ্যক পদের সমষ্টি,           Sn = {2a + (n -1)d}           তাহলে, ধারাটির প্রথম 31 টি পদের সমষ্টি           S31 = {2a + (31 -1)d}              = (2a + 30d) =  × 2(a + 15d)              =  × 2 × (-20)              = 31 × (-20)              = - 620           নির্ণেয় সমষ্টি - 620.   How to easily solve SSC General Math Exercise 13.1 সসীম ধারা প্রশ্ন ১২ 9 + 7 + 5 + ... ... ধারাটির প্রথম হ সংখ্যক পদের যোগফল – 144 হলে, n এর মান নির্ণয় কর। সমাধান : প্রদত্ত ধারাটি হলো, 9 + 7 + 5 + .............           আমরা জানি, সমান্তর ধারার n পদের সমষ্টি, S =  {2a + (n – 1) d}      এখানে,     প্রথম পদ, a = 9             সাধারণ অন্তর d = 7 – 9 = - 2    ∴ S =  {2a + (n – 1) d} = – 144      বা,  {(2 × 9) + (n - 1) (-2)} = – 144      বা, (18 – 2n + 2) = – 144      বা, (20 - 2n) = -144      বা, × 2(10 – n) = – 144      বা, n (10 – n) = – 144      বা, 10n – n2 + 144 = 0      বা, n2 – 10n – 144= 0      বা, n2 – 18n + 8n – 144 = 0      বা, n(n – 18) + 8(n – 18) = 0      বা, (n - 18) (n + 8) = 0 হয়, n – 18 = 0               নতুবা,  n + 8 = 0 ∴ n = 18                               ∴ n = – 8           কিন্তু n = – 8 গ্রহণযোগ্য নয়।           কেননা পদ সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।           ∴ n = 18           নির্ণেয় পদসংখ্যা, n = 18. প্রশ্ন ১৩ 2 + 4 + 6 + 8 + ..... ধারাটির প্রথম হ সংখ্যক পদের সমষ্টি 2550 হলে, n এর মান নির্ণয় কর। সমাধান : প্রদত্ত ধারাটি 2 + 4 + 6 + 8 + ..... এটি একটি সমান্তর ধারা যার প্রথম পদ, a = 2 এবং সাধারণ অন্তর, d = 4 - 2 = 2 শর্তানুসারে, n সংখ্যক পদের সমষ্টি = 2550 আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,      Sn = {2a + (n – 1)d}      ∴  {2a + (n – 1)d} = 2550       বা, {2 × 2 + (n – 1)2} = 2550       বা, {4 + (n – 1)2} = 2550      বা, {2n + 2} = 2550       বা, × 2(n + 1) = 2550       বা, n(n + 1) = 2550      বা, n2 + n - 2550 = 0      বা, n2 + 51n - 50n - 2550 = 0      বা, n(n + 51) - 50 (n + 51) = 0      বা, (n + 51)(n -50) = 0           হয়, n + 51 = ০        অথবা, n - 50 = 0            ∴ n = - 51           ∴ n = 50           কিন্তু পদসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।           ∴ n = 50           নির্ণেয় n এর মান 50. প্রশ্ন ১৪ কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটি নির্ণয় কর। সমাধান : দেওয়া আছে, কোনো ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি, Sn = n (n + 1)           n = 1, 2, 3, 4 ... ... ... ... ইত্যাদি বসিয়ে পাই,           S1 = প্রথম পদের সমষ্টি = 1 (1 + 1) = 1 × 2 = 2           S2 = প্রথম দুইটি পদের সমষ্টি   = 2(2 + 1)                                                 = 2 × 3 = 6           S3 = প্রথম তিনটি পদের সমষ্টি  = 3(3 + 1) = 3 × 4 = 12           ∴ প্রথম পদ = 2           দ্বিতীয় পদ = S2 – S1 = 6 – 2 = 4           এবং তৃতীয় পদ = S3 – S2 = 12 – 6 = 6           নির্ণেয় ধারাটি, 2 + 4 + 6 + 8 + ... ... ...   Complete and simple guide to understanding সসীম ধারা in SSC Math প্রশ্ন ১৫ কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির 10 টি পদের সমষ্টি কত? সমাধান : দেওয়া আছে, ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি = n(n +1).           n = 1, 2, 3 ....... ইত্যাদি বসিয়ে পাই,           প্রথম পদের সমষ্টি = 1(1 + 1) = 1 × 2 = 2           দুইটি পদের সমষ্টি = 2(2 + 1) = 3 × 2 = 6           তিনটি পদের সমষ্টি = 3(3 + 1) = 3 × 4 = 12           ∴  প্রথম পদ = 2           দ���বিতীয় পদ = 6 - 2 = 4           এবং তৃতীয় পদ = 12 - 6 = 6           ∴  ধারাটি = 2 + 4 + 6 +.............           এখানে, প্রথম পদ, a = 2                    সাধারণ অন্তর d = 4 - 2 = 2           আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,                                   Sn = {2a + (n -1)d}      তাহলে, 10 টি পদের সমষ্টি S10 =                                           = {2 × 2 + (10 -1) 2}                                          = 5(4 + 18)                                         = 5 × 22 = 110           নির্ণেয় সমষ্টি 110. প্রশ্ন ১৬ একটি সমান্তর ধারার প্রথম 12 পদের সমষ্টি 144 এবং প্রথম 20 পদের সমষ্টি 560 হলে, এর প্রথম 6 পদের সমষ্টি নির্ণয় কর। সমাধান : মনে করি, ধারাটির প্রথম পদ = a এবং সাধারণ অন্তর = d      ∴  ধারাটির 12 তম পদ = a + (12 - 1)d                                  = a + 11d           ∴  ধারাটির 12 পদের সমষ্টি S12 =  {2a + (12 - 1) d}                    বা, 144 = 6(2a + 11d)                    বা, 2a + 11d =                      ∴  2a + 11d = 24 .............(i)           আবার, 20 পদের সমষ্টি S20 = {2a + (20 - 1) d}                                        বা, 560 = 10(2a + 19d)                                        বা, 2a + 19d =                                       ∴ 2a + 19d = 56 ......... (ii)           সমীকরণ (ii) হতে (i) নং বিয়োগ করে পাই,      2a + 19d - 2a - 11d = 56 - 24           বা, 8d = 32          বা, d =        ∴ d = 4           d এর মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,      2a + 19 × 4 = 56      বা, 2a + 76 = 56      বা, 2a = 56 - 76      বা, a =      ∴ a = - 10      ∴ প্রথম 6 পদের সমষ্টি S6 = {2a + (6 - 1) d}                              = {2 × (- 10) + (6 -1) × 4}                              = 3(- 20 + 20)                              = 3 × 0 = 0           নির্ণেয় সমষ্টি 0. প্রশ্ন ১৭ কোনো সমান্তর ধারার প্রথম m পদের সমষ্টি n এবং n পদের সমষ্টি m হলে, এর প্রথম (m + n) পদের সমষ্টি নির্ণয় কর। সমাধান : মনে করি, কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ = a           এবং সমান্তর অন্তর = d ∴ ধারাটির প্রথম m পদের সমষ্টি =  {2a + (m - 1) d} এবং ধারাটির প্রথম n পদের সমষ্টি = {2a + (n - 1) d}           শর্তানুসারে,  {2a + (m - 1)d} = n ................ (i)                     এবং {2a + (n - 1)d} = m   ................ (ii)           সমীকরণ (i) হতে পাই,                    2a + (m -1) d =  ..................(iii)  সমীকরণ (ii) হতে পাই,                    2a + (n -1) d =   ..................(iv)           সমীকরণ (iii) হতে (iv) বিয়োগ করে পাই,      (m - n)d =           বা, (m - n)d =           বা, d =               =                 =                 =                 =                এখন, ধারাটির প্রথম (m + n) পদের সমষ্টি          = {2a + (m + n -1)d}           =  {2a + (m - 1)d + nd}           =             =               =             = ×              = ×              = - (m + n)           নির্ণেয় সমষ্টি - (m + n). প্রশ্ন ১৮ কোনো সমান্তর ধারায় p তম, q তম ও r তম পদ যথাক্রমে a, b, c হলে, দেখাও যে, a(q - r) + b(r - p) + c(p - q) = 0. সমাধান : মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ = x                              এবং সাধারণ অন্তর = d           ∴ ধারাটির p তম পদ = x + (p - 1)d                    "      q তম পদ = x + (q -1)d                    "       r  তম পদ = r + (q -1)d      শর্তানুসারে, x + (p -1) d = a  .............. (i)                 x + (q -1) d = b .............. (ii)                 x + (r -1) d = c  .............. (iii)           সমীকরণ (i) হতে (ii) বিয়োগ করে পাই,      (p - 1 - q + 1) d = a - b      বা, (p - q) d = a - b      ∴ d =             d এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,      x + (p - 1) () = a      বা, x = a -                ∴ x =             সমীকরণ (iii)এ x ও d এর মান বসিয়ে পাই,       + (r – 1)( ) = c      বা,  + (r – 1)( ) = c           বা, – aq + ar – br + bp = c(p – q)           বা, - a(q - r) - b(r - p) - c(p - q) = 0           বা,  a(q - r) + b(r - p) + c(p - q) = 0           ∴ a(q - r) + b(r - p) + c (p - q) = 0 (দেখানো হলো) প্রশ্ন ১৯ দেখাও যে, 1 + 3 + 5 + 7 + ... ... ... + 125 = 169 + 171 + 173 + ... ... ... + 209 সমাধান : মনে করি, S1 = 1 + 3 + 5 + 7 + ... ... ... + 125                    এবং S2 = 169 + 171 + 173 + ... ... + 209           দেখাতে হবে যে, Sl = S2      এখানে, বামপক্ষের ধারাটির প্রথম পদ, a = 1           সাধারণ অন্তর, d = 3 – 1 = 2           ধরি, Sl ধারার পদ সংখ্যা = n      কিন্তু n তম পদ = শেষ পদ = 125      ∴ a + (n – 1)d = 125      বা, 1 + (n – 1)2 = 125      বা, 1 + 2n – 2 = 125      বা, 2n – 1 = 125      বা, 2n = 125 + 1     ∴ n =  = 63      ∴ Sl = {2n + (n – 1)d}           = {2 × 1 + (63 – 1).2}            = (2 + 62 × 2)           = × 2 (1 + 62)           = 63 × 63 = 3969      আবার, ডানপক্ষের ধারার প্রথম পদ, a = 169                     সাধারণ অন্তর, d = 171 – 169 = 2           ধরি, S2 ধারার পদ সংখ্যা = m      কিন্তু m তম পদ = শেষ পদ = 209     ∴ a + (m – 1) d = 209      বা, 169 + (m – 1) 2 = 209      বা, 169 + 2m – 2 = 209      বা, 2m + 167 = 209      বা, 2m = 209 – 167     ∴ m = = 21     ∴ S2 = {2a + (m – 1) d}                    = {2 × 169 + (21 – 1).2}                  = (338 + 40)            = × 378            = 21 × 189            = 3969     ∴ Sl = S2             অর্থাৎ, 1 + 3 + 5 + 7 + ... ... ... + 125 = 169 + 171 + 173 + ... ... ... + 209 (দেখানো হলো)   Master the concept of finite series with SSC General Math Exercise 13.1 solution প্রশ্ন ২০ এক ব্যক্তি 2500  টাকার একটি ঋণ কিছু সংখ্যক কিস্তিতে পরিশোধ করতে রাজী হন। প্রত্যেক কিস্তি পূর্বের কিস্তি থেকে 2 টাকা বেশি। যদি প্রথম কিস্তি 1 টাকা হয়, তবে কতগুলো কিস্তিতে ঐ ব্যক্তি তার ঋণ শোধ করতে পারবেন? সমাধান : মনে করি, কিস্তির সংখ্যা = n           পরপর দুই কিস্তির পার্থক্য, d = 2; প্রথম কিস্তি, a = 1;           মোট ঋণের পরিমাণ, Sn = 2500      সমান্তর ধারার সূত্রমতে, Sn =  {2a + (n – 1) d}                       বা, 2500 =   {2 ×1 + (n – 1) 2}                       বা, বা, 2500 =   {2 + 2n – 2}                       বা, 2500 =   × 2n                       বা, 2500 = n2                       বা, n2 = 2500                       বা, n =                           ∴ n = ± 50           কিন্তু কিস্তির সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।           ∴ n = 50           নির্ণেয় কিস্তির সংখ্যা 50 টি। SSC general math exercise 3.4 solution Read the full article