#SSCHigherMathsolution2024

[speedywonderlandtrash]

SSC higher math chapter 2 solution part 2

SSC higher math chapter 2 solution part 2

প্রশ্ন ১০ যদি হয়, তবে দেখাও যে, bc + ca + ab = 0 অথবা, a = b = c সমাধান : দেওয়া আছে,                          বা,            বা,           বা,              বা, left(frac1a+frac1b+frac1cright) = 0           বা,            ∴ bc+ca+ab = 0           অথবা,           যেহেতু তিনটি বর্গের সমষ্টির মান শূন্য, সুতরাং এদের প্রত্যেকের মান শূন্য।           অর্থাৎ           বা,            বা,             বা,  a = b           অনুরূপভাবে, b = c এবং c = a           ∴ a = b = c           সুতরাং bc + ca + ab = 0 অথবা a = b = c (দেখানো হলো) প্রশ্ন ১১ যদি x = b + c - a, y = c + a - b হয়, z = a + b - c তবে দেখাও যে, x3 + y3 + z3 - 3xyz = 4(a3 + b3 + c3 - 3abc) সমাধান : এখানে,       x3 + y3 + z3 - 3xyz =  (x + y + z){(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x2)} =  (b + c - a + c + a - b + a + b - c){(b + c - a - c - a + b)2 +    (c + a - b - a - b + c)2 + (a + b - c - b - c + a)2    =  (a + b + c){(2b - 2a)2 + (2c - 2b)2 + (2a - 2c)2} =  (a + b + c) =  (a + b + c){ 4(a - b)2 + 4(b - c)2 + 4(c - a)2} = 4.   (a + b + c){(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2} = 4(a3 + b3 + c3 - 3abc) x3 + y3 + z3 - 3xyz = 4(a3 + b3 + c3 - 3abc) (দেখানো হলো) প্রশ্ন ১২ সরল কর : (a) চক্রক্রমিক রাশির সূত্রানুযায়ী  a2(b - c) + b2 (c - a) + c2(a - b) = - (a - b) (b - c) (c - a) ∴ প্রদত্ত রাশি = সমাধান :   = = =   এখানে, লব = - a(b - c)(x2 - bx - cx + bc) - b(c - a) (x2 - ax - cx + ca) - c(a - b)(x2 - ax - bx + ab) = - a(b - c) {x2 - (b + c) x + bc} - b(c - a){x2 - x(c + a) + ca} - c(a - b){x2 - x(a + b) + ab} = - ax2(b - c) + a(b - c)(b + c) x - abc (b - c) - bx2 (c - a) + b(c - a)(c + a) x - abc(c - a) - cx2(a - b) + c(a - b)(a + b)x - abc (a - b) = - x2{a(b - c) + b(c - a) + c(a - b)} + x {a(b2 - c2) + b (c2 - a2) + c(a2 - b2)} - abc (b - c + c - a + a - b) = - x2(ab - ca + bc - ab + ca - bc) + x (a - b) (b - c)(c - a) - abc × 0 = - x2 × 0 + x = x(a - b)(b - c)(c - a) ∴ প্রদত্ত রাশি           = (c) সমাধান :   = = = = = = 0 (Ans) (d) সমাধান :   = = = = = = = = = = প্রশ্ন ১৩ আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর : (a) সমাধান : মনে করি, .......... (i) সমীকরণ (i) এর উভয়পক্ষকে x(x + 2) দ্বারা গুণ করে পাই, 5x + 4 ≡ A(x + 2) + B(x) ............. (ii) সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = 0 বসিয়ে পাই, 5.0 + 4 = A(0 + 2) + B ´ 0 বা, 4 = 2A বা, 2A = 4 ∴ A = 2 আবার, সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = -2 বসিয়ে পাই, 5.( - 2) + 4 = A(- 2 + 2) + B ( - 2) বা, - 2B = -6 ∴ B = 3 এখন, A এবং B এর মান সমীকরণ (i)- এ বসিয়ে পাই, ;  এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ। (b) সমাধান : এখানে,           =           = মনে করি, ........... (i) সমীকরণ (i) এর উভয়পক্ষকে (x - 3)(x - 4) দ্বারা গুণ করে পাই, x + 2 ≡ A(x - 4) + B(x - 3) ............... (ii) সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = 3 বসিয়ে পাই, 3 + 2 = A(3 - 4) + B(3 - 3) বা,  - A = 5 ∴ A = -5 আবার, সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = 4 বসিয়ে পাই, 4 + 2 = A(4 - 4) + B(4 - 3) ∴ B = 6 এখন, A ও B এর মান সমীকরণ (i) - এ বসিয়ে পাই,        = ; এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ। (c) সমাধান : মনে করি, .......... (i) সমীকরণ (i) এর উভয়পক্ষকে x (x - 2)(x + 3) দ্বারা গুণ করে পাই, x2 - 9x - 6 ≡ A(x - 2)(x + 3) + B.x(x + 3) + C.x (x - 2)             ............ (ii) সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = 0 বসিয়ে পাই, 0)2 - 9.0 - 6 = A(0 - 2)(0 + 3) + B.0(0 + 3) + C.0 (0 - 2) বা, - 6 = - 6A বা, A = 1 ∴ A = 1 আবার, সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = 2 বসিয়ে পাই, 22 - 9.2 - 6 = A(2 - 2)(2 + 3) + B.2 (2 + 3) + C.2 (2 - 2) বা, 4 - 18 - 6 = 10B বা, 10B = - 20 ∴ B = - 2 আবার, সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = - 3 বসিয়ে পাই, ( - 3)2 - 9( - 3) - 6 = A( - 3 - 2)( - 3 + 3) + B (- 3 )( - 3 + 3) + C( - 3)( - 3 - 2) বা, 9 + 27 - 6 = 0 + 0 + 15C বা, 15C = 30 ∴ C = 2 এখন A, B ও C এর মান সমীকরণ (i) - এ বসিয়ে পাই, ; এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ। (d) সমাধান : মনে করি, ---------------------- (i) সমীকরণ (i) এর উভয়পক্ষকে (x + 1)(x2 + 4) দ্বারা গুণ করে পাই, x2 - 4x - 7 ≡ A(x2 + 4) + (Bx + C)(x + 1) ¼ ¼ ¼ ¼ (ii) সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = - 1 বসিয়ে পাই, (- 1)2 - 4(- 1) - 7 = A{(- 1)2 + 4} + {B(- 1) + C} (- 1 + 1) বা, 1 + 4 - 7 = 5A

বা, 5 - 7 = 5A বা, - 2 = 5A বা, A = আবার সমীকরণ (ii) এর x2 ও x এর সহগ সমীকৃত করে পাই, A + B = 1 ............. (iii) এবং B + C = -4........ (iv) সমীকরণ (iii) এ A = বসিয়ে পাই,   + B = 1 বা,  B = 1 + বা,  B = সমীকরণ (iv)  এ B = বসিয়ে পাই,   + C = - 4 বা,  C = - 4 - বা,  C = বা,  C = সমীকরণ (i) এ A, B এবং C এর মান বসিয়ে পাই, ∴ ; এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ। (e) সমাধান : মনে করি, ................... (i) সমীকরণ (i) এর উভয়পক্ষকে (2x + 1)(x + 3)2 দ্বারা গুণ করে পাই, x2 ≡ A(x + 3)2 + B(x + 3)(2x + 1) + C(2x + 1) ......... (ii) সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = - 3 বসিয়ে পাই, ( - 3)2 = A( - 3 + 3)2 + B( - 3 + 3){2( - 3) + 1} + C{2(- 3) + 1} বা,  9 = -5C বা,  C = -   ∴ C = - আবার, সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = - বসিয়ে পাই,   বা,  বা,  বা,  ∴ আবার, সমীকরণ (ii) এর x2 এর সহগ সমীকৃত করে পাই, A + 2B = 1 বা,  2B = বা,  2B=  বা,  B =  ∴ B =  এখন, A, B ও C এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই, ∴ এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ। প্রশ্ন ১৪ চলক x এর একটি বহুপদী P(x) = 7x2 - 3x + 4x4 - a + 12x3 ক.      বহুপদীটির আদর্শরূপ লেখ। খ.       P(x) এর একটি উৎপাদক (x + 2) হলে a এর মান নির্ণয় কর। গ.       যদি Q(x) = 6x3 - x2 - 5x + 2 এর ক্ষেত্রে Q = 0 হয়, তবে P(x) এবং Q(x) এর সাধারণ উৎপাদক দুইটি নির্ণয় কর। সমাধান : ক.      দেওয়া আছে, P(x) = 7x2 - 3x + 4x4 - a + 12x3           x চলকের বহুপদীকে x-এর ঘাতের অধঃক্রমে সাজালে বহুপদীর এরূপ বর্ণনাকে বহুপদীটির আদর্শরূপ বলে।           ∴ P(x) এর আদর্শরূপ হলো : 4x4 + 12x3 + 7x2 - 3x - a খ.       দেওয়া আছে, P(x) = 7x2 - 3x + 4x4 - a + 12x3           ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, (x + 2), P(x) – এর একটি উৎপাদক হবে যদি P( - 2) = 0 হয়।      এখন, P ( - 2)      = 7( - 2)2 - 3 ( - 2) + 4( - 2)4 - a + 12( - 2)3      = 28 + 6 + 64 - a - 96      = 2 - a           যেহেতু P( - 2) = 0 সুতরাং, 2 - a = 0     ∴ a = 2 (Ans.) গ.       দেওয়া আছে, Q(x) = 6x3 - x2 - 5x + 2           যেহেতু Q = 0, সুতরাং ((2x - 1), Q(x) এর একটি উৎপাদক।      এখন, Q(x)         = 6x3 - x2 - 5x + 2                      = 6x3 - 3x2 + 2x2 - x - 4x + 2                  = 3x2(2x - 1) + x(2x - 1) - 2(2x - 1)                  = (2x - 1)(3x2 + x - 2)                  = (2x - 1)(3x2 + 3x - 2x - 2)                  = (2x - 1) {3x(x + 1) - 2(x + 1)}                  = (2x - 1)(x + 1)(3x - 2)      আবার, P(x)        = 7x2 - 3x + 4x4 - a + 12x3                  = 4x4 + 12x3 + 7x2 - 3x - 2           ∴ P( - 1)  = 4( - 1)4 + 12( - 1)3 + 7( - 1)2 - 3 ( - 1) - 2                  = 4 - 12 + 7 + 3 - 2                  = 14 - 14                  = 0           ∴ (x + 1), P(x) এর একটি উৎপাদক।      এখন, 4x4 + 12x3 + 7x2 - 3x - 2          = 4x4 + 4x3 + 8x3 + 8x2 - x2 - x - 2x - 2          = 4x3(x + 1) + 8x2(x + 1) - x(x + 1) - 2 (x + 1)          = (x + 1)(4x3 + 8x2 - x - 2)          = (x + 1){4x2(x + 2) - 1(x + 2)}          = (x + 1)(x + 2)(4x2 - 1)          = (x + 1)(x + 2){(2x)2 - 1}          = (x + 1)(x + 2)(2x + 1)(2x - 1)     ∴ P(x) ও Q(x) উভয় বহুপদীর সাধারণ উৎপাদক (x + 1) I  (2x - 1) (Ans.) প্রশ্ন ১৫ x, y, z এর একটি বহুপদী হলো,           F(x, y, z) = x3 + y3 + z3 - 3xyz ক.      দেখাও যে, F(x, y, z) হলো একটি চক্র-ক্রমিক রাশি। খ.       F(x, y, z) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর এবং যদি           F(x, y, z) = 0, (x + y + z) ¹ 0 হয়,           তবে দেখাও যে, (x2 + y2 + z2) = (xy + yz + zx) গ.       যদি x = (b + c - a), y = (c + a - b), এবং z = (a + b - c) হয়, তবে দেখাও যে, F(a, b, c) :  : F(x, y, z) = 1 : 4 সমাধান : ক. দেওয়া আছে, F(x, y, z) = x3 + y3 + z3 - 3xyz           এখন, রাশিটিতে x এর পরিবর্তে y, y এর পরিবর্তে z এবং z এর পরিবর্তে x বসিয়ে পাই,      F(y, z, x) = y3 + z3 + x3 - 3y.z.x               = x3 + y3 + z3 - 3xyz     ∴ F(x, y, z) = F(y, z, x) = F(z, x, y)           দেখা যাচ্ছে চলকগুলো স্থান পরিবর্তন করলেও রাশিটি একই থাকে।           সুতরাং F(x, y, z) হলো একটি চক্র-ক্রমিক রাশি।(দেখানো হলো) খ.  দেওয়া আছে, F(x, y, z) = x3 + y3 + z3 - 3xyz      = (x + y)3 - 3xy(x + y) + z3 - 3xyz      = (x + y)3 + z3 - 3xy(x + y + z)      = (x + y + z){(x + y)2 - (x + y)z + z2} - 3xy(x + y + z)      = (x + y + z)(x2 + 2xy + y2 - zx - yz + z2) - 3xy (x + y + z)      = (x + y + z)(x2 + 2xy + y2 + z2 - zx - yz - 3xy)      = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx)      প্রশ্নানুসারে F(x, y, z) = 0      বা,  x3 + y3 + z3 - 3xyz = 0      বা,  (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) = 0      বা,  x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx = 0           ∴ x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx   (দেখানো হলো) গ.  দেওয়া আছে, F(x, y, z) = x3 + y3 + z3 - 3xyz ........ (i)     ∴ F(a, b, c) = a3 + b3 + c3 - 3abc           সমীকরণ (i) হতে পাই,      F(x, y, z) = x3 + y3 + z3 - 3xyz      =  (x + y + z){x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2}      = (b + c - a + c + a - b + a + b - c){(b + c - a - c - a + b)2 + (c + a - b - a - b + c)2 + (a + b - c - b - c + a)2}      = (a + b + c){(2b - 2a)2 + (2c - 2b)2 + (2a - 2c)2}       =  (a + b + c)       =  (a + b + c){4(a - b)2 + 4(b - c)2 + 4(c - a)2}      = 4.  (a + b + c){(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2}     ∴ F(x, y z) = 4(a3 + b3 + c3 - 3abc)     ∴ F(a, b, c) : F(x, y z)     = (a3 + b3 + c3 - 3abc) : 4(a3 + b3 + c3 - 3abc)                        = 1 : 4           ∴ F(a, b, c) : F(x, y, z) = 1 : 4 (দেখানো হলো) প্রশ্ন ১৬ চলক x এর চারটি রাশি (x + 3), (x2 - 9), (x3 + 27) এবং (x4 - 81) ক.      উপরিউক্ত রাশিগুলো হতে একটি প্রকৃত মূলদ ভগ্নাংশ এবং একটি অপ্রকৃত মূলদ ভগ্নাংশ বের কর। খ. কে সম্ভাব্য আংশিক ভগ্নাংশের সমষ্টিরূপে উপস্থাপন কর। গ.       উপরের প্রথম, দ্বিতীয় এবং চতুর্থ রাশিসমূহের প্রত্যেকের গুণাত্মক বিপরীত রাশির সমষ্টিকে সরলরূপে প্রকাশ কর। সমাধান : ক.      প্রকৃত মূলদ ভগ্নাংশ =           এবং অপ্রকৃত মূলদ ভগ্নাংশ = খ.       প্রদত্ত ভগ্নাংশ                    =                    =                    =                    =                    =                    =   গ.       প্রথম রাশি (x + 3) এর গুণাত্মক বিপরীত রাশি দ্বিতীয় রাশি (x2 - 9) এর গুণাত্মক বিপরীত রাশি এবং চতুর্থ রাশি (x4 - 81) এর গুণাত্মক বিপরীত রাশি  গুণাত্মক বিপরীত রাশিগুলোর সমষ্টি           =           =           =           =           =           =           = প্রশ্ন ১৭ (x + 1)3 y + (y + 1)2 রাশিটিকে ক.      x চলকের বহুপদীর আদর্শ আকারে বর্ণনা কর এবং x চলকের বহুপদীরূপে তার মাত্রা, মুখ্য সহগ ও ধ্রুব পদ নির্ণয় কর। খ.       y চলকের বহুপদীর আদর্শ আকারে বর্ণনা কর এবং y চলকের বহুপদীরূপে তার মাত্রা, মুখ্য সহগ ও ধ্রুব পদ নির্ণয় কর। গ.       x ও y চলকের বহুপদীরূপে বিবেচনা করে তার মাত্রা নির্ণয় কর। সমাধান : ক. দেওয়া আছে, (x + 1)3 y + (y + 1)2      = (x3 + 3x2 + 3x + 1) y + y2 + 2y + 1      = x3y + 3x2y + 3xy + y + y2 + 2y + 1           = x3y + 3x2y + 3xy + (y2 + 3y +1) এটি x চলকের আদর্শ আকার।           এখানে, x চলকের মাত্রা = 3                    মুখ্য সহগ = y                    এবং ধ্রুব পদ = y2 + 3y + 1 খ.  দেওয়া আছে, (x + 1)3y + (y + 1)2      = (x3 + 3x2 + 3x + 1) y + y2 + 2y + 1      = x3y + 3x2y + 3xy + y + y2 + 2y + 1           = y2 + (x3 + 3x2 + 3x + 3) y + 1; এটি y চলকের আদর্শ আকার।           এখানে, y চলকের মাত্রা = 2                    মুখ্য সহগ = 1                    এবং ধ্রুব পদ = 1 গ.  দেওয়া আছে, (x + 1)3y + (y + 1)2      = (x3 + 3x2 + 3x + 1) y + y2 + 2y + 1      = x3y + 3x2y + 3xy + y2 + 3y + 1;           এখানে x  ও y এর ঘাতের যোগফলের সর্বোচ্চ মান 4 যা x3y পদে পাওয়া যায়।           ∴ রাশিটিকে x ও y চলকের বহুপদী বিবেচনা করলে বহুপদীটির মাত্রা ৪.   SSC higher math chapter 2 solution part 1   SSC higher math chapter solution part 2 PDF Read the full article