#Teorema De Gödel | Explore Tumblr posts and blogs

danielpico · 2 years ago

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Conf. Gödel y Lacan

Presentación en el festival de Matemática de Buenos Aires 2009, del libro Gödel ∀(para todos) junto a Gustavo Piñeiro.

Una charla sobre los teoremas de Gödel, las interpretaciones de Lacan y un esbozo de la demostración novedosa y elemental que aparece en el libro.

Guillermo Martínez

Vamos a hablar brevemente de nuestro libro Gödel ∀(para todos), con un poco más de nervios de lo habitual, porque está entre el público nada menos que Gregory Chaitin, quien hizo aportes notables en la continuación de las ideas de Gödel.

El teorema de Gödel trata de la diferencia o de la distancia entre lo que es verdadero en matemática y lo que es demostrable. La primera analogía que yo intentaría, para explicar de qué trata el teorema, es una que ya utilicé en alguna de mis novelas: un crimen en un cuarto cerrado con dos únicos sospechosos.

Los dos sospechosos saben toda la verdad sobre el asunto, que puede resumirse en la frase “yo fui” o “yo no fui”. Pero cuando llega el juez de instrucción, si los dos dicen “yo no fui”, empieza el problema de la demostración. Hay una verdad, pero el juez, que no la conoce, tiene que proceder por un camino indirecto e intentar avanzar por recolección de huellas, verificación de coartadas, etcétera. Muchas veces ese camino indirecto no le alcanza -por las exigencias del protocolo de la justicia, por los requisitos estrictos sobre las evidencias- para llegar a la absolución o a la condena. Y el sistema legal no puede, por lo tanto, decidir sobre la cuestión de la culpabilidad y la inocencia. Hay una verdad, pero el sistema no puede alcanzarla. En Argentina, por suerte, eso no pasa. (Risas)

Es claro entonces que en la justicia lo verdadero no necesariamente coincide con lo demostrable. Y lo mismo ocurre en otras disciplinas del conocimiento, como por ejemplo en la arqueología, donde la verdad -aunque también existió en el pasado, de alguna manera única y concreta- se nos presenta como un límite, o una hipótesis provisoria, que depende de los sucesivos hallazgos.

Sin embargo, en la matemática, la intuición durante siglos fue que los dos términos -verdadero y demostrable- coincidían. Todo lo que era verdadero, debía admitir una demostración, en el sentido preciso que los matemáticos entienden por demostración. Una demostración es un texto en el que a partir de algunos principios o axiomas que se asumen como ciertos, se obtienen otros por medio del encadenamiento de un razonamiento lógico, que se puede chequear paso a paso, hasta llegar a la tesis que se pretende probar.

Ejemplo: Demostración de que 1 + 1 = 2.

(Recordar que la letra S significa “sucesor” de un número. Por ejemplo, S(0) = 1, S(1) = 2, S(2) = 3, etc.)

Demostración:

Axioma: Cualquiera sea el número x, vale que x + 0 = x

En particular, si x = 1, vale que 1 + 0 = 1

Axioma: Cualesquiera sean los números x e y, vale que

x + S(y) = S(x + y)

En particular, si x = 1 e y = 0, vale que 1 + S(0) = S(1 + 0) = S(1)

Entonces 1 + S(0) = S(1)

Pero S(0) = 1 y S(1) = 2

Por lo tanto, 1 + 1 = 2

q.e.d

Diap: Demostración de que 1 + 1 = 2.

Las demostraciones en matemática, a pesar de lo que suele creer quizá la gente, requieren mucho de invención y de imaginación. Aquí se ve a la demostración tal como debe enfrentarla un matemático que debe obtenerla por sí mismo, por primera vez. La demostración como un camino a encontrar en un laberinto de bifurcaciones.

El matemático estaría allí arriba, y tiene que encontrar el camino desde las hipótesis de partida a la tesis a la que pretende llegar entre múltiples bifurcaciones lógicas. Una vez que encuentra ese recorrido puede escribir su texto, donde todo parecerá natural y evidente: los que vienen a continuación sólo tendrán que seguir los pasos marcados. En esa búsqueda -que Andrew Wiles[1] describió también como el tanteo en una habitación en principio a oscuras, que se va iluminando de a poco- hay un momento de inspiración, que es el que corresponde a saber decidir, en cada una de las bifurcaciones, por dónde avanzar. De manera que hay en la matemática un momento de inspiración, de creación. Un momento incluso elitista, en que el matemático, a solas con sus ideas y con los objetos con los que se familiarizó durante muchos años, percibe una verdad. Y el momento democrático en el que expone esa verdad a través de un texto que pueda ser chequeado en todo detalle por cualquiera. Ese “cualquiera” debe ser, en sentido estricto, cualquiera, no necesariamente alguien con un saber matemático elevado, y creo yo que una de las razones por la que la matemática avanzó tanto en profundidad con respecto a otras disciplinas es por esta combinación de genio y penetración en la aprehensión del conocimiento y de absoluta claridad en la exposición posterior de ese conocimiento. Insisto en esto: al exponerse una demostración, si se lo hace con suficiente detalle, cualquiera, aún sin tener conocimientos matemáticos, puede corroborar de una manera mecánica, por el chequeo paso por paso de ligaduras lógicas, si la demostración es correcta.

Dijimos que hasta el siglo XIX había una intuición predominante entre los matemáticos de que en su disciplina lo verdadero y lo demostrable coincidían. Y de que para cada verdad matemática habría una demostración a partir de axiomas que la sustentara.

Pero a principios del siglo XX aparecieron algunos problemas en el terreno de los fundamentos de la matemática. Quizá el más conocido sea la paradoja que descubrió Russell. Se había pensado en fundamentar la matemática a través de la teoría de conjuntos, y definir todos los conceptos matemáticos a partir de conjuntos, pero Bertrand Russell encontró una paradoja, que mostraba que había que tener mucho cuidado en la manera de definir los conjuntos para no llegar a contradicciones.

La Paradoja de Russell

Los conjuntos, por lo general, no son elementos de sí mismos: el conjunto de todos los números no es en sí mismo un número, el conjunto de todos los alumnos de una clase no es en sí mismo un alumno de la clase. Sin embargo, pueden concebirse conjuntos que son elementos de sí mismos: el conjunto de los conceptos es en sí mismo un concepto. El conjunto de todos los conjuntos es en sí mismo un conjunto.

Así, puede concebirse también el conjunto S de los conjuntos que no son elementos de sí mismos.

S = {X tal que X no pertenece a X}.

Ahora bien: ¿S pertenece a S?

Si S pertenece a S, es uno de los X que verifica la propiedad entre llaves, por lo tanto, S no pertenece a S.

Si S no pertenece a S, es uno de los X que verifica la propiedad entre llaves, por lo tanto S pertenece a S.

Tenemos así que tanto la pertenencia como la no pertenencia de S a sí mismo nos lleva a una contradicción.

Esta paradoja fue popularizada por el mismo Russell como la paradoja del barbero: Un barbero de cierto pueblo afeita a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos.

¿Debe el barbero afeitarse a sí mismo?

Diap: La paradoja de Russell.

Entonces, en ese momento de crisis, Bertrand Russell por un lado y David Hilbert por el otro, se propusieron refundar toda la matemática en base a la teoría más familiar, e históricamente más probada, la teoría más elemental, que es la aritmética: los números que usamos para contar con las operaciones de suma y multiplicación, tal como se nos enseña en la primaria. A esta teoría se la llama aritmética elemental.

David Hilbert siempre queda mal parado en las historias sobre el teorema de Gödel. Sin embargo, él fue uno de los primeros que percibió las dificultades y los problemas de desarrollar una teoría de la demostración “bajo control”. David Hilbert se proponía, frente a la crisis en los fundamentos, hacer una teoría de la demostración segura, libre de paradojas, en la que sólo se procediera por enunciados cuya verdad se pudiera comprobar en una cantidad finita de pasos, mecánicamente, y que tuviera también incorporada, como parte de las reglas de juego, el marco lógico, la enunciación explícita de los principios lógicos y el protocolo que rige el razonamiento matemático.

O sea, no solamente los axiomas de contenido matemático, sino también la lógica que usa un matemático puesto a trabajar. Esa lógica es común a todas las teorías. Es la lógica matemática. Y está dada por una serie de axiomas y unas reglas de inferencia que permiten pasar de una línea de la demostración a la siguiente con ciertas prescripciones.

Estos dispositivos formales concebidos por Hilbert son los que se llaman los “sistemas axiomáticos”. Un sistema axiomático es un conjunto prefijado y bien determinado de primeros principios para cada teoría y un marco lógico común que nos dice cómo proceder a demostrar afirmaciones, o enunciados, a partir de esos axiomas.

Algo interesante sobre Gödel, y que no es tan conocido, es que Gödel probó en su vida, además de su famoso teorema de incompletitud, también un teorema de completitud. Éste fue en realidad su primer teorema importante, su tesis doctoral. El teorema de completitud que probó Gödel dice que estos diez axiomas del cuadro describen perfectamente la maquinaria lógica, y son suficientes para probar todas las verdades que son puramente lógicas. Por eso se llama teorema de completitud. Porque a partir de estos axiomas, y utilizando las dos reglas de inferencia, se pueden obtener vía demostraciones todas las verdades puramente lógicas. En la demostración de este teorema, durante su tesis doctoral, él ya percibió una serie de dificultades, aún cuando no estaba utilizando funciones ni relaciones matemáticas, sino sólo la estructura más descarnada, puramente lógica. Entonces se le ocurrió por primera vez la posibilidad de que para otras teorías, con alguna complejidad matemática, ya no hubiera completitud. Es decir, concibió por primera vez la posibilidad de que existieran teorías matemáticas que no pudieran ser axiomatizadas de esta manera, a partir de unos pocos “primeros principios”.

En paralelo, y sin conocer estas primeras sospechas de Gödel, Hilbert se proponía un programa para reobtener todo el edificio de la matemática a partir de sistemas de axiomas infalibles, libres de paradojas o contradicciones, por medio de su teoría “segura” de la demostración. Su idea era proceder por “reducciones” sucesivas hasta basar toda la matemática en la aritmética elemental. Ya se había probado que la geometría, por ejemplo, se podía reducir a sistemas de ecuaciones de números complejos. Pero a su vez los números complejos se pueden obtener, por extensiones sucesivas, a partir de los números naturales, y, en definitiva, de la aritmética elemental. Entonces lo que Hilbert se proponía era dar una axiomatización completa para la aritmética elemental. De esa manera estaría dando un fundamento axiomático para toda la matemática. Y se proponía, como coronación de su programa, probar que la aritmética elemental era consistente, es decir, libre de paradojas o contradicciones como las que habían aparecido en la teoría de conjuntos. Ese era esencialmente el programa formalista de Hilbert: fundamentar toda la matemática en la aritmética elemental, dar un sistema de axiomas completo para la aritmética y probar que ese sistema era consistente, es decir, libre de contradicciones.

¿Cómo sería un sistema axiomático para la aritmética? ¿Qué aspecto tendría?

Uno de los posibles sistemas axiomáticos para la aritmética es éste que puede verse aquí.

Aritmética de primer orden de Peano

(Como ya dijimos, la letra S indica la función sucesor, que a cada n le asigna su sucesor inmediato n + 1.)

(1) 0 ≠ Sx Axiomas de la función sucesor

(2) Sx = Sy → x = y

(3) x + 0 = x Axiomas para la suma

(4) x + Sy = S (x + y)

(5) x · 0 = 0 Axiomas para el producto

(6) x · Sy = (x · y) + x

(7) Axioma de inducción:

Para cada propiedad P dada por una fórmula[2] P(x), si vale P en 0, y para cada número x, si vale P en x vale también P en el sucesor de x, entonces vale P(x) para todos los números.

Diap: Un sistema axiomático para la aritmética.

La aritmética del primer orden de Peano.

Tenemos, como siempre, el marco lógico que ya habíamos visto en la diapositiva anterior, y aquí se dan los axiomas para la función sucesor (que consiste en sumar 1), para la suma, y para el producto. Finalmente, en el último axioma, los matemáticos reconocerán el llamado Principio de inducción. Dice que si una propiedad dada por una fórmula se cumple en 0, y cada vez que se cumple en un número x, se cumple en el número siguiente de x, (x+1), entonces se tiene que cumplir en todos los números[3].

Aquí volvemos por un instante a la literatura, y a una frase de Borges en “Avatares de la tortuga”.

“Hay un concepto que es el corruptor y el desatinador de los otros. No hablo del Mal, cuyo limitado imperio es la ética; hablo del infinito.”

Diap.

Y, casi como una respuesta, como si recogiera el desafío, una frase de Hilbert, en “Acerca del infinito”

“La elucidación definitiva de la naturaleza del infinito es algo que va mucho más allá del ámbito de los intereses científicos particulares, algo que, en realidad, se ha convertido en una cuestión de honor para el entendimiento humano.”

En verdad, y aunque sea difícil explicarlo aquí, lo que está detrás del teorema de Gödel es la dificultad de tratar con el infinito como una totalidad. Los matemáticos, históricamente, habían manejado bien y durante mucho tiempo la idea del infinito potencial, el infinito como un conjunto que puede ser aumentado tanto como se quiera. Pero con Cantor, a partir de 1870, se introduce el infinito actual. Es decir, el infinito pensado como un conjunto “todo a la vez”. Y esto trae varios problemas. Por eso digo que debe reivindicarse en esta historia a Hilbert, quien fue uno de los primeros que advirtió que los mismos riesgos y problemas que habían aparecido en el campo del análisis al considerar sumas y productos infinitos, podían surgir en las demostraciones al utilizar los conceptos de “para todo” y “existe” aplicados a totalidades infinitas, si no se tomaban las debidas precauciones. Y esta es la cuestión en el fondo. Cuando pensamos en la definición de verdad decimos que una afirmación E(x) es verdadera si y sólo si son verdaderas todas las afirmaciones E(1), E(2), E(3), etc… De modo que la definición de verdad implica una totalidad infinita, la de todos los números naturales.

Sin embargo, aún si uno sabe cómo hacer la demostración para el caso E(1), cómo hacer la demostración para E(2) y cómo hacer la demostración para E(n), cualquiera sea el número n, esa cantidad infinita de premisas no permite inferir en general que habrá también una demostración del enunciado “Para todo x, vale E(x)”.[4] Esta posibilidad ya la había advertido Hilbert, y por eso se planteaba una teoría de la demostración que procediera de manera “segura” en el tratamiento del infinito. Aún así, Hilbert tenía confianza de que su programa podía ser llevado a cabo.

Pero entonces, en 1931, Gödel presenta su famoso teorema de incompletitud. Hay un relato que reproducimos en nuestro libro, muy interesante, sobre la sesión en el congreso de matemática en que Gödel anuncia por primera vez su teorema. Había en ese momento una disputa muy fuerte entre intuicionistas y formalistas. Parte del programa de Hilbert era mostrar que cualquier enunciado que fuera probado por métodos cualesquiera (finitistas o no) luego podría ser reproducido en base a su teoría de la demostración finitista. Hilbert expone sobre esta posibilidad de reconciliación entre las dos posiciones y Gödel lo interrumpe con un comentario tímido, para decir que él cree que eso no será posible. Después de que termina la sesión comenta con Hilbert y otros la idea que está detrás de su teorema. En realidad lo que él prueba finalmente en su teorema de incompletitud es que:

Teorema de incompletitud de Gödel (1931)

Cualquier sistema axiomático que se proponga para la aritmética, si es consistente, tendrá enunciados indecidibles (es decir, enunciados que no pueden ser demostrados ni refutados por el sistema). Más aún, si los axiomas del sistema se eligen entre los enunciados verdaderos de la aritmética, se puede encontrar un enunciado que es verdadero pero no es demostrable (para ese sistema).

De manera que se replica aquí, dentro de la aritmética elemental, la misma situación que vimos con la justicia y los dos sospechosos. El protocolo estricto de Hilbert sobre la manera en que deben seleccionarse los axiomas, el requerimiento de que la verdad de esos axiomas sea corroborable en una cantidad finita de pasos, la idea, en fin, de una teoría de la demostración a prueba de balas, termina por encontrar su límite y no logra probar toda la verdad de la aritmética. La aritmética como teoría es esencialmente incompleta, y de esta manera el teorema de Gödel destruye una por una todas esperanzas de Hilbert. En primer lugar, muestra que hay enunciados de la aritmética cuya validez no puede decidirse en base a los enunciados finitistas. Es decir, no hay posibilidad de dar una lista exhaustiva de axiomas para la aritmética que permita obtener, vía demostraciones, todos los enunciados verdaderos. Aún peor, uno de los enunciados no demostrables dentro del sistema es justamente la propiedad de consistencia de la aritmética. Recuerden que Hilbert quería fundar toda la matemática a partir de la aritmética. Para eso necesitaba una prueba de consistencia absoluta. Ya no podía ir más atrás porque ése era el sistema fundante, la primera piedra. Pero una consecuencia del teorema de Gödel, que se conoce con el nombre de Segundo teorema de Gödel, o Teorema de consistencia, dice que la consistencia del sistema es uno de los enunciados que no puede demostrarse dentro del sistema. Finalmente, como una última ironía, la demostración dada por Gödel para su teorema sí es finitista, “segura”, y cumple todos los requisitos formales. Es una de las demostraciones que quería Hilbert. O sea, el teorema de Gödel sí es tan verificable e imbatible como 1 + 1 = 2. La demostración es, además, una demostración constructiva. Gödel proporciona un método que es como una receta: para cada sistema axiomático que se proponga para la aritmética, su método indica cómo “construir” paso a paso el enunciado indecidible, que queda “fuera del alcance” y no puede ser ni demostrado ni refutado por ese sistema.

Esto significa, en particular, que no pueden elegirse axiomas y escribir una lista cada vez más larga con la esperanza de obtener todas las verdades de la aritmética a partir de la lista. Alguien podría decir: bueno, pero si Gödel muestra que hay un enunciado que no es demostrable a partir, por ejemplo, de la aritmética de Peano, añadimos ese enunciado como nuevo axioma al sistema y lo “completamos”. No: si añadimos ese enunciado como nuevo axioma, tenemos un nuevo sistema axiomático y para ese nuevo sistema el mismo procedimiento genera otro enunciado indecidible. Por eso se dice que la aritmética es esencialmente incompleta: no hay modo de completarla por más que extendamos por añadidos sucesivos la lista de axiomas. Hay una distancia insalvable entre la verdad y lo demostrable.

Sin embargo, hay dentro de la matemática otras teorías perfectamente legítimas, útiles, conocidas, etcétera, que sí son completas.

Por ejemplo la teoría de los números complejos:

La teoría de primer orden de los números complejos

Recordemos que los números complejos pueden pensarse como expresiones del tipo a + bi, donde a y b son números reales, e i es la llamada unidad imaginaria, con la propiedad

i2 = –1.

La suma de dos números complejos está dada del siguiente modo:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i

El producto de dos números complejos está dada del siguiente modo:

(a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc) i

Sea L = {+, ·, 0, 1} donde + y · son símbolos de funciones binarias y 0 y 1 símbolos de constantes. Consideremos la siguiente lista de enunciados:

(1) x + (y + z) = (x + y) + z (asociatividad de +)

(2) x + 0 = x ∧ 0 + x = x (existencia de elemento neutro para +)

(3) ∃y(x + y = 0 ∧ y + x = 0) (existencia de elemento inverso para +)

(4) x + y = y + x (conmutatividad de +)

(5) 1 · x = x ∧ x · 1 = x (1 es una unidad para el producto)

(6) x · (y · z) = (x · y)· z (asociatividad de ·)

(7) x · y = y · x (conmutatividad de ·)

(8) x · (y + z) = (x · y) + (x · z) (distributividad de · sobre +)

(9) x · y = 0 → (x = 0 ∨ y = 0) (no hay divisores de 0)

(10) x ≠ 0 →∃y (y · x = 1) (existencia de elemento inverso para ·)

(11n) n1 ≠ 0 (una lista infinita de axiomas: 1 ≠ 0; 1 + 1 ≠ 0; etc.)

(12n) ∃y (xn · yn + xn–1 · yn–1 + … + x1· y + x0= 0) ∨ xn = 0

(12n) es en realidad también una lista infinita de axiomas, que expresa el hecho de que todo polinomio tiene raíz.

Diap: Axiomatización completa de los números complejos.

Este ejemplo me parece que es conceptualmente muy importante para evitar una gran cantidad de errores en la propagación del teorema de Gödel, y en su divulgación fuera de la matemática. Estos axiomas que listamos aquí alcanzan para demostrar todos los enunciados que son verdaderos en el cuerpo de los números complejos. Es decir, los dos fenómenos: completitud e incompletitud, conviven y se manifiestan en la matemática. Hay muchas otras teorías, que tienen relevancia en matemática y son también completas.[1] Los dos mundos coexisten, por decirlo de algún modo.

Y ahora vayamos a Lacan. Parte de nuestro libro es discutir algunos de los intentos de aplicación del teorema, o de las invocaciones a Gödel fuera de la matemática. El teorema de Gödel despertó mucha atención en disciplinas sociales ajenas a la matemática porque en el fondo toda disciplina del conocimiento, de una manera implícita o explícita, asume ciertas primeras verdades, ciertos principios, ciertos postulados. Tenemos las “20 verdades peronistas”, tenemos el axioma del materialismo que asegura que existe primero la materia y la conciencia sería una organización superior de la materia. Tenemos los axiomas del psicoanálisis freudiano: Existe el inconsciente y el complejo de Edipo y la tríada del yo, el superyó y el ello. Cada disciplina tiene sus primeras verdades y también, una vez que están fijadas esas verdades, hay algo que es como un aire de familia en los discursos que se generan a partir de ellas. Y que es lo que permite en el fondo discutir. Ese aire de familia es que todas proceden por argumentos lógicos, por argumentación lógica. Si uno lee los diálogos Platónicos se ve que más allá de los distintos principios que sustenta cada uno de los diferentes contendientes hay una lógica común y por eso pueden pensarse las distintas disciplinas como sistemas formales, o sistemas que podrían formalizarse, con ciertos principios y un aparato argumental, de manera similar a este esquema que hemos dado de axiomas y reglas de inferencia en la matemática. De manera que el teorema de Gödel susurra y dice algo para todas las disciplinas. Cuidado, les dice, revisen sus fundamentos. En nuestro libro nosotros analizamos y discutimos intentos de aplicación del teorema de Gödel en la semiología, con Julia Kristeva, en la filosofía con el libro de Deleuze y Guattari, “Qué es la filosofía”. En el discurso post moderno, con Lyotard, en la política, con Régis Debray y en el psicoanálisis con una analogía que da Lacan. Lacan, en particular, utiliza recurrentemente el teorema de Gödel en sus seminarios. Incluso para su definición de lo real hace alusión al teorema de Gödel, y en el Seminario 19, Clase VI (El saber del psicoanalista) invoca una analogía que nosotros resumimos en este cuadro:

La analogía de Lacan

La experiencia del análisis instaura un discurso que podría articularse con una estructura lógica.

Tal como sucede en la aritmética, la textura lógica de ese discurso tiene “fallas” o “aberturas”.

Dentro de la analogía, en esas aberturas está “lo que puede salir del lenguaje” y se corresponderían con los enunciados indecidibles de la aritmética.

Esas “fallas” o “aberturas” lógicas deben ser privilegiadas por los analistas. Allí estaría el “modelo de lo que debe interesar a los analistas”, “lo que entrega la exploración del inconsciente”.

Y sobre todo, y por eso en nuestro libro nos detuvimos en particular en este ejemplo, Lacan infiere de aquí una consecuencia metodológica, una guía de acción para los psicoanalistas que están analizando personas concretas:

“Ese real debe ser privilegiado por nosotros. ¿Por nosotros quienes? Los analistas. Pues da de una manera ejemplar, es el paradigma de lo que pone en cuestión lo que puede salir del lenguaje. […] Propongo, al interesarnos en ese real, en tanto se afirma por la interrogación lógica del lenguaje, propongo encontrar allí el modelo de lo que nos interesa, a saber, de lo que entrega la exploración del inconsciente...”

Así, en lo que puede salir del lenguaje estaría lo más interesante de la exploración, aquello a lo que debe prestar sobre todo atención el psicoanalista en su práctica. Esos serían los momentos de epifanía psicoanalítica.

Sin ánimos de impugnar o decidir si será correcto en la práctica psicoanalítica lo que propone Lacan, nosotros tenemos una serie de objeciones, una observación metodológica sobre las precauciones que hay que tener al invocar esta clase de analogías.

Primera objeción

Es posible que la exploración del inconsciente permita cierta estructuración lógica parcial. Pero esa estructura lógica, ¿tendrá algo que ver con la lógica binaria y estricta de la matemática, que tiene como uno de los principios al tercero excluido?

Segunda objeción

La experiencia del análisis se lleva a cabo en un lenguaje que está hecho del deslizamiento de la significación y, lo dice el mismo Lacan, es lo más alejado posible del lenguaje matemático formal. Este lenguaje, lo dice también Lacan, se manifiesta a través de ambigüedades, equívocos, silencios, rodeos, alusiones, vacilaciones. Es un lenguaje que tiene muy poco que ver con el lenguaje estrictamente formal, inequívoco, construido como un objeto matemático muy preciso que definen Hilbert y compañía, justamente para eliminar toda ambigüedad. Son extremos opuestos. ¿Por qué deberían luego dar lugar a comportamientos similares?

Tercera Objeción

¿Por qué Lacan prefiere, cuando va a buscar su ejemplo dentro de la matemática, el sistema de la aritmética como modelo para su analogía y no alguna de las muchas teorías completas que hay en la matemática, por ejemplo la teoría de los complejos? Y decimos incluso, ¿no sería más razonable, para modelar un discurso que es parcialmente lógico, que admite la negación, la disyunción, la implicación, pensar en estructuras matemáticas que representen operaciones lógicas, como las álgebras de Boole? ¿Por qué se parecería el discurso del inconsciente a la aritmética con la suma y la multiplicación? A nosotros nos parece muy extraña esta elección para su analogía.

Cuarta objeción

Y a partir de esta objeción aparece otra. ¿Cómo saber si el inconsciente de todas las personas se va a expresar con la misma clase de estructura lógica que permita esa analogía con la aritmética? Quizá distintos traumas, distintas obsesiones, distintas capacidades de expresión, den lugar a simulaciones con estructuras lógicas diferentes.

Quinta objeción

Aceptemos igualmente que todo esto fuera posible. Llegamos al punto quizá más delicado: no sólo Lacan tropieza aquí, sino también dentro de la matemática se ha tropezado con esta cuestión. El teorema de Gödel tiene la forma de una implicación, de un condicional del tipo: Si P entonces Q. Lo que dice es que

“Si el sistema para la aritmética es consistente, entonces habrá un enunciado indecidible.”

Si el sistema no es consistente, todo es demostrable y todo es refutable, ya no hay modo de discriminar. O sea, la consistencia (que el sistema no dé lugar a contradicciones) es una condición escondida y asumida a priori en todo esto que estamos hablando.

Consistencia → Incompletitud

De manera que, para que tenga algún sentido la analogía que intenta Lacan, debería poder presumirse la consistencia del discurso obtenido en el análisis, como se presume la consistencia de la aritmética, con una evidencia fundada de miles de años de civilización y de manipulación con los números naturales. Pero bueno, ¿alguien puede presumir que un discurso obtenido durante la experiencia del psicoanálisis no tendrá contradicciones y será un sistema consistente?

Sexta objeción

Imaginemos que se pudieran superar todas las demás objeciones. Todavía hay un detalle que a nosotros nos inquieta. Y es que Lacan parece creer que lo indecidible es algo especialmente valioso, raro, casi místico, en un más allá del lenguaje, y que sería como la epifanía que el esforzado psicoanalista debe intentar de elucidar. Sin embargo, lo indecidible no tiene ese aura en la matemática. Para los matemáticos que estén en la sala, si uno considera, por ejemplo, la teoría del orden total,[2] el enunciado que dice “el orden es denso” es indecidible para esa teoría, simplemente porque hay ejemplos de órdenes totales donde tengo densidad (los números racionales) y hay ejemplos donde no la tengo (los números enteros). Entonces la propiedad de densidad no puede ni demostrarse ni refutarse a partir de los axiomas del orden total.

Lo indecidible depende del alcance y extensión de los axiomas, no tiene por sí mismo, en principio, un valor especial. Pero Lacan sí parece creer que lo verdaderamente importante aparecerá a través de estas “fallas”. Más aún, en la matemática ocurre más bien el caso opuesto: para enunciados que sí son significativos, y cruciales desde el punto de vista matemático, pero que son muy difíciles de probar, finalmente se encuentra, o bien una demostración, o bien un contraejemplo, como ocurrió por ejemplo con la famosa conjetura de Fermat. Y enunciados que son indecidibles a veces no tienen ninguna significación matemática. De hecho los matemáticos siguen su curso y su trabajo sin prestar demasiada atención al teorema de Gödel. No es que estén en un limbo de indecisión desde que se probó el teorema de Gödel. Es decir, no hay en principio una vinculación entre lo indecidible y lo significativo, o lo verdaderamente importante.

Completitud versus incompletitud

Ya hemos dicho, y lo repetimos una vez más, que los dos fenómenos, la completitud y la incompletitud, conviven en la matemática. Nuestro libro empezó a partir de una pregunta que, nos parece, es bastante natural. Con Gustavo nos preguntamos si sería posible detectar e identificar los ingredientes matemáticos que dividen aguas entre aquellas teorías que sí pueden ser completadas, como los números complejos, y teorías esencialmente incompletas, como la aritmética. ¿Qué tiene que haber en un objeto matemático para que su teoría sea completa, o bien para que su teoría sea esencialmente incompleta? ¿Cómo se detecta, desde la matemática, esa diferencia? ¿Hay una manera de vislumbrar eso?

Lo que encontramos finalmente es una respuesta parcial: la condición matemática “mínima” para poner en funcionamiento la demostración original de Gödel. Esa condición tiene una sencillez extrema, y que a nosotros nos parece muy elegante:

El objeto tiene que tener operaciones algebraicas que permitan traducir la operación de concatenación del lenguaje.

La concatenación, en el lenguaje, no es más que la yuxtaposición de letras o palabras, una a continuación de la otra. Por ejemplo, la concatenación de la expresión “sal” con la expresión “as”, es la expresión “salas”.

Si uno encuentra una operación de ese tipo en el objeto matemático, entonces puede desarrollar el teorema de Gödel. ¿Y qué ocurre en la aritmética? Justamente, que en la aritmética también sabemos cómo concatenar. El 35 concatenado con el 698 es el 35698.

En definitiva, ¿por qué la aritmética es incompleta? ¿Cuál es el elemento matemático que está escondido detrás del fenómeno de incompletitud?

El hecho de que esa concatenación de cifras se pueda hacer con la multiplicación y con la suma.

Solamente con la suma no se podría hacer. Y, de hecho, la aritmética que prescinde de la multiplicación es una teoría completa. Pero si uno tiene la multiplicación y la suma, la concatenación se obtiene “corriendo” con la multiplicación suficientes lugares, tantos como precise la segunda cifra y después se suma la segunda cifra para “pegarla” a continuación de la primera. En nuestro ejemplo, se multiplica al 35 por 1000 para correr tres lugares y luego se suma 698.

Esta es la idea que encontramos y nos pareció una idea tan simple, tan elemental, que nos dieron ganas de contarla para todo público, para todos los públicos. Y en vez de escribir Gödel para algunos lógicos matemáticos, decidimos escribir Gödel ∀(para todos).

Preguntas del público

Pregunta: Yo tengo en realidad dos preguntas. Una es qué opinan de la broma de Sokal. La famosa broma de Sokal sobre Lacan y las ciencias sociales.

GM: En el libro hay todo un capítulo en que discutimos los intentos de extrapolación del teorema de Gödel a otras disciplinas. Y la base en esa discusión es justamente el libro de Sokal y Bricmont, y el libro de Jacques Bouveresse “Prodigios y vértigos de la analogía”. Pero en Sokal y Bricmont ellos no hacen hincapié particular en el teorema de Gödel, sino en muchos otros errores matemáticos que se han cometido en distintas extrapolaciones. Entonces nosotros rastreamos, por nuestra cuenta, por ejemplo en el caso de Lacan, en qué puntos de los seminarios aparece el teorema de Gödel, cómo lo utiliza. Y hacemos sobre Lacan una discusión propia. No queremos hacer responsables a Sokal y Bricmont de lo que decimos en ese capítulo. Compartimos, por supuesto, muchas de las críticas que ellos hacen. Pero tenemos una conclusión un poco más optimista. Al leer la crítica de ellos queda la sensación de que quizá no haya nada que la gente de las ciencias sociales pueda encontrar de este lado matemático, que no les conviene ni siquiera asomarse, porque no van a entender nada, y van a utilizar fatalmente los conceptos de una manera incorrecta. Y nosotros, por el contrario, intentamos en nuestro libro una exposición lo más hospitalaria posible de estos resultados, con la esperanza de que todos conozcan algo de estas ideas, porque creemos que son ideas que contribuyen al conocimiento de una forma general. Quisiéramos que gente de otras disciplinas lo tomen como lectura, que futuras analogías sean más precisas y puedan seguir dando inspiración en otros ámbitos. Incluso, a diferencia de ellos, que son muy críticos con las ideas de Lyotard respecto a la física, nosotros rescatamos una exposición de Lyotard sobre el teorema de Gödel, y su vinculación con los juegos de lenguaje de Wittgenstein, que nos parece bastante acertada.

[1] Andrew Wiles: matemático inglés, nacido en 1953, probó uno de los problemas abiertos más famosos de la matemática: la última conjetura de Fermat.

[2] Escrita con los símbolos de la suma, el producto y la función sucesor y con los cuantificadores Existe y Para todo restringidos a números.

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[3] La diferencia entre esta axiomatización y los axiomas originales propuestos por Richard Dedekin y conocidos como los axiomas de Peano es que la inducción está restringida aquí sólo para aquellas propiedades que pueden expresarse a través de fórmulas del lenguaje, escritas de acuerdo a lo que indicamos en la nota 2.

[4] En la demostración del teorema de incompletitud, Gödel exhibe justamente un enunciado E(x) tal que todos los enunciados E(1), E(2),… E(n)… son demostrables y sin embargo no hay una demostración de “Para todo x E(x)”.

#godel #lacan #math #ciencia

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leomusliman · 4 years ago

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TNL - Teoria Nuclear das Linguagens

Leonardo Correia Mota

Agradecimentos

أعوذ بٱللهِ

بسم ٱللّٰه ٱلرحمن ٱلرحيم‎

ٱلحمد لله رب ٱلعلمين

لا إله إلا ٱلله

الله أحد

(...)Vocês disputam comigo a respeito de nomes (de ídolos) que vocês nomearam, vocês e teus antepassados(…) (Alcorão Capítulo 7, verso 71).

RELAÇÃO DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS UTILIZADOS

∀x Para todo x

∃x Existe x

∄x Não existe x

x∈y x pertence a y

x∉y x não pertence a y

x→y x implica y

x≝y A definição de x é y

⋂ Intersecção

⋃ União

x⊂y x é subconjunto de y (x está contido em y)

∧ E

∨ Ou

∴ Portanto

A⨉B Produto cartesiano entre A e B

Ω Conjunto de todas as coisas

∅ Conjunto vazio

x↔y x equivale a y

¬ Não

≼ Relação de ordem

▄ Como queríamos demonstrar

~x x pode ser expresso pela TNL (não primitivo)

\x Escrevendo com a TNL temos a expressão x

x(y, z) x é um conceito derivado de y e z

AE Axioma da escolha

LN Linguagem natural

LP Lógica proposicional

LPO Lógica de primeira ordem

ALPO Axiomática da lógica de primeira ordem

LLPO Linguagem da lógica de primeira ordem

SLPO Semântica da lógica de primeira ordem

TC Teoria dos conjuntos

TNL Teoria nuclear das linguagens

ZFC Axiomas de Zermelo Fraenkel com o AE

INTRODUÇÃO

A ideia central desta obra é proporcionar a construção da Matemática utilizando a Teoria Nuclear das Linguagens (TNL) que fornece um pequeno conjunto de palavras capaz de gerar todas as linguagens, códigos e conceitos. Em linhas gerais, a TNL proporciona uma formalização da linguagem natural (LN) e esta é capaz de gerar a lógica de primeira ordem (LPO) e a Teoria dos Conjuntos (TC) que, juntas, podem formalizar toda a matemática:

TNL→LN→(LPO+TC)→Matemática

O livro “Teoria Nuclear das Linguagens” demostra o processo de obtenção deste núcleo extraído da linguagem e o confronta com os fundamentos da Matemática e da Física, estes não puderam provar ser mais fundamentais do que a TNL, pois ela foi capaz de reescrever ou demonstrar inclusive axiomas. Este fato coloca esta teoria como ponto de partida obrigatório para a formalização de conceitos os quais, costumeiramente, se escoram demasiadamente sobre a linguagem natural.

Iniciaremos com um capítulo que versará sobre as principais características e resultados da TNL, isto servirá de ferramenta para que fragmentemos os conceitos da LPO e da TC por meio da TNL, escrevendo-os em função do núcleo gerador da LN. Quando um conceito x puder ser expresso pela TNL, escreveremos “~x”, isto não significa que x possa ter um paralelo com a realidade, mas apenas que a TNL é capaz de expressá-lo. Já foi demonstrado que ~LN no livro específico sobre a TNL, aqui provaremos que ~(LPO+TC), pois já é um fato reconhecido que (LPO+TC)→Matemática, assim como LN→(LPO+TC). Escolhemos esta estratégia, pois seria muito mais burocrático fazermos este procedimento para cada ramo da Matemática. Também cabe destacar que esta obra é apenas uma aplicação da TNL que se faz necessária diante das nuances, restrições e peculiaridades que envolvem os fundamentos da Matemática. A LN é muito mais expressiva, a Matemática não tem o mesmo poder para descrever a realidade:

“Qualquer sistema lógico que é apropriado para analisar línguas naturais, precisa de uma estrutura muito mais rica que a lógica de primeira ordem".

(Gamut 1991, p. 75).

No livro sobre a TNL abordamos os conceitos que fazem parte da LPO e da TC, mas sem considerar estas teorias formalmente, pois o objetivo central era extrair o núcleo da LN. Após a apropriação dos fundamentos e principais resultados da TNL, analisaremos as particularidades da LPO que se organiza em três partes fundamentais: linguagem, semântica e axiomática. Mostraremos que a TNL pode gerar esta linguagem e que esta, por sua vez, gera a semântica e a axiomática. De acordo com o contexto apresentado, utilizaremos a expressão “x(y,z)” quando x for um conceito artificial não primitivo, ou seja, derivado dos conceitos mais fundamentais y e z (pode haver mais conceitos dentro dos parênteses). Nesse momento do livro já teremos:

~LLPO→(SLPO+ALPO)

Já que LPO=(LLPO+SLPO+ALPO), então teremos a possibilidade de simplificar a análise e compreender a artificialidade dos teoremas metamatemáticos de Gödel, compondo uma crítica ao caráter prolixo, ambíguo e redundante de definições que se mesclam formando a base dos estudos metamatemáticos do último século. Desta forma, restará apenas fazermos o mesmo para a TC, isto já foi feito com os axiomas de Zermelo Fraenkel, sem o formalismo da LPO, no livro sobre a TNL. Aqui retomaremos parte do que já foi feito, mas faremos isto com um pouco mais de detalhes e atenção voltada para os conceitos de relação, função, ordem e equivalência. Também daremos uma atenção especial para o axioma da escolha. Finalizando este processo, teremos formalizado toda a Matemática que se mostrará limitada em comparação com a TNL, pois é resultado de uma limitação da LN.

Portanto, tendo em mente que os fundamentos das ciências estão organizados de forma intuitiva e empírica, o objetivo proposto se mostra vital para a formalização e fundamentação sólida desta ciência que, historicamente, serve de base para as demais. Submetemos este trabalho ao rigor da comunidade científica e rogamos para que não se apeguem a interesses alheios à busca pela verdade.

SUMÁRIO

1. A Teoria Nuclear da Linguagens (TNL)

1.1 Construção dos números naturais

1.2 Definições prévias

1.3 MetaTNL

2. Lógica

2.1 Linguagem

2.1.1 Variáveis

2.1.2 Conectivos

2.1.3 E

2.1.4 Ou

2.1.5 Implicação

2.1.6 O não e o primitivo

2.1.7 Quantificadores

2.1.8 Delimitadores

2.1.9 Igualdade e constantes

2.1.10 Símbolos relacionais e funcionais

2.1.11 Conclusão

2.2 Semântica

2.3 Axiomática

2.4 Metamatemática

3. Teoria dos conjuntos

1. A TEORIA NUCLEAR DAS LINGUAGENS

Neste capítulo apresentaremos um resumo das principais características e resultados da TNL. Ela afirma que todas as palavras e ideias podem ser geradas mediante combinações dos conceitos fundamentais ter e fazer, os quais aplicam-se aos substantivos produzindo todas as linguagens e códigos. Estes seriam os únicos conceitos fundamentais. A linguagem é entendida como uma representação da realidade e surgiu em um momento histórico, portanto não deve ser vista como algo primordial já que foi sendo construída ao longo do tempo.

Sua simbologia utiliza apenas dois caracteres fundamentais (. e >), o ponto indica o ter e a "seta" indica o fazer. O “não” foi descartado como um possível candidato para este núcleo, pois seria uma forma de expressar, de forma sintética, todo um conjunto maior de fatos, exemplo: a casa não é verde = a casa é amarela ou vermelha ou branca ou azul ou rosa… Também, ao dizermos que uma casa é amarela, estamos dizendo que ela não é azul, nem roxa nem qualquer outra cor diferente da cor amarela.

Exemplos de expressões da TNL:

x.y=x tem y;

x>y=x faz y;

x.(>y)=x tem fazer y / x pode fazer y;

x>(y>z)=x faz y fazer z / x utiliza y para fazer z;

(y.z)>(z.x.z)=Apenas x é y / y tem z faz z ser igual à x;

°x=não x/complementar de x;

x°.y=x não tem y;

x.=x tem algo, ou “x e o ter” (possibilidade de estudos da MetaTNL).

Observação: inserimos um símbolo para o “não” por uma necessidade prática.

Lista de resultados matemáticos e metalinguísticos da TNL:

Definição precisa de conceitos sem a necessidade de entes primitivos;

Refutação dos teoremas de Kurt Gödel;

Fórmula exata para o conceito de existência: ∃x equivale a afirmar que x∈x (x.x mais precisamente);

Demonstração de axiomas, crítica e refutação de alguns axiomas de Zermelo-Fraenkel;

Construção dos números naturais, axiomática de Peano e respectivas operações;

Demonstração da existência do conjunto de todas as coisas;

Construção das classes de palavras.

1.1 CONSTRUÇÃO DOS NÚMEROS NATURAIS

A TNL nos permite construir os números naturais e operações aritméticas, isto é vital para os propósitos deste trabalho, pois são conceitos que são utilizados pela LPO em algumas de suas definições, o que contrasta com o fato dela alegar poder construí-los. Portanto, mostraremos como se fazer isto de forma independente desta teoria utilizando apenas a TNL.

| = Unidade identificada por um traço;

||.2.|| = ||.2 e 2.|| (|| = | e |);

|||.3.||| (||| tem 3 e 3 tem |||);

(...)

(|.x)>x.| (Por definição a unidade é indivisível para os números naturais).

A soma, por exemplo, pode se derivar a partir da TNL da seguinte forma: a+b = °(0.b.0)>(a.|,b°.|). (Se “b” não é zero, então faça “a” ter | e “b” não ter |).

A construção dos números naturais se dá pelos axiomas de Peano que demonstraremos a seguir:

1) 0 é um número natural: aqui temos uma afirmação resultante da construção dos naturais e não algo proveniente de uma demonstração, tal fato poderia ser indicado por (0°.|,N.0) (o zero não tem a unidade e os naturais têm zero). Logo o zero é um símbolo que indica a ausência de unidade, sua presença em determinada casa decimal representa que o número não possui valor nesta casa, o número 2037, por exemplo, não possui valor na casa das centenas.▄

2) Todo número natural n possui um sucessor s(n): novamente temos um resultado proveniente da construção dos naturais que pode ser escrito pela fórmula .|>.|| (ter | faz ter outro | ao lado dele). Esta fórmula recursiva gera todos os naturais:

.|>.||>(.|)|>(.||)|>.|||=1>2>3…

\N.n>N.(n|) ▄

3) 0 não é sucessor de nenhum número: este fato pode ser demonstrado se considerarmos os aspectos da construção dos números naturais. Suponha, por absurdo, que exista um n natural tal que s(n)=0, então n|=0 o que implica que (n|).0.(n|), mas, por definição, zero não possui a unidade, absurdo.▄

4) Se s(n)=s(m), então n=m: suponha, por absurdo, que n é diferente de m, por simplicidade tomaremos um x pertencente à m que não seja elemento de n, logo m.x e n°.x. Portanto m|.n|.m|.x>n|.x>(n.x ou |.x), mas n°.x o que implica que |.x, já que | é indivisível, isto indica que x não existe ou que x=|, neste último caso teríamos n°.m>n|°.m|, absurdo, pois n|.m|.▄

5) Seja S um subconjunto dos números naturais que possui as seguintes propriedades:

a) 0 pertence à S;

b) Se n pertence à S, então s(n) pertence à S.

Então, S é o conjunto de todos os números naturais.

Temos um axioma recursivo, a demonstração é semelhante ao axioma 2. Das propriedades "a" e "b", temos que S.s(0)>S.s(s(0))>S.s(s(s(0)))… Isto equivale a escrevermos S.0>S.|>S.||>S.|||... Logo, S pode ter um n tão grande quanto se queira. Para demonstrarmos a infinitude de N, devemos considerar a expressão N.n>N.(n|). Suponha, por absurdo, que m seja um máximo de N, então N.m>N.(m|), como m é máximo, temos que m.(m|).m>(m=m|)>0=| absurdo.▄ Este último fato é suficiente para se definir o conceito de infinito.

Portanto, temos que ~(números naturais), pois N pode ser construído a partir das fórmulas:

N.|: N possui a unidade;

(0°.|,N.n>n.(n0).n,N.0): N possui o elemento neutro zero, 0+n=n para todo n natural;

N.n>N.(n|): N possui o sucessor de qualquer um de seus elementos;

|.x>x.|: a unidade é indivisível;

.|>.||: existir a unidade faz existir o sucessor.

A LPO alega poder construir os naturais e toda a Matemática por meio da TC, portanto, ao provarmos que ~LPO, novamente teremos mostrado que ~(números naturais) de forma indireta.

1.2 CONSTRUÇÕES PRÉVIAS

Antes de inciarmos o estudo da LPO definiremos, por meio da TNL, mais alguns conceitos que serão vitais para sua formalização, pois ela se apropria deles na constituição de algumas definições de forma intuitiva:

Sequência finita e função: uma sequência finita será uma função com domínio S, onde S é um subconjunto de N que é diferente de N, ou seja N.S°.N. Onde f: A→B é uma função, se e somente se:

(A.x)>(.f(x),B.f(x)), ou seja “B.(f(A))” (B.f(x), B.b, b.f(x))>f(x).b, ou seja “b=f(x)”

O valor de f(x) é único, trataremos este conceito com maior abrangência no capítulo sobre a TC,

∴~(sequência finita) e ~(função);

Menor ou maior: x será maior do que y se >x°.y>N.x, ou seja: fazer x não ter y faz x ainda ser um natural, caso contrário será menor do que y, se for zero então será igual, ∴~(menor e maior);

N-ário: quando se refere a uma n-upla que é representada de forma ordenada por (x1,x2,…,xn). Para construir uma n-upla, basta fazermos isto para cada n natural: N.n>.(x1,x2,…,xn). O conceito de variável será formalizado mais adiante, ∴~(n-ário);

Uma relação R, entre dois conjuntos A e B, pode ser representada por aRb>(A.a,B.b). Uma função nada mais é do que um tipo particular de relação. Repare que a ideia de ordem está embutida aqui, pois escrevemos aRb e não bRa, ∴~(relação).

Parte destes conceitos será vista com maiores detalhes no capítulo sobre a TC, em alguns momentos utilizaremos o que já demonstramos ser construtível a partir da TNL por praticidade. Repare que o caso 3 pode ser resumido conforme segue:

n-ário(naturais,variável)

~naturais

~variável(vide 2.1.1)

∴~(n-ário)

1.3 MetaTNL

Exploramos as possíveis combinações dos símbolos do núcleo da LN no livro específico sobre a TNL:

1) x..=x tem o ter ou tem ter, neste caso existe a posse de uma posse o que implica em ter uma posse, logo x..= x., em outras palavras: Ele tem o ter algo equivale a dizer que ele tem este algo. Outra possibilidade de entendimento seria dizer que o próprio conceito fundamental de pertinência pertence à x, além dessas possibilidades, pode-se apenas entender como “x e ter” citados lado a lado sem relação. De qualquer forma, esta configuração não demonstrou ocorrências dentro de todos os conceitos tratados e a expomos apenas para deixar este estudo mais abrangente. Os seguintes casos são análogos a este:

2) x.>=x tem fazer ou tem o fazer (x pode fazer); Se x tem o fazer algo, isto quer dizer que ele pode fazer algo. Ou podemos entender que x possui o fazer em si;

3) x>.=x faz ter ou faz o ter; Se x faz ter, então ele faz algo ter algo (x>y.z). Ou também podemos entender que x1 faz o ter em si;

4) x>>=x faz o fazer ou faz fazer; Se x faz fazer, isto significa que ele faz algo fazer algo. Também podemos fazer uma interpretação metalinguística como nos casos acima e dizer que x faz o fazer. Estas considerações da metalinguagem, apesar de interessantes, serão descartadas, pois entendemos que o ter e o fazer são representações de fatos e acontecimentos dentro do todo, logo, tais representações são formadas apenas por diagramas, escritas, sons e etc...

5) x.y=x tem y ; O verbo impessoal “haver” também se insere aqui, pois dizer que “há chuva” equivale a dizer que “o ambiente tem chuva”;

6) x>y=x faz y; Considerando x e y como substantivos, tal expressão não faz muito sentido, por exemplo: “A Lua faz a mesa”. Este fato se deve à função de > que é descrever uma modificação do espaço, portanto, o > sempre deve estar acompanhado do ter: “A Lua faz a mesa ter luz”. Expressões tais como “hoje faz frio” são coloquiais e não constituem contraexemplos para este fato, poderíamos trocá-las por “hoje tem frio”, substantivos abstratos também obedecem esta lógica “cansaço faz sono” pode ser substituído por “cansaço faz ter sono”. A última contestação seria lançar mão de uma expressão do tipo “O homem faz a cadeira”, tal frase indica um processo e simplifica a citação de diversos fatos, dizer isto significa que o homem faz ter pregos em determinados pontos, faz ter madeiras em outros e etc… Portanto, o fazer sempre deve ser acompanhado de ter e indica sua transformação;

7) x,y.=x e y tem; Esta expressão não deve ser entendida como se x e y tenham algo, se assim fosse, deveríamos escrever “(xy).algo”. Utilizaremos os parenteses para representar a união de elementos, por exemplo: x.(y.z) = x tem a informação/representação de que y tem z ou x tem o y.z o que recairia nas questões anteriores;

8) x,y>=x e y faz. Este caso segue a mesma lógica do anterior;

9) x,y,z=x e y e z. Aqui temos a simples referência de coisas lado a lado, o que substitui o “e”.

Seria possível reduzir ainda mais este núcleo? Para respondermos esta questão é necessário tentar escrever “ter” ou “fazer” em função um do outro:

(x.y).(y.z>x.z).(x.y)

(v>w).(v>w.w).(v>w)

Estas seriam as formas mais naturais de tentar escrever o “ter” em função do “fazer” e vice-versa, porém podemos ver que não foi possível excluir a auto-referência nos dois casos. Na primeira expressão temos “(x tem y) tem (y ter z faz x ter z) tem (x tem y)”, o ter aparece no centro da expressão. Na segunda expressão isto também ocorre: “(v faz w) tem (v faz w existir) tem (v faz w)”. Repare que o “ter” é utilizado dos dois lados para indicar uma igualdade ou definição. Logo, não é possível reduzir o núcleo da TNL.

1.3 MetaTNL

2. LÓGICA

A teoria dos conjuntos e a lógica de primeira ordem podem formalizar toda a matemática, porém ambas dependem da linguagem natural para se fundamentar, é neste ponto que a TNL age, pois sistematiza as linguagens e códigos. Existem outros tipos de lógica, para o leitor que tiver interesse, indicamos o livro “Lógica Matemática” do Professor Rogério Augusto dos Santos Fajardo (2017), tais “lógicas” não serão consideradas aqui, pois todas suas variantes baseiam-se em ideias que já foram diluídas no livro sobre a TNL, por exemplo: necessidade, possibilidade, causa, efeito e probabilidade.

A lógica de primeira ordem se divide em 3 partes:

Linguagem: símbolos e regras de escrita (sintaxe/formação);

Semântica: significação da linguagem (interpretação);

Axiomática: provar teoremas a partir de outras afirmações.

Percorreremos estas três partes com detalhes, mas antes cabe salientar que a lógica de primeira ordem é dita ser “livre de contexto”, portanto é inferior à linguagem natural por possui uma sintaxe controlada, ou seja: limita o arranjo de símbolos para evitar paradoxos. A linguagem da matemática é a lógica e a linguagem da lógica é a própria linguagem natural (de forma controlada e limitada).

Não seria possível provar um teorema conhecendo apenas a sintaxe, pois toda sintaxe possui um significado atrelado. Muitas vezes isto não é percebido, e os símbolos são utilizados de forma automática sem que se reflita a respeito deles o que, por sua vez, contrasta com sua importância na fundamentação da teoria.

O uso da sintaxe controlada evita o surgimento de paradoxos, este é um ponto crucial a ser tratado, pois a limitação da sintaxe evitou o desenvolvimento de um completo entendimento da linguagem natural, isto só veio a ser corrigido com a TNL. O argumento de Gödel foi uma variação do paradoxo do mentiroso “esta frase é falsa”, ora, se ela é falsa, então ela é verdadeira e, se é verdadeira, então é falsa. Ele baseou-se nisto para sustentar seus teoremas, porém, de acordo com a TNL, esta frase indica algo que não existe, não é real e não é verdadeiro: todos conceitos equivalentes. Temos, nada mais nada menos, do que algo análogo ao paradoxo de Russel que se baseia numa representação de uma coisa que não existe “x°.x” (x não tem x). Devemos lembrar que o “não” indica, automaticamente, que a afirmação não é válida (não existe), daí deduz-se o princípio do terceiro excluído: toda afirmação é verdadeira ou falsa, não existe a possibilidade dela ser as duas coisas simultaneamente. Portanto, x°.x elimina x.x e vice-versa, dizer que algo é verdadeiro equivale a dizer que não é falso. Não se pode conceber algo que exista e não exista ao mesmo tempo, porém podemos considerar este pensamento com símbolos, fazendo representações de coisas que não existem. Logo, só porque podemos representar algo, não quer dizer que ele exista necessariamente.

2.1 A LINGUAGEM DA LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM

A lógica de primeira ordem é expressiva o suficiente para formalizar toda a matemática, mas não é capaz de gerar toda a linguagem natural. O inverso é verdadeiro, pois LN→LPO. Desta forma, é necessário limitar o contexto da linguagem à qual estamos nos referindo. Portanto, a linguagem da LPO não é única já que alguns de seus símbolos são comuns a todas as linguagens, mas outros são específicos de cada universo considerado.

O “alfabeto” da linguagem da LPO sempre é o mesmo, independente da limitação contextual à qual a LPO esteja submetida, o alfabeto é formado pelos seguintes símbolos:

Variáveis: x, y, z... Também podem ser indexadas por números naturais: x1, x2...;

Conectivos: ↔, ¬, ⋀, ⋁, →;

Quantificadores: ∃ e ∀;

Delimitadores: ), ( e , ;

Igualdade: =;

Símbolos relacionais (ou de predicado): Para cada número natural há uma lista (que pode ser vazia) de símbolos relacionais n-ários que costumam ser representados por letras maíusculas, estas também podem ser indexadas pelos números naturais;

Símbolos funcionais: Para cada número natural há uma lista (que pode ser vazia) de símbolos funcionais n-ários que costumam ser representados por letras maíusculas, estas podem ser indexadas pelos números naturais;

Constantes: Uma lista, que também pode ser vazia, de símbolos, normalmente letras minúsculas do início do alfabeto que podem ser indexadas pelos naturais.

O conjunto de símbolos funcionais, relacionais e constantes são particulares do universo considerado, os demais símbolos são comuns à todas as demais LPO’s. Podemos notar que a LLPO não se trata de uma linguagem fundamental, pois não define o significado de seus símbolos de forma não empírica e independente de outros conceitos. Discutiremos como cada um dos “símbolos” acima poderia ser explicado pela TNL considerando tanto as interpretações limitadas da LPO quanto as mais gerais concernentes à LN.

2.1.1 VARIÁVEIS

O conceito da palavra variável confunde-se com a ideia do axioma da escolha que veremos com mais detalhes no capítulo sobre teoria dos conjuntos. Se x varia dentro de um conjunto universo U, então seu valor (ou identidade) depende de uma escolha, a não especificação implica em indefinição que é um conceito caracterizado pela TNL como uma carência de dados (representações). Outra possibilidade seria a generalização o que nos levaria a mais uma redundância, agora envolvendo o ∀ (para todo), pois dizer que para todo x vale y equivale a falar que x pode “variar” que sempre ocorrerá y.

Podemos considerar o universo da linguagem natural como exemplo a fim de entendermos a definição de variável dentro da LPO. Aqui elas seriam os pronomes da LN os quais representam indivíduos indefinidos dentro do universo: ele, ela, um, algum e etc. O “valor” destas variáveis muda conforme a situação relatada.

Uma variável x deve pertencer ao universo U da linguagem a qual estamos nos referindo. Desta forma, o conceito de variável da LPO seria definido da seguinte forma pela TNL:

(U.y, °(x.y.x))>(x.>(x.y.x))

Observe que a variável x apresenta a propriedade de poder alterar sua identidade/valor dentro de U para qualquer elemento diferente de x que também pertença a U. Em outras palavras: x pode admitir qualquer identidade dentro de U.

Sabemos que x=F faz x≠V e x=V faz x≠F. Note que tal entendimento não se importa com a essência das sentenças, basta saber se o “valor” delas é V ou F, por exemplo: se x= “papai noel existe”, a lógica não considera esta possibilidade na realidade, nem que x seja apenas a frase escrita (conjunto de letras) ou os substantivos em sua essência, ela limita seu contexto em torno da interpretação de x , ou seja: x=V ou x=F. Já que a TNL é capaz de expressar o conceito de variável da linguagem da LPO, temos que este não é um ente primitivo. Portanto, temos as seguintes concepções para uma variável:

Para todo x em U vale y: aqui podemos simplesmente dizer que U está dentro do conjunto dos conjuntos onde vale y, ou (U.x>.y);

Escolha: podemos pensar a variável x como um espaço vazio “__” que é preenchido a partir de uma escolha de elementos de U feita por um sujeito y, a fórmula da TNL seria y>(__.x), U.x;

Indefinição: como o valor/identidade de x varia, podemos dizer que não temos informações exatas sobre quem é x realmente, o único dado que temos é que U.x. Na LN este x poderia ser substituído pela frase “um elemento de U”. A carência de dados é relativa, depende do número de características que temos a respeito de algo, neste caso das variáveis temos apenas uma característica que é U.x, se U possuir apenas um elemento então será uma informação suficiente, porém, conforme a cardinalidade de U aumentar, teremos um consequente aumento da indefinição;

A última concepção (U.y, °(x.y.x))>(x.>(x.y.x)) afirma que x pode ter qualquer valor/identidade dentro de um conjunto U. Repare que todas as possibilidades se referem a um conjunto universo, isto demonstra uma sobreposição de definições com o quantificador ∀, mas nos dispusemos a escrevê-las dentro da TNL para que não restassem lacunas.

2.1.2 CONECTIVOS

Os cinco conectivos listados pela lógica de primeira ordem podem ser reduzidos a apenas dois: ¬ e ⋀. O significado destes conectivos pode ser expresso pela linguagem natural:

↔: equivalência;

¬: negação;

⋀: e;

⋁: ou;

→: implicação.

Já que todos os conectivos podem ser reduzidos à apenas ¬ e ⋀, vejamos como os demais conectivos derivados podem ser escritos em função destes dois:

Equivalência: A↔B = (A→B)⋀(A→B)

Ou: A⋁B = ¬((¬A)⋀(¬B))

Implicação: A→B = (¬A)⋁B ou seja: A→B = (¬A)⋁B = ¬((¬¬A)⋀(¬B)) = ¬((A)⋀(¬B))

Nota: poderíamos utilizar ¬ e ⋁ para os mesmos fins de redução.

2.1.3 ⋀

Diferente do que ocorre na implicação, o "e" não indica, necessariamente, uma interdependência entre os termos. Se for interpretado como uma intersecção, ele indica que um elemento x pertence a dois conjuntos A e B ao mesmo tempo, em TNL: A.x, B.x. Podemos ver que não foi necessário dizer que “A.x e B.x”, basta a menção das construções lado a lado, pois “X e Y” equivale à “X, Y”. Dizer “a casa é verde e bonita” equivale a dizer “a casa é verde, a casa é bonita”, portanto o “e” não deve ser visto como algo primitivo, mas apenas como mais um recurso prático da linguagem que pode ser explicado pela TNL.

Escrever AB deve pode ser entendido como uma referência à A e a B como um conjunto único, portanto, neste caso temos uma união dos conjuntos, pois (AB).A e (AB).B.

No contexto limitado da lógica de primeira ordem, o que importa é apenas o valor de cada fórmula, portando A⋀B possui as seguintes possibilidades:

V⋀V = V

V⋀F = F

F⋀V = F

F⋀F = F

Nota-se que A⋀B só poderá ser verdadeira se A e B forem ambas verdadeiras, logo, tal expressão refere-se à validade de AB: a união de A e B como um todo. Pode ocorrer que parte de A ou B seja falsa, por exemplo: se B é a frase “São Paulo está no Brasil e existem triângulos com quatro lados”, então apenas uma parte de B é verdadeira, logo, não podemos afirmar que todo o conjunto AB é verdadeiro. O ⋀ lógico possui esta ideia intrínseca de todo verdadeiro ou de junção, união de conjuntos o que pode se confundir com o “ou” que veremos adiante.

Portanto temos as seguintes possibilidades de concepção para o ⋀:

Intersecção: A.(A∩B), B.(A∩B), (A.x, B.x)>(A∩B).x; Um x não especificado implica um x qualquer que apenas possui a propriedade de estar em A e B simultaneamente, repare que a última parte também pode ser escrita de forma invertida ((A∩B).x)>(A.x, B.x);

União: (A e B).(AB).(A e B), a soma também pode ser incluída aqui, pois 2 + 3 = 2 e 3 no sentido de união; (AB).B, (AB).A, ((AB).x, B°.x)>A.x, ((AB).x, A°.x)>B.x. Esta ideia de junção é muito interessante, pois pode formar quaisquer coisas mediante a junção de suas partes integrantes;

Validade simultânea de A e B, neste caso: (.A, .B)>.(AB), (.A, °.B)>°.(AB), (°.A, .B)>°.(AB), (°.A, °.B)>°.(AB). Note que abreviamos A.A “existe A ou A tem A” por .A “tem A”.

2.1.4 ⋁

O “ou” pode indicar uma interdependência entre termos, por exemplo: na frase “ela é rica ou feliz”, se ela é rica, então não é feliz e, se é feliz, então não é rica; ambas as frases interferem uma na outra. Na TNL escreveríamos (x>°y, y>°x).

Se for interpretado como uma união de conjuntos “x pertence à união de A com B”, equivaleria a dizer que x pertence a A ou a B, desta forma o “ou” indicaria que um elemento x pertence ao conjunto A ou ao conjunto B, em TNL: ((A∪B).A, (A∪B).B), ((A∪B).x, A°.x)>B.x, ((A∪B).x, B°.x)>A.x (note que A∪B=AB). Neste caso, o “ou” cumpre uma função de junção assim como o ⋀ também é capaz de fazer, este tipo de consideração de ambiguidades carece de atenção por parte da bibliografia atual, veremos que existe uma intersecção conceitual não vazia e opaca entre a TC e a lógica.

Imagine um y que não possa ser decomposto em partes menores, então não existem w e z, diferentes de y, tais que y=w⋀z=wz ou, analogamente, y=w∪z=wz; y não teria partes próprias, em outras palavras: y.p>p.y, ou (y.(wz).y, °(w.z.w))>(°.w, °.z), se isto é possível não se sabe, mas a TNL pode expressar.

No contexto limitado da lógica de primeira ordem, o que importa é apenas o valor de cada fórmula, portando A⋁B possui as seguintes possibilidades:

V⋁V = V

V⋁F = V

F⋁V = V

F⋁F = F

Nota-se que A⋁B só poderá ser verdadeira se A ou B for verdade. Portanto a frase: “São Paulo fica no Brasil ou existem triângulos com quatro lados” seria verdadeira, o oposto do que ocorreria se o “ou” fosse substituído por “e”.

Temos as seguintes concepções para o ⋁:

Exclusividade: (A⋁B).(°A>B, °B>A).(A⋁B);

Pertencimento a uma união de conjuntos: ((A∪B).A, (A∪B).B), ((A∪B).x, A°.x)>B.x, ((A∪B).x, B°.x)>A.x;

Validade de A ou B: (.A, .B)>.(A⋁B), (.A, °.B)>.(A⋁B), (°.A, .B)>.(A⋁B), (°.A, °.B)>°.(A⋁B).

Também havíamos visto que A⋁B = ¬((¬A)⋀(¬B)) o que equivale a dizer que não pode acontecer de nem A e nem B ocorrerem.

O ou “inclusivo” poder ser facilmente definido adicionando a fórmula “.(A∩B)” (a intersecção é não vazia) no final da fórmula 3 acima.

2.1.5 IMPLICAÇÃO E EQUIVALÊNCIA

A equivalência pode ser descartada como um conectivo primitivo logo de início, pois (A↔B)=(A→B, B→A) ou A→B→A, nada mais é do que uma forma simplificada de se escrever duas implicações.

A implicação pode ser substituída pelo > o “fazer” da TNL, pois possui a mesma ideia de causa e efeito, exemplos:

x+1=2→ x=1, na TNL: (x+1=2)>(x=1), para mais detalhes sobre a fragmentação do processo de resolução de equações sugerimos a leitura do livro sobre TNL;

x∈N→x∈R, na TNL: (N.x)>(R.x);

Todo humano é mortal→Jesus é mortal, na TNL: (M.H, H.J)>M.J, onde M=conjunto dos mortais; H= conjunto dos homens e J=Jesus. Este caso será importante para desenvolvermos o quantificador ∀.

No caso limitado da lógica de primeira ordem, temos que nos ater apenas aos valores de A e B, a tabela verdade de A→B é:

V→V=V

V→F=F

F→V=V

F→F=V

Os diagramas de Venn-Euler, quando indicam variáveis proposicionais, devem ter intersecção não vazia. Imaginar que A e B são independentes não é válido, portanto podemos ver isto como uma forma de se dizer que de algo existente (verdadeiro) só podem sair coisas existentes. A primeira, segunda e quarta linha da tabela verdade aceitam esta interpretação, porém a terceira linha nos diz que de algo não existente sai algo existente, a única forma disto ser verdade é se entendermos A sendo parcialmente verdadeira, desta forma, dizer que de algo parcialmente verdadeiro (ou seja falso) pode sair algo verdadeiro justificaria a tabela. Nesta interpretação, teríamos:

(.x, .y)>.(x>y)

(.x, °.y)>°.(x>y)

(°.x, .y)>.(x>y)

(°.x, °.y)>.(x>y)

O fato de que a TNL nos permite expressar esta tabela verdade independe de sua existência ou viabilidade em situações reais. Conforme dissemos, esta tabela é melhor interpretada se for entendida como a possibilidade de algo verdadeiro ser gerado por outro conjunto, mesmo ele sendo verdadeiro em parte: o falso pode ser parcialmente verdadeiro, mas o verdadeiro é integralmente verdadeiro.

Vimos também que, para a lógica de primeira ordem, A→B=¬((A)⋀(¬B)), ou seja: não pode acontecer de A ocorrer sem a ocorrência de B, dizer que “A implica B” equivale a dizer que “é falso que A é verdadeiro e B é falso”.

2.1.6 O ¬ E O PRIMITIVO

Vimos que todos os conectivos podem ser gerados pela TNL, portanto não devem ser encarados como entes primitivos, além disso, também pudemos observar que eles podem ser reduzidos apenas a ¬ e ⋀, seriam estes os entes primitivos?

Como o caso do “não” e do “e” já foram discutidos por nós anteriormente, nesta seção iremos ampliar nossa visão sobre o que de fato é primitivo segundo a TNL. Seriam o “ter” e o “fazer” os únicos elementos primitivos de fato? Ou seriam somente uma representação de algo mais primitivo? O seguinte teorema alega que não pode existir um conjunto de todas as coisas:

Teorema (Paradoxo de Russell): Não existe conjunto de todos os conjuntos, ou seja ∀x∃y tal que y∉x.

Demonstracão: Suponha, por absurdo, que exista um conjunto y tal que, para todo x, x∈y. Utilizando o axioma da separação para a fórmula x∉x, existe z tal que, para todo x, x∈z↔(x∈y e x∉x). Já que x∈y é verdadeiro para todo x temos que x∈z↔x∉x. Tomando z no lugar de x, temos z∈z↔z∉z, absurdo.▄

Aqui vemos a utilização do axioma do esquema de separação de Zermelo-Fraenkel para uma fórmula "x∉x" que toma um x inexistente e o admite como se fosse existente, porém, isto faz com que as hipóteses do teorema não sejam válidas, pois deve-se pressupor que ∀x refira-se a todo x existente, portanto os argumentos que tomam "x∉x", admitindo-o como algo existente, contrariam a definição de existência descoberta pela TNL.

Teorema: O Conjunto Ω de todas as coisas existe e é único.

Prova: Pela definição de Ω, temos que ∃x↔x∈Ω, o que equivale a dizer que ∄x↔x∉Ω. Suponha, por absurdo, que ∃y e y∉Ω↔∄y, temos, então, um absurdo, pois ∃y→ ∄y, portanto ∃Ω. Seja T outro conjunto de todas as coisas, se ∃T, então T∈Ω, já que Ω existe, então Ω∈T, logo Ω=T, portanto Ω existe e é único. ▄

Já que Ω existe, quando utilizamos o “ter” e o “fazer”, o fazemos para coisas que pertencem a Ω, isto nos leva a admitir que este conjunto é o ente primitivo de fato. O “núcleo” da TNL serve para a representação da característica “estática (ter)” enquanto que o “fazer” expressa qualquer modificação, portanto o “não” é uma forma simplificada de se dizer que algo não está em Ω. Os elementos de Ω podem indicar, inclusive, um recorte não estático deste conjunto universal.

2.1.7 QUANTIFICADORES: “∃ EXISTE” E “∀ PARA TODO”

Existem frases que não podemos dizer se são verdadeiras ou falsas se não tivermos mais informações, por exemplo: “x fez mais de 1000 gols”. Esta frase depende de x, portanto dizemos que se trata de uma função proposicional. Escrevemos p(x) para representar uma proposição aberta que depende da variável x∈U, onde U é denominado “o universo de discurso”, se x=Pelé, então teremos que p(x) será verdadeira.

Os quantificadores permitem transformarmos uma proposição aberta em proposições fechadas:

∃x∈N; x+3=4;

∀x∈N; x+0=x.

Estas express��es podem ser reescritas nas seguintes formas:

Existe x∈U tal que p(x) é verdadeira;

Para todo x∈U temos p(x) verdadeira.

Admitindo estas formas genéricas de ocorrência, podemos dizer que o quantificador existencial ∃ sempre ocorre na forma ∃x∈U:p(x) “existe x pertencente a U tal que p(x) é verdadeira”, na TNL teríamos (.x, U.x, .p(x)). Repare que as únicas especificações de x são que ele existe e que está contido em U, em princípio, não se sabe se ele é o único que faz com que p(x) seja verdadeira ou mais detalhes a seu respeito.

Quando queremos dizer que existe um único x tal que p(x) é verdadeira, utilizamos o símbolo ∃!. Para expressarmos “∃!x∈U:p(x)”, na TNL, basta escrevermos:

.(p(y))>(x.y.x, U.x)

Aqui também há uma única especificação inicial de y que é p(y) ser verdadeira, como não estamos generalizando com o uso do quantificador universal ∀, então estamos especificando, apesar de termos poucas informações.

Interpretar a indefinição como total falta de especificação pode não estar correto, pois ao dizermos "uma mulher ganhou na loteria" estamos nos referindo a uma mulher específica. Aqui o pronome indefinido “uma” pode ser entendido como a unidade, mas também pode-se supor que o ganhador da loteria seja sempre unitário. Temos a informação de que se trata de uma mulher e isto é um dado parcial, portanto, as indefinições costumam ser, nada mais, do que especificações parciais.

Cabe relembrar que a TNL define o conceito de existência de forma mais fundamental do que esta aplicação restrita da lógica de primeira ordem. O quantificador existencial também pode ser descartado pela lógica como um símbolo primitivo, pois pode ser escrito em termos de outros símbolos: ∃xA=¬∀x¬A “existe x tal que A é verdadeira é igual a dizer que não é verdade que para todo x, A é falso”.

O quantificador universal ∀ também pode ser fragmentado pela TNL. Dizer que para todo x∈U temos p(x) verdadeira “∀x∈U:p(x)” equivale a (U.x)>.(p(x)) “U ter x faz ter p(x)”. Observando esta última fórmula, podemos concluir que o quantificador universal pode ser resumido a uma implicação lógica, por exemplo: “∀ homem ∃ uma morte” equivale a dizer que os homens estão contidos no conjunto dos mortais o que é o mesmo que dizer que se x é homem, então x é mortal. Dizer “para todo x real temos p(x)” equivale a dizer que “se x é real, então vale p(x)”, em resumo temos que a implicação lógica, a relação de pertinência da teoria dos conjuntos e o ∀ são conceitos equivalentes. Pode parecer estranho afirmar que isto vale para a implicação, o exemplo que demos anteriormente diz que x+1=2→ x=1, poderíamos afirmar que a equação x+1=2 está no conjunto C das equações que possuem o 1 como solução, logo C.(x+1=2)>(x=1). Aqui temos algo que é intrínseco ao conjunto Ω de todas as coisas: se Ω.x, então x terá as características determinadas pela intersecção dos conjuntos que o contém com todas as suas implicações intrínsecas.

A fórmula do ∀ na TNL “(U.x)>.(p(x))” traz apenas uma especificação inicial para x que é “U.x”, portanto não devemos entender o ∀ como uma generalização indiscriminada, pois ele está se referindo a elementos de um conjunto específico. Se escrevêssemos “.p(x)>U.x” (p(x) ser válida faz U ter x) não estaria correto, pois podem existir elementos fora de U tais que p(x) seja válida. Concluímos que o “para todo” sempre se refere aos elementos de um conjunto, logo pode ser resumido a uma relação de pertinência. Portanto temos as seguintes fórmulas na TNL:

∀x∈U:p(x)=(U.x)>.(p(x));

∃x∈U:p(x)=(.x, U.x, .p(x));

2.1.8 DELIMITADORES ), ( e ,

Os delimitadores podem ser utilizados para indicar a junção de elementos, escrever (xy) faz com que estejamos nos referindo à união de x com y, portanto “xy.z” deve ser lido como “x e y tem z” enquanto que “(xy).z” significa que xy tem z. Muitas vezes o contexto é claro e a aplicação dos parênteses é negligenciada, o mesmo ocorre para as vírgulas, mas, dependendo da situação, elas podem ser úteis para a organização de expressões mais complexas, “xy” indica “x e y; já “x, y” costuma indicar a listagem ou menção lado a lado de duas coisas que não precisam ser consideradas unidas ou relacionadas.

A expressão (x, °.y) “x, não tem y” significa “x e não tem y”, sem a vírgula ficaria (x°.y) “x não tem y” o que mudaria completamente o significado da expressão. A TNL não impõe nenhuma limitação para a organização dos delimitadores, pois entende que isto amplia a expressividade da linguagem e impede o cerceamento de questões que podem surgir. A linguagem da lógica de primeira ordem não admite que escrevamos (x.,) “x tem vírgula” ou )( “parênteses direito e parênteses esquerdo”, isto limita um aprofundamento na metalinguagem e implica numa superficialidade no domínio dos fundamentos metamatemáticos.

O livro sobre a TNL discute, com detalhes, as possíveis combinações e interpretações dos elementos do núcleo da linguagem, por exemplo: “x..” pode ser lido como “x tem o ter” ou “x tem ter”, no segundo caso temos a posse de uma posse o que poderia ser entendido como x tendo algo, logo “x..= x.”, ele tem o ter algo equivale a dizer que ele tem este algo. Outra possibilidade de entendimento seria dizer que o próprio conceito fundamental de pertinência pertence à x.

De qualquer forma, os delimitadores não devem ser vistos como elementos primitivos da linguagem, a vírgula pode ser substituída por uma combinação de parênteses, pela menção dos elementos lado a lado, por espaços vazios ou por qualquer sinal gráfico:

x, y e wz=x, y, wz=(x)(y)(wz)=x y wz

Até os parênteses podem ser fragmentados pela TNL, eles possuem a função de mencionar um conjunto de elementos como um todo, “(xy)” pode ser entendido como o conjunto que possui x e y como elementos. Vejamos o caso dos parênteses mediante um conjunto de fórmulas:

(x).x°.(x)

(xy).x

(xy).y

2.1.9 IGUALDADE E CONSTANTES

A igualdade também é fixada como um símbolo primitivo da linguagem de primeira ordem, porém isto não se faz necessário pois “x=y” pode ser reescrito como “x.y.x”. No entanto, o igual também pode significar a equivalência entre quantidades ou características de dois objetos que podem não ser o mesmo, ao dizermos que todos os humanos são iguais, podemos estar nos referindo a seus direitos e deveres, ou seja: “direitos e deveres de Valéria”=“direitos e deveres de Márcia”, neste caso faz sentido dizermos que “Valéria=Márcia” apesar de serem pessoas diferentes. Isto também ocorre para as quantidades, os números desprezam a identidade das coisas e objetos aos quais se referem, se número de homens “h” e o número “m” de mulheres num local é o mesmo, então escrevemos “m=h” apesar de que todas as pessoas são diferentes uma das outras ao considerarmos suas identidades e local que ocupam no espaço. Tratamos esta questão com rigor durante a demonstração dos axiomas de Peano.

A utilização do = no alfabeto da lógica ajuda a termos uma escrita mais prática, porém seria bom ressaltar que este símbolo não é um conceito primitivo essencial para a construção da teoria.

Na lógica de primeira ordem, as constantes são definidas como uma lista, vazia ou não, de símbolos que normalmente são letras minúsculas do início do alfabeto que podem ser indexadas pelos números naturais. Esta definição faz referência aos números naturais de forma intuitiva sem construí-los, tal dependência contrasta com a alegação de que a Lógica e a Teoria dos Conjuntos podem gerar toda a Matemática de forma independente, pois depende do conceito de número natural. Como alegar que a LPO e a TC podem construir a matemática se ambas teorias fazem uso dos números naturais que estão contidos dentro da matemática? Seria como construir algo que já está inserido implicitamente tanto na teoria construtora quanto na construída.

Na LN, uma constante individual se refere a um substantivo, por exemplo: Cléber, casa, a vizinha da minha avó. Uma constante de predicado se refere aos atributos que podem ser aplicados às constantes individuais, por exemplo: “A casa é bonita”, neste caso a constante individual é “A casa” e a constante de predicado “é bonita”, poderíamos escrever isto simbolicamente com “B(c)”. A TNL descreve as constantes individuais como substantivos que podem ser abstratos ou concretos, os casos de constantes de predicado também são gerados pela TNL, o exemplo específico “B(c)” seria representado por c.b “a casa tem beleza”. Além dessas possibilidades, talvez a mais natural de todas seria dizer que uma constante é algo que não muda, não possui alguém que a modifique e não possui a modificação, isto pode ser escrito na TNL:

c é constante =

c°.>

(y>c.)>°.y

As constantes, assim como os símbolos relacionais e funcionais que veremos a seguir, são símbolos específicos da linguagem que estamos considerando, se estivéssemos tratando da LN, as constantes representariam os substantivos concretos ou próprios: objetos, de certo modo, estáticos e bem definidos. Para a LPO o mais natural é definir uma constante como o contrário de variável:

(U.y, °(c.y.c))>c°.>(c.y.c)

Ou seja: se y está no universo e é diferente de c, então c não pode ser y.

2.1.10 SÍMBOLOS RELACIONAIS E FUNCIONAIS

Já consideramos a maior parte dos elementos que constituem a linguagem da lógica de primeira ordem, restam apenas dois:

Símbolos relacionais: Para cada número natural há uma lista, vazia ou não, de símbolos relacionais n-ários, costumam ser representados por letras maíusculas que também podem ser indexadas por números naturais;

Símbolos funcionais: Para cada número natural há uma lista, vazia ou não, de símbolos funcionais n-ários, costumam ser representados por letras maíusculas e podem ser indexadas por números naturais;

Estas definições são feitas de forma genérica, aqui, o que mais chama a atenção é que elas fazem referências a conceitos que não são próprios da Lógica, pois o conceito de relação é definido pela Teoria dos Conjuntos, sendo que toda função é um tipo específico de relação conforme vimos anteriormente. Também cabe salientar, novamente, a dependência destes conceitos em relação aos números naturais.

Fragmentaremos os conceitos de relação e função com maior profundidade no capítulo sobre a Teoria dos Conjuntos. Nesses símbolos específicos também há uma dependência em relação ao quantificador universal, simbolicamente temos o seguinte:

Símbolo relacional: ∀n∈N ∃Ln , onde Ln é uma “lista”, vazia ou não, de símbolos relacionais n-ários;

Símbolo funcional: ∀n∈N ∃Fn , onde Fn é uma “lista”, vazia ou não, de símbolos funcionais n-ários.

Ambas as definições são muito parecidas, ainda mais se considerarmos que toda função é um tipo específico de relação. Pela TNL, poderíamos definir os símbolos relacionais conforme segue:

N.n>.Ln

Ln.R>(R ser uma relação n-ária)

Como já definimos o que significa “n-ário”, relação e função, podemos concluir que todo o alfabeto da LLPO demonstrou poder ser derivado a partir da TNL: LLPO(TNL).

2.1.11 CONCLUSÃO

Após este tortuoso processo de definição da linguagem da lógica matemática, surgem outras definições artificiais tais como: termos, fórmulas (que dependem da definição de termo), grau de complexidade de termos e fórmulas, subtermos, subfórmulas, variáveis livres, substituição de variável por termo, e etc. Isto causa uma grande prolixidade e névoa conceitual que impede uma visão clara das coisas, também permite o surgimento de falácias que costumam ser encaradas como verdades bem fundamentadas pela maioria dos matemáticos que, infelizmente, são treinados para seguir as definições sem questionamentos, apenas atentando-se para a sintaxe e regras de inferência. Alguns autores corroboram este pensamento ao escrever que discutir o sistema de axiomas faz parte da filosofia, ora isto impede que a matemática tenha um aprofundamento em suas raízes limitando-a a um mero conjunto de consequências, úteis ou não, de regras cujas validades não são postas à prova.

Podemos expor os elementos da LLPO como um recorte da linguagem natural, as concepções podem ser resumidas conforme segue:

Variáveis: (U.y, °(x.y.x))>(x.>(x.y.x));

O “e” expressa a validade simultânea de A e B, neste caso: (.A, .B)>.(AB), (.A, °.B)>°.(AB), (°.A, .B)>°.(AB), (°.A, °.B)>°.(AB);

O “ou” expressa a validade de A ou B: (.A, .B)>.(A⋁B), (.A, °.B)>.(A⋁B), (°.A, .B)>.(A⋁B), (°.A, °.B)>°.(A⋁B);

A implicação pôde ser expressa por:

(.x, .y)>.(x>y), (.x, °.y)>°.(x>y), (°.x, .y)>.(x>y), (°.x, °.y)>.(x>y);

O “não” é uma forma simplificada de se dizer que algo não está em Ω;

A fórmula do ∀ na TNL se refere a um conjunto universo U: “(U.x)>.(p(x))”, ou também podemos dizer que U pertence ao conjunto dos elementos que fazem valer p;

Para o ∃ também temos um conjunto universo U ao qual ele se refere, na TNL teríamos (.x, U.x, .p(x));

Vírgula e parênteses:

x, y e wz=x, y, wz=(x)(y)(wz)=x y wz

(x).x°.(x)

(xy).x

(xy).y

Em resumo: a vírgula indica uma separação e os parênteses indicam uma junção;

c é constante: c°.>, (y>c.)>°.y;

Símbolo relacional:

N.n>.Ln

Ln.R>(R ser uma relação n-ária);

Símbolo funcional:

N.n>.Ln

Ln.F>(F ser uma função n-ária);

Igualdade: x.y.x que pode se referir apenas a uma característica comum aos elementos o que poderia ser indexado: xc.yc.xc.

Agora vejamos as demais definições que surgem dentro da LLPO com o objetivo de provar que elas são todas derivações dos símbolos do alfabeto:

Termos: são sequências finitas de símbolos do alfabeto que representam indivíduos do universo em questão. Os termos obedecem a estas regras:

As variáveis são termos;

As constantes são termos;

Se t1,...tn são termos e F é um símbolo funcional n-ário, então F(t1,…,tn) é um termo;

Todos os termos têm uma das formas acima.

Podemos reparar que esta definição não se faz necessária, pois trata-se de uma sequência de símbolos que a TNL foi capaz de reduzir. Isto apenas causa mais poluição informacional e sobrecarrega a sintaxe dentro da lógica. Utilizado a notação que estabelecemos no início do livro, temos:

termo (sequência finita, alfabeto da linguagem da LPO, números naturais)

Constatamos que se trata de um conceito derivado com um grau de dependência considerável em relação a outras definições que também são derivadas. Neste caso particular, todos os conceitos que geram a definição de termo já foram fragmentados, continuemos:

Fórmulas: são sequências finitas de símbolos do alfabeto que representam afirmações sobre os indivíduos (termos). As fórmulas obedecem a estas regras:

Se t e s são termos, (t=s) é uma fórmula;

Se t1,…,tn são termos e R é um símbolo relacional n-ário, então R(t1,…,tn) é uma fórmula;

Se A e B são fórmulas, então (¬A), (A→B), (A⋀B), (A⋁B) e (A↔B) são fórmulas;

Se A é fórmula e x é uma variável, então ∃xA e ∀xA são fórmulas;

Todas as fórmulas têm uma das formas acima.

A palavra “fórmula” já foi utilizada anteriormente com significado do senso comum, a definição acima restringe-se à LPO. É interessante notar que expressões com significado tais como “¬ →” e “↔ ⋀ →” são ignoradas, o que impede um aprofundamento metamatemático.

Tanto termos quanto fórmulas são definidos como sequências de símbolos e, já que a TNL foi capaz de construir tais símbolos, estas definições também acabam sendo construídas por meio dela:

fórmula (sequência finita, alfabeto da linguagem da LPO, números naturais).

Podemos constatar que se tratam de definições recursivas. Fazendo um paralelo entre a LN e a LPO, as fórmulas seriam as frases que podem ser classificadas em verdadeiras ou falsas. A igualdade e os símbolos relacionais corresponderiam aos verbos (ou locuções verbais), vejamos alguns resultados obtidos a partir destas definições:

É possível demonstrar que vale a unicidade na representação de termos e fórmulas;

“Indução” na complexidade de termos e fórmulas.

Estes resultados permitem um “fechamento” e dão uma sensação de que a teoria tem um caráter abrangente e fundamentado, certamente que as definições recursivas contribuíram fortemente para isto. Ainda temos que considerar mais algumas definições para terminar de retratar esta visão geral da linguagem da LLPO:

Grau de complexidade de termos:

Se t é uma variável ou constante, então g(t)=0 “t tem grau de complexidade igual a zero”;

Se t é um símbolo funcional F(t1,…,tm), então g(t)=n+1, onde n é o maior dos graus de complexidade de t1,…,tm.

Grau de complexidade de fórmulas:

• Se A é uma fórmula atômica, então g(A)=0;

• Se A é da forma ¬B ou ∀xB, então g(A)=g(B)+1;

• Se A é da forma B⋀C, então g(A)=n+1, onde n é o máximo entre g(B) e g(c).

Logo:

g.c. de termos (alfabeto da LPO, maior, naturais, soma)

g.c. de fórmulas (alfabeto da LPO, fórmula, naturais, soma, maior)

Estas definições de complexidade poderiam ser mais rigorosas segundo Fajardo (2017), podemos notar um uso indiscriminado da aritmética sem construí-la o que contrasta, novamente, com o alegado rigor. Quando a palavra “atômica” aparece em textos de lógica, somos levados a imaginar algo indivisível o que denota a limitação desta ciência em comparação com a TNL. Mais definições:

Subtermos:

• Se t é uma variável ou constante, então t é o único subtermo de si;

• Se t é forma F(t1,…,tn), então os subtermos de t são t e os subtermos de t1,…,tn.

Subfórmulas:

• Se A é uma fórmula atômica, então A é a única subfórmula de si mesma;

• Se A=¬B ou A=∀xB, então as subfórmulas de A são A e as subfórmulas de B;

• Se A=B⋀C, então as subfórmulas de A são A e as subfórmulas de B e C.

Um subtermo próprio de A é um subtermo de A que é diferente de A. Analogamente se definem as subfórmulas próprias. Portanto:

subtermo(alfabeto da LPO)

subfórmula(fórmula, alfabeto da LPO)

Variáveis Livres: Dizemos que x é uma variável livre em uma fórmula A se não ocorre dentro de uma subfórmula da forma ∀xB. Quando não é livre, dizemos que é ligada. Logo:

variável livre(alfabeto da LPO, fórmula, subfórmula)

Ocorrência de variável: Se refere à ocorrência de um símbolo em uma subfórmula atômica não considerando as variáveis que aparecem ao lado do quantificador. Ou seja:

Ocorrência de variável(alfabeto da LPO, subfórmula, atômica)

Substituição de variável por termo:

Substituição de variável por termo(termo, alfabeto da LPO, substituição)

Adiante ainda teríamos a fórmula obtida substituindo todas as ocorrências livres da variável x pelo termo t: [A]tx.

[A]tx(alfabeto da LPO, termo, fórmula, variável livre)

Sentença é uma fórmula sem variável livre.

sentença(fórmula, variável livre, não)

Para ficar mais claro que TNL→LLPO, consideremos os conceitos derivados substituindo “alfabeto da LPO”, números naturais, sequência finita e maior por TNL, pois já verificamos que estes conceitos são derivado da TNL:

termo (TNL, TNL, TNL)

fórmula (TNL, TNL, TNL).

g.c. de termos (TNL, TNL, TNL, soma)

g.c. de fórmulas (TNL, fórmula, TNL, soma, TNL)

subtermo(TNL)

subfórmula(fórmula, TNL)

variável livre(TNL, fórmula, subfórmula)

Ocorrência de variável(TNL, subfórmula, atômica)

Substituição de variável por termo(termo, TNL)

[A]tx(TNL, termo, fórmula, variável livre).

sentença(fórmula, variável livre, não)

Repare que termos, fórmulas e subtermos são derivados da TNL, substituindo suas ocorrências junto com alguns elementos do alfabeto que estão mencionados de forma isolada, teremos:

termo (TNL)

fórmula (TNL).

g.c. de termos (TNL, soma)

g.c. de fórmulas (TNL, TNL, TNL, soma, TNL)

subtermo(TNL)

subfórmula(TNL, TNL)

variável livre(TNL, TNL, TNL)

Ocorrência de variável(TNL, TNL, atômica)

Substituição de variável por termo(TNL, TNL)

[A]tx(TNL, TNL, TNL, variável livre).

sentença(TNL, variável livre, TNL)

Lembrando que a TNL pôde construir a soma e observando que o conceito de variável livre pode ser derivado apenas da TNL, teremos:

termo (TNL)

fórmula (TNL).

g.c. de termos (TNL, TNL)

g.c. de fórmulas (TNL, TNL, TNL, TNL, TNL)

subtermo(TNL)

subfórmula(TNL, TNL)

variável livre(TNL, TNL, TNL)

Ocorrência de variável(TNL, TNL, atômica)

Substituição de variável por termo(TNL, TNL)

[A]tx(TNL, TNL, TNL, TNL).

sentença(TNL, TNL, TNL)

A única componente que restou foi a palavra atômica que se refere às fórmulas da forma P(t1, …, tn) para um predicado(relação) P com termos ti. Portanto:

fórmula atômica(LLPO)→fórmula atômica(TNL)

Portanto TNL→LLPO.

2.2 Semântica

O foco da semântica é propor uma interpretação para o significado das fórmulas da LPO a partir de um universo ao qual a linguagem se refere. Interpreta-se as constantes como elementos desse universo, os símbolos relacionais como relações e os símbolos funcionais como funções deste mesmo universo, estes elementos formam um modelo para a LLPO. Logo:

modelo(LLPO, conjunto não vazio, relação, função)

Vimos que os termos representam elementos do universo, mais formalmente, a interpretação de termos é uma função que relacionará cada termo a um objeto do universo, temos:

interpretação(LLPO, modelo, valoração)

A valoração se aplica às variáveis, ela estabelece um valor para cada variável no universo, logo:

valoração(modelo, universo, função, variável)

Para interpretar termos, devemos estender a valoração das variáveis para todos os termos. O modelo proporciona uma interpretação para as constantes e símbolos funcionais, logo:

interpretação de termos(modelo, valoração, função, termo, LLPO)

A definição de verdade a seguir foi concebida por Tarski 1944; 1957. Ela pode ser representada da seguinte forma:

verdade(modelo, valoração, fórmula, termo, LLPO, elemento)

Escrevemos “(M, v)⊨A” quando a fórmula A é verdadeira no modelo M para uma valoração v. Na TNL, tudo isto seria substituído por “.A”. Dizemos que M “satisfaz” a fórmula A quando (M, v)⊨A para toda valoração v, neste caso escrevemos M⊨A. Ou seja:

satisfatibilidade(verdade, para todo)

Até este momento provamos que TNL→LLPO, precisamos provar que LLPO→SLPO para prosseguirmos a fim de demonstrar que LLPO→ALPO, pois SLOP+ALPO=LPO. Considerando os conceitos derivados extraídos acima, temos que todos os elementos constituintes podem ser derivados pela TNL, por exemplo:

modelo(LLPO, conjunto não vazio, relação, função)→

modelo(TNL), pois:

LLPO(TNL);

conjunto não vazio(TNL) “definição de existência .C”;

relação(TNL);

função(TNL).

Portanto, substituindo “modelo” por “TNL”, temos:

interpretação(LLPO, TNL, valoração)

valoração(TNL, universo, função, variável)

interpretação de termos(TNL, valoração, função, termo, LLPO)

verdade(TNL, valoração, fórmula, termo, LLPO, elemento)

satisfatibilidade(verdade, para todo)

Podemos fazer o mesmo para LLPO, universo(conjunto), função, variável, termo, fórmula, elemento e “para todo”:

interpretação(TNL, valoração)

valoração(TNL)

interpretação de termos(TNL, valoração)

verdade(TNL, valoração)

satisfatibilidade(verdade, TNL)

Basta observarmos que valoração(TNL) e substituirmos valoração por TNL, para concluir que todos os conceitos são derivados da TNL:

interpretação(TNL)

valoração(TNL)

interpretação de termos(TNL)

verdade(TNL)

satisfatibilidade(TNL)

Portanto, acabamos de provar que TNL→SLPO.

2.3 Axiomática

Já provamos que TNL→(LLPO+SLPO), resta provarmos que TNL→ALPO. A axiomática da LPO é utilizada para tentar formalizar a ideia de demonstração matemática que deve atender às seguintes condições:

Deve existir um conjunto de fórmulas denominadas axiomas;

Deve haver um conjunto finito de relações n-árias dentro das fórmulas, estas relações são chamadas de regras de inferência;

Existe um algoritmo capaz de determinar se uma fórmula é um axioma ou não por meio de um número finito de etapas;

Existe um algoritmo capaz de determinar se uma n-upla de fórmulas pertence a uma regra de inferência ou não por meio de um número finito de etapas;

Uma sequência finita de fórmulas é uma demonstração se, e somente se, toda fórmula A desta sequência é um axioma ou existem fórmulas na sequência A1,…,An-1, anteriores a esta fórmula dada, tais que A1,…,An-1, A pertence a alguma regra de inferência.

Um teorema é qualquer fórmula que ocorre em uma demonstração. Adicionando as definições de instância e ocorrência livre de termo na listagem acima, teremos:

regras de inferência(conjunto, relações)

axioma(fórmula, conjunto)

algoritmo(?)

n-upla(TNL)

demonstração(sequência finita, menor, fórmula, LLPO, axioma, regra de inferência)

teorema(fórmula, demonstração)

instância(fórmula da LPO, lógica proposicional(LP), fórmula atômica da LP, LLPO, substituição)

ocorrência livre(fórmula, termo, variável, subfórmula, LLPO)

Substituindo os elementos que já demonstramos ser derivados da TNL, teremos:

regras de inferência(TNL)

axioma(TNL)

algoritmo(?)

n-upla(TNL)

demonstração(TNL, ~axioma, ~menor, ~regra de inferência)

teorema(TNL, ~demonstração)

instância(TNL, LP, fórmula atômica da LP, substituição)

ocorrência livre(TNL)

Restaram apenas os conceitos de algoritmo, LP, fórmula atômica da LP e substituição, tratemos cada um individualmente:

A lógica proposicional(LP) possui um alfabeto que está contido na LLPO, de fato, a segunda é uma extensão da primeira. A LLPO adiciona os quantificadores à LP. Já que ~LLPO, então devemos ter ~LP, pois a LPO abrange a LP, mas isto só será encerrado quando tivermos ~ALPO;

As fórmulas atômicas da LP nada mais são do que fórmulas que não contém conectivos, logo fórmula atômica da LP(fórmula da LP, conectivo). Onde fórmula da LP(variável, não, conectivos), logo ~fórmula da LP;

Quando falamos em substituição, estamos nos referindo a um “lugar” no sentido de substituir um x num lugar y por um z. Na TNL temos (>y°.x, >y.z);

Restou apenas o conceito de algoritmo que veremos mais adiante, pois ele se refere aos axiomas. Analisemos os axiomas lógicos válidos para qualquer teoria que utilize a LPO, eles são compostos por 5 axiomas e 2 regras de inferência:

A1) As instâncias de tautologia são axiomas: aqui temos que A1(~instância, ~tautologia) logo ~A1. Cabe lembrar que uma tautologia é uma fórmula que é verdadeira para qualquer valoração, ou seja tautologia(~fórmula, ~verdade, ~valoração);

A2) Se A e B são fórmulas e x é uma variável que não ocorre livre em A, então (∀x(A→B))→(A→∀xB). Logo A2(~fórmula, ~variável livre, ~não, ~→, ~∀, ~parênteses), portanto ~A2.

A3) Se A é uma fórmula, t um termo e x uma variável com todas ocorrências livres em A sendo também livres para t, então ∀xA→[A]tx é um axioma. Logo A3(~fórmula, ~termo, ~variável, ~ocorrência livre, ~[A]tx, ~→, ~∀, ~axioma), portanto ~A3;

A4) Para toda variável x temos x=x. Logo A4(~variável, ~igualdade, ~∀), ou seja ~A4;

A5) Se x e y são variáveis, e A e B são fórmulas onde B origina-se de A por meio da substituição de uma ocorrência de x por y, desde que estas ocorrências de x e y sejam livres, então (x=y)→(A→B) é um axioma. Logo A5(~variável, ~fórmula, ~substituição, ~ocorrência livre, ~=,~→), ou seja ~A5;

I1) Modus ponens: de A e A→B infere-se B. Logo I1(~fórmula, ~→, ~e), ou seja ~I1. O verbo “inferir” pode ser substituído por “implica”. Esta regra nos diz que se A é válida e A→B, então B será válida. Porém isto já está presente na definição de A→B constituindo uma redundância banal que expressa V→V=V;

I2) Generalização: se x é uma variável, então de A infere-se que ∀xA. Logo I2(~variável, ~fórmula, ~∀, ~→), ou seja ~I2. Se A é verdadeira, então A vale para todas variáveis. Já que, dentro de fórmulas, podem aparecer variáveis, então se uma fórmula é válida, é de se esperar que isto independe de suas variáveis.

Pode-se demonstrar muitos teoremas a partir do conjunto de axiomas e regras de inferência apresentados, porém, pode-se esperar que tal tarefa não seja muito prática devido a característica burocrática evidenciada acima. Por exemplo, para se provar que (x=y)→(y=x), a bibliografia consultada utiliza A5 com x=x no lugar da fórmula A e y=x no lugar de B. Na TNL bastaria escrever x.y.x>y.x.y. Outro teorema diz que “se A→B e ∀xA são teoremas, então ∀xB é um teorema”, livros de lógica combinam os axiomas e regras acima e fornecem uma demonstração “sucinta” com poucas linhas, na TNL uma linha basta: (.A, .A>.B)>(.B). Se para todo x A é válido, então expressar o x é uma redundância, pois A sempre é válido.

Forma normal prenexa(fórmula, subfórmula,∧,∀).

Para encerrar este capítulo, consideremos o conceito de algoritmo por meio da seguinte definição:

Uma fórmula A é um teorema da LPO se existe uma sequência finita de fórmulas (Ai)0≤i≤n de modo que A=An e ∀i≤n vale uma das seguintes condições:

Ai é um axioma;

∃ j<i e uma variável x tal que Ai=∀xAj;

∃ j, k<i tais que Ak=Aj��Ai.

Esta definição descreve um conjunto finito de requisitos(ou etapas) para verificarmos se uma fórmula é um axioma ou se pertencente a uma regra de inferência ou não. Este conjunto de etapas é o algoritmo descrito inicialmente, podemos reparar que já mostramos que todos seus elementos constituintes são derivados da TNL.

2.4 Metamatemática

Concluímos as etapas que provam que TNL→LPO, pois TNL→(LLPO+SLPO+ALPO). A metamatemática costuma se referir à parte da matemática que estuda os teoremas sobre lógica.

validade(fórmula, LLPO, modelo, verdade, ∀)

consequência semântica(conjunto, fórmula, linguagem, ∀, modelo, verdade, →)

consequência sintática(LLPO, fórmula, conjunto, demonstração, sequência, números naturais, ∀, ∃, menor, verdade, pertence, axioma, variável, implicação)

consistente(conjunto, fórmula, não, =, consequência sintática) – esta definição diz que x diferente de x não pode ser consequência sintática de um conjunto de fórmulas consistente 𝚪. AQUI Q MORA O PERIGO

Sentença indecidível(sentença, conjunto, fórmula, não, consistente)- esta definição diz que se A e não A são consistentes num conjunto de f��rmulas, então a sentença A é indecidível.

Relativamente consistente(conjunto, fórmula, consistente, não, união)

Sentença independente(sentença, conjunto, fórmula, não, relativamente consistente)

Resultado: consequência sintática equivale à consequência semântica

Teorema da Compacidade: Se todo subconjunto finito de um conjunto de fórmulas 𝚪 é consistente, então 𝚪 é consistente.

Teorema da correção: consequência sintática implica consequência semântica (axiomática implica somente fórmulas válidas) O sistema de axiomas prova apenas fórmulas válidas

Teorema de Henkin: Todo conjunto consistente de sentenças é validado por algum modelo.

Teorema da completude: consequência semântica implica consequência sintática (toda fórmula válida pode ser provada, se é válida então a axiomática pode provar)

Teorema de Löwenheim-Skolem: Se 𝚪 é um conjunto consistente de sentenças, então existe um modelo M cujo domínio é finito ou enumerável e tal que M⊨𝚪.

1° Teorema da incompletude de Gödel: Qualquer tentativa de axiomatização da matemática será incompleta. Ou seja, sempre haverá uma sentença que não pode ser provada nem refutada.

2° Teorema da incompletude de Gödel: Um sistema consistente capaz de axiomatizar a matemática não pode provar sua própria consistência.

3. TEORIA DOS CONJUNTOS

Vimos que a LPO depende de alguns conceitos da TC, neste capítulo confirmaremos que o contrário também é verdadeiro o que vai contra a suposta força destas teorias, o objetivo central será demonstrar ~TC.

A TC não considera que os conjuntos A={a,e,i,o,u} e B={{a},{e},{i},{o},{u}} sejam iguais, os elementos de A são as vogais, e os elementos de B são os conjuntos unitários cujos elementos são vogais, em resumo, considera-se que {u} seja diferente de u. Aqui podemos dizer que X={a,e,i}⊂A, mas não que X∈A, esta diferença se baseia no fato de que o ∈ considera cada elemento de forma individualizada. As chaves são encaradas como uma espécie de invólucro que deve ser considerado, pois {u}∉u, mas u∈{u}. Isto pode ser questionado, pois podemos afirmar que as chaves não necessitam ser consideradas, assim os elementos de B seriam apenas as vogais. Vejamos outra possibilidade: seja C={1,2}, logo o conjunto das partes de C será P(C)={∅,{1},{2},{1,2}}, o {1} poderia ser encarado como uma cópia/representação de 1, ou seja, P(C) poderia ser visto como um tipo de conjunto de cópias de elementos de C, pois 1∉C, mas {1}∈C.

O termo “família de conjuntos” é redundante e nada mais significa do que um conjunto de conjuntos, na axiomática dos conjuntos tudo é conjunto. A axiomática de Zermelo-Fraenkel (ZFC) da TC pode ser utilizada para formalizar toda a matemática, inclusive os teoremas metamatemáticos, essas formalizações apresentam algumas limitações, pois na LPO não podemos quantificar sobre conjuntos, funções e sequências de elementos do universo. A TC se apresenta como uma teoria unificadora que utiliza uma LLPO e é aceito que a ZFC pode definir os conceitos matemáticos fundamentais como pares ordenados, produto cartesiano, funções, números naturais e reais. As outras teorias matemáticas surgiriam a partir destes conceitos como a geometria euclidiana que pode ser interpretada em R3.

3.1 ∈ e ⊂

O único símbolo específico da ZFC é o ∈ “pertence” o qual faria parte do núcleo da TNL, pois representaria o conceito de “ter”, desta forma teríamos, de certo modo, que (∈=.). Este é um fato muito interessante, pois, considerando a ZFC como uma “teoria unificadora” da matemática, é de se admirar que esta possua apenas um símbolo primitivo, para o qual temos ~∈. Para esclarecer esta derivação é necessário considerar um aspecto da TC que já comentamos anteriormente: Sejam D={0,1} e E={0,1,2}, então temos que D⊂E, mas D∉E. Na TNL escrevemos “E.D”, pois não costumamos considerar as chaves, a não ser que seja explicitado que elas fazem parte do conjunto, caso contrário, seus elementos serão apenas o interior das chaves.

Para a TC o ∈ carrega a ideia de indivíduo que se difere de conjunto por estar dentro de outro invólucro (chaves) além das que cercam o conjunto ao qual pertence o elemento. Na TNL temos:

x∈X = (X.x,°(.Y, X.Y, .Z, Y={Z}, Z.x))

Ou seja, x é elemento de X se X tem x, mas não é verdade que existem Y e Z, tais que X.Y e Y={Z} com Z.x. Se isto fosse verdade teríamos X.({Z}).x, o que faria {Z}.x, logo x estaria dentro de outro par de chaves e não poderia ser descrito como elemento de X por meio do símbolo ∈.

O ⊂ “contido”, segundo consta, não seria um símbolo primitivo assim como os demais que veremos diferentes do ∈. O ⊂ estabelece uma relação entre conjuntos, ou seja, o objeto à esquerda do símbolo deve estar dentro de um par de chaves além das que cercam o termo à direita:

x⊂X = (X.x,(.Y, X.Y, .Z, Y={Z}, Z.x))

Ou seja, x é subconjunto de X se X tem x e existem Y e Z, tais que X.Y e Y={Z} com Z.x. Logo X.({Z}).x o que faz {Z}.x, portanto x está dentro de outro par de chaves e não pode ser descrito como elemento de X por meio do símbolo ∈, pois se trata de um subconjunto segundo a TC.

3.2 O vazio ∅

Segundo a TNL, o ∅ é sinônimo do que não existe, logo pode ser definido por ∅ °.∅ ou Ω°.∅ o que equivale a dizer que ∄∅. Num exemplo anterior vimos que o vazio é um elemento do conjunto das partes:

C={1,2}

P(C)={∅,{1},{2},{1,2}}

Mas como isto é possível dado que a TNL o define como algo inexistente? O vazio não pode ser elemento de nada, pois ele não está em Ω. Isto pode ser contornado se o substituirmos por um espaço o que é diferente de vazio, pois o vazio não possui nada, nem espaço, logo: P(C)={ ,{1},{2},{1,2}}.

3.3 União, intersecção e subtração

Podemos descrever a união dos elementos de uma família de conjuntos “F” por: ⋃F={x:∃X∈F, x∈X}. Todos os símbolos desta expressão já foram construídos pela TNL, a única observação a se fazer é que os dois pontos “tal que” podem ser substituídos pelo “e”, portanto ~(⋃F). Vale relembrarmos que descrevemos a união entre dois conjuntos anteriormente com a TNL:

((A⋃B).A,(A⋃B).B),((A⋃B).x,A°.x)>B.x,((A⋃B).x,B°.x)>A.x;

Podemos descrever a intersecção dos elementos de uma família de conjuntos “F” por: ∩F={x∈F:∀X∈F, x∈X}. Todos os símbolos desta expressão já foram construídos pela TNL, portanto ~(∩F). Vale relembrarmos que descrevemos a intersecção entre dois conjuntos anteriormente com a TNL:

A.(A⋂B), B.(A⋂B), (A.x, B.x)>(A⋂B).x>(A.x, B.x)

Apesar de dizermos que “F” é uma família de conjuntos, destacamos que para a TC tudo é conjunto. A forma de se escrever a intersecção de acordo com a LPO é:

∀x(∃y(y∈x)→∃y(∀z((z∈y)↔∀w((w∈x→(z∈w)))))

Onde denotamos y por ⋂x, portanto ~⋂x. A família x não pode ter considerar o vazio como elemento durante este processo… contradição???

A subtração entre conjuntos A-B é o conjunto dos elementos que pertencem à A, mas não à B:

(A-B)={x∈A:x∉B}. Todos os símbolos desta expressão já foram construídos pela TNL, portanto ~(A-B), TNL teríamos: (A-B).x>(A.x,B°.x).

3.4 Par ordenado e produto cartesiano

O axioma do par pode ser utilizado para garantir a existência do conjunto {x,y} que é um par não ordenado, aqui podemos inverter a ordem dos elementos sem problema, ou seja: {x,y}={y,x}. Para definirmos um par ordenado esta igualdade só poderá ser válida se os respectivos elementos forem iguais, na TNL teríamos: ((a,b)=(c,d))>(a=c,b=d), logo, não podemos dizer que o par ordenado (a,b)={a,b}.

Na TC, define-se o par ordenado (a,b) como sendo o conjunto {{a},{a,b}}, logo ~(a,b). Com a LPO temos:

∀x(x∈(a,b)↔∀y(y∈x↔y=a)∨∀y(y∈x↔y=a∨y=b))))

Todos estes símbolos já foram construídos pela TNL reforçando o nosso argumento.

Definição de produto cartesiano A⨉B: é o conjunto dos pares ordenados (a,b) tais que a∈A e b∈B. Em TNL: (A.a B.b)>(A⨉B).(a,b). Com a LPO temos:

(x∈(A⨉B))↔∃a∃b(a∈A∧b∈B∧x=(a,b))

Todos estes símbolos já foram construídos pela TNL, portanto ~(A⨉B).

3.5 Relações

Uma relação é definida como sendo qualquer subconjunto de um produto cartesiano: (A⨉B).R, portanto temos que ~(relação), o mesmo vale para um produto cartesiano n-ário. Se a e b estão relacionados, podemos escrever que (a,b)∈R ou aRb. Na TNL:

aRb>(A.a,B.b)

Note que a definição de relação é bem genérica, pois não especifica como devemos saber que dois elementos estão relacionados, ela pode qualquer relação inclusive grau de parentesco: JesusFMaria “Jesus filho de Maria”, a relação “F” aqui significa “ser filho”.

Uma relação de equivalência em um conjunto X é um subconjunto de X⨉X que obedece às seguintes propriedades:∧∀∈→

∀x∈X, xRx

xRy→yRx

(xRy∧yRz)→xRz

Na TNL:

X.x>xRx

xRy>yRx

(xRy, yRz)>xRz

A igualdade é um tipo de relação de equivalência, mas podemos generalizar isto e dizer que toda relação de equivalência expressa uma igualdade entre a característica considerada dos elementos em questão, portanto podemos representar isto com a TNL por meio dessa característica indexada: (xRy↔xc.yc.xc). Desta forma satisfazemos a definição de relação de equivalência:

X.x>xRx equivale à X.x>xc.xc.xc;

xRy>yRx equivale à xRyRx↔xc.yc.xc∧ yc.xc.yc↔ xc.yc.xc;

(xRy, yRz)>xRz equivale à (xc.yc.xc , yc.zc.yc)>zc.yc.xc.yc.zc>xc.zc.xc.

Cada relação de equivalência pode particionar um conjunto em partes disjuntas. Podemos escrever que P é uma partição de X da seguinte forma:

⋃P,(P.(x,y),°(x.y.x),x.z,y.z)>(z°.z)

Todos os símbolos acima já foram construídos pela TNL, logo ~(relação de equivalência) e ~(partição).

3.5.1 Funções

Uma função de A em B é um tipo de relação específico que costuma ser representada por f:A→B ou f⊂A⨉B, este conceito pode ser escrito formalmente das seguintes maneiras:

∀x∈A ∃!y∈B:(x,y)∈f. Ao invés de escrevermos (x,y)∈f podemos simplesmente dizer que f(x)=y;

Pela TNL temos (A.x)>(.f(x),B.f(x)) ou B.(f(A)) (B.f(x),B.b,b.f(x))>f(x).b>b=f(x), ou seja, o valor de f(x) é único;

Na LPO tem-se que f é uma função de A em B se, e somente se:

f⊂A⨉B∧∀x(x∈A→∃!y,(x,y)∈f). Temos que ~(função), pois todos os símbolos acima já foram construídos pela TNL.

Para terminarmos devemos citar alguns tipos específicos de funções e definições que decorrem de algumas particularidades que podem ser todas construídas pela TNL:

Injetora: f(x)=f(y)>x=y;

Sobrejetora: B.y>(A.x,f(x)=y) ou seja: f(A)=B, onde B é denominado contradomínio de f e f(A) é a imagem de f. Temos que f(A)={y∈B:∃x∈A,f(x)=y};

Se uma função é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, dizermos que ela é bijetora. Toda função bijetora f possui uma função inversa f-1 que “desfaz” o trabalho feito por ela, ou seja: se f(x)=y, então f-1(y)=x. Quando existe uma bijeção entre dois conjuntos A e B, dizemos que A e B são equipotentes;

Um conjunto é dito ser enumerável se é equipotente a um subconjunto de N. Um conjunto é dito ser finito se é enumerável, mas não é equipotente a N.

Uma sequência é uma função cujo domínio é N ou um subconjnto de N, uma operação n-ária é uma função de An em A.

3.5.2 Ordem

Uma ordem também é um tipo específico de relação binária em A que obedece às seguintes propriedades:

∀a,b,c∈A : a≼a(se não valer é antireflexiva)

a≼b e b≼a => a=b(se não valer é assimetria)

a≼b e b≼c => a≼c

Pode acontecer de haver x e y que não possam ser comparados, neste caso temos uma ordem parcial. Na TNLtemos:

A.a>a≼a

(A.(ab) a≼b b≼a)>a.b.a

(A.(abc) a≼b b≼c)>a≼c

Quando se tem a propriedade adicional "∀a,b∈A → a≼b ∨ a≼c ∨ a=b", dizemos que A é totalmente ordenado. Em TNL: A.(b c)>[b≼c ∨ c≼b ∨ b=c], lembrando que "∨" e "=" já foram reduzidos na TNL.

Se ∀B⊂A,∃b∈B:(∀x∈B, b≼x) A é um conjunto bem-ordenado. Em outras palavras: todo subconjunto de A possui primeiro elemento. Em TNL: A.B>[(.b B.b) (B.x>b≼x)].

Confrontando estes conceitos com a TNL, podemos perceber que a ideia de ordem depende da igualdade na propriedade 2 e esta, por sua vez, depende do conceito de pertinência "ter" da TNL. O fato é que o ≼ pode ser substituído pelo "ter" o "." da TNL, o que implica em equivalência conceitual:

∀a∈A : a.a

(a.b,b.a)> a=b

(a.b,b.c)> a.c

Podemos ter casos nos quais não é possível relacionar todos os elementos, por exemplo: b≼a, c≼a, d≼b, d≼c e e≼d; aqui temos que o b não se relaciona com c, portanto o conjunto {a,b,c,d,e} não é totalmente ordenado.

Quanto aos números, a relação de ordem se resume à uma inclusão, dizer que 2<3 equivale a dizer que 3.2, pois |||.||.

3.6 ZFC – Axiomas de Zermelo Fraenkel

A letra C se refere ao axioma da escolha (AE), ela vem da palavra “choice” em inglês. Analisaremos este conjunto de sentenças que fundamenta a TC com o objetivo provar que ~ZFC, desta forma teremos que ~TC. Isto já foi feito no livro sobre a TNL, aqui veremos como isto foi feito, mas daremos uma atenção maior para a forma como isto é escrito com uma LLPO:

• Axioma da extensão: Dois conjuntos são iguais se eles possuem os mesmos elementos. - Temos aqui uma obviedade que pode ser resumida da seguinte forma como um mero resultado da TNL: x=y ↔ x.y.x ▄ Vejamos como isto é representado com uma LLPO:

∀x∀y(x=y↔(∀z(z∈x↔z∈y)))

Todos os símbolos desta expressão já foram construídos por meio da TNL, portanto ~(axioma da extensão). O símbolo ⊂ também pode ser inserido aqui sendo definido da seguinte forma:

x⊂y↔∀z(z∈x→z∈y), ou seja ~⊂.

Axioma do vazio: existe um conjunto vazio. - Aqui temos uma sutileza, pois vimos que o vazio significa ausência de elementos, sua definição equivale a dizer que ele não existe: (∅°.∅)↔∄∅. Portanto este axioma representa uma falha conceitual da ZFC, pois não define o vazio de forma adequada, sua expressão utilizando uma LLPO é:

∃x∀y¬(y∈x)

Todos os símbolos desta expressão já foram construídos por meio da TNL, portanto ~(axioma do vazio), porém devemos mostrar que há uma contradição aqui, pois a expressão ∃x∀y¬(y∈x) diz que x existe quando, na verdade, não existe. O ∀ deve se referir a elementos existentes dentro do universo U em questão, portanto já temos que “.y”; x não possui nenhum elemento do universo, traduzindo isto para a TNL temos ((x.x, U.y)>x°.y). Podemos simplesmente imaginar que x não possui elementos em comum com U, porém, neste caso, poderíamos estender o universo incluindo o elemento x o que faria o axioma perder sua validade. Na verdade o conjunto universo é o conjunto de todos os conjuntos Ω, assim teríamos ((x.x, Ω.y)>x°.y), mas x.x implica que Ω.x, portanto, tomando y=x, temos ((x.x, Ω.x)>x°.x) ou seja x.x e x°.x, absurdo.

O ∅ é único? Bem esta pergunta não faz muito sentido, pois o vazio não possui elementos, assim sendo, outro possível vazio ∅´ também não possui elementos para dizermos que são iguais mediante o axioma da extensão. Suponha, por absurdo, que ∅°.∅´°.∅>(.x,.y,∅.x,∅´.y,∅°.y,∅´°.x) absurdo.

• Axioma do par: Se A e B são conjuntos, então A⋃B (a união dos dois conjuntos) é um conjunto. - Podemos resumir este fato da seguinte forma: (AB).A (AB).B ▄

Sua expressão utilizando uma LLPO é:

∀x∀y∃z∀w((w∈z)↔((w=x)∨(w=y)))

Todos os símbolos desta expressão já foram construídos por meio da TNL, portanto ~(axioma do par). Outra possibilidade dentro da TNL seria (A.x,B.y)>((AB).x, (AB).y). Aqui também pode-se definir o que e um par não ordenado:

z={x,y}↔∀w((w∈z)↔((w=x)∨(w=y)))

Temos que ~z, pois todos os símbolos acima foram reduzidos pela TNL, mas devemos levar em consideração todas as observações já feitas a respeito das chaves.

Esquema de axiomas da separação: para toda fórmula P em que z não ocorre livre, a seguinte fórmula é um axioma:

∀y∃z∀x((x∈z)↔((x∈y)∧P))

Temos que ~(esquema de axiomas da separação), pois todos os símbolos e conceitos acima foram reduzidos pela TNL. Temos também que z={x∈y:P(x)}, repare que este esquema de axiomas foi utilizado para “demonstrar” que não existe conjunto de todos os conjuntos, algo que refutamos anteriormente. Ele também costuma ser utilizado para se definir a intersecção: x⋂y={z∈x:z∈y}, logo ~(x⋂y).

• Axioma da união: Para todo conjunto A existe um conjunto B tal que todo elemento que pertence a um elemento de A é um elemento de B. - Esta sentença nos leva a concluir que B.A, vejamos: A.x.z>B.z>B.x>B.A. A existência do conjunto de todas as coisas também implica neste fato.▄ Sua expressão utilizando uma LLPO é:

∀x∃y∀z((z∈y)↔∃w((z∈w)∧(w∈x)))

Todos os símbolos desta expressão já foram construídos por meio da TNL, portanto ~(axioma da união).

Portanto, pode-se definir ⋃x como sendo o conjunto formado por todos os elementos dos elementos de x, isto soa estranho, pois isto nos leva a concluir que ⋃x=x, mas devemos lembrar que estamos andando pelos caminhos da LPO que possui suas peculiaridades:

(y=⋃x)↔∀z((z∈y)↔∃w((y∈w)∧(w∈x))), logo ~(⋃x).

• Axioma da potência(ou das partes): Para todo conjunto A existe um conjunto B que tem como elementos os subconjuntos de A. - Novamente temos aqui algo incoerente que decorre da diferenciação entre elemento e conjunto, isto nos levará à conclusão de que B.A ▄ Sua expressão utilizando uma LLPO é:

∀x∃y∀z((z∈y)↔(z⊂x))

Todos os símbolos desta expressão já foram construídos por meio da TNL, portanto ~(axioma da potência), axioma define o conjunto das partes de x “P(x)”.

• Axioma da regularidade: Todo conjunto não-vazio x contém um elemento y tal que x e y são disjuntos (não possuem elementos em comum). - Este axioma produz a seguinte contradição:

°(x.Ø.x)>(.y x.y y.z>x°.z x.w>y°.w )

(x.y.z>x.z) absurdo. ▄ Sua representação pela LPO é:

∀x(x≠∅→∃y((y∈x)∧(x⋂y=∅))

Todos os símbolos desta expressão já foram construídos por meio da TNL, portanto ~(axioma da regularidade)

Axioma da infinidade: existe um conjunto indutivo.

Definição: Dado um conjunto x, definimos x+=x⋃{x}, isto é ∀y(y∈x+↔(y∈x∨y=x)). Um conjunto x é indutivo se, e somente se, ∅∈x e, para todo y, se y∈x então y+∈x.

Na LPO tal axioma seria:

∃x(∅∈x∧∀y(y∈x→y+∈x)

Esquema de axiomas da substituição: este axioma pode provar o axioma da separação que foi mantido para dar maior abrangência ao estudo. Seja P(x,y) uma fórmula, e suponha que para todo x, y e z temos que P(x,y) e P(x,z) implicam y=z. Então, para todo conjunto X, existe o conjunto {y:∃x(x∈X∧P(x,y))}. Formalmente, dada uma fórmula P tal que w não ocorre livre em P, a seguinte fórmula é um axioma:

(∀x∃!y[P]yx)→∀z∃w∀y(y∈w↔∃x(x∈z∧[P]yx))

3.7 O axioma da escolha

Neste livro não faremos uma abordagem do Lema de Zorn, pois ele é equivalente ao axioma da escolha, intuitivamente, este axioma nos diz que se você tiver uma coleção de cestas, cada qual contendo pelo menos um objeto, então é possível afirmar a existência de um conjunto, o conjunto de escolha, que contém exatamente um objeto de cada cesta—mesmo que haja um número infinito de cestas e não haja nenhuma regra que estabeleça qual objeto de cada cesta deve ser escolhido para formar parte desse conjunto.

\(A.A,A.x)>(x.x´,E.x´)

O x´ é uma escolha dentro de A, esta escolha é algo que se relaciona com o conceito de vontade delimitado pela TNL. Utilizando a uma LLPO, temos que para todo conjunto x de conjuntos não vazios, existe uma função f:x→⋃x tal que, para todo y∈x:f(y)∈y.

∀x((¬(∅∈x))→∃f∃w((f∈wx)∧∀y∀z((y,z)∈f→(z∈y))))

Aqui wx é o conjunto das funções de x em w. Uma função f de domínio X tal que f(x)∈x para todo x∈X é chamada de função de escolha do conjunto (família de conjuntos) X.

Suponha que C seja uma coleção(conjunto) de conjuntos não vazios. Então, C.a>(.ã a.ã ãRa), pois a é não vazio. Neste caso R significa justamente a relação de pertinência, isto nos permite estabelecer o AE como uma relação genérica não especificada que se encaixe na expressão acima.

3.8 a construção dos números

John von Neumann estabelece que um número natural é composto pelo conjunto de números naturais menores do que ele desta forma temos:

0=∅

1={0}={∅}

2={0,1}={∅,{∅}}

3={0,1,2}={∅,{∅},{∅,{∅}}}

...

O sucessor de um número natural n pode ser expresso por n+1 ou por n⋃{n}. Logo, um conjunto indutivo contém todos os naturais. Na construção dos naturais temos

naturais(conjunto,indutivo,⊂)

portanto ~N

O princípio da indução finita pode ser provado como um teorema, a construção dos inteiros, racionais e reais pode ser formalizada com a TC e a LPO, não despenderemos mais tempo.

3.9 Os cardinais

Vimos que a distinção entre ∊ e ⊂ permite a concepção da ideia de conjunto de conjuntos e que às vezes isso vem com o nome de família de conjuntos. Isto permite o surgimento dos definições tais como o conjunto das partes definido como segue:

P(A)={x: x⊂A} "O conjunto das partes de A é formado pelos subconjuntos de A". De forma restrita, a TNL afirma que a diferenciação entre ∊ e ⊂ é indevida, o que implica A=P(A). Este tipo de artimanha se faz necessária para a formulação de conceitos artificiais que se fundamentam na ideia de família de conjuntos:

Cardinais: Seja 𝝰 uma família de conjuntos equivalentes a A. Portanto, 𝝰 é chamado de n° cardinal de A, expresso por 𝝰=|A|.

Ordinais: Seja A um conjunto bem ordenado e 𝝀 uma família de conjuntos bem ordenados semelhantes à A, então 𝝀 é um n° ordinal, expresso por ord(A).

Os conceitos acima dependem dos termos "equivalentes", "semelhantes", "bem ordenado" e "família". Os dois primeiros derivam da ideia de função que já foi reduzido pela TNL. Dois conjuntos A e B são equivalentes se existe uma função bijetora entre eles, o conceito de conjuntos semelhantes traz embutida a ideia de que A e B devem ser bem ordenados, este também é um conceito que já foi reduzido pela TNL.

aprofundamento das peculiaridades mat… e restriçoes

Realidade => linguagem => Matemática => Física

x.dx>(x.y.dx y°.x) Definição de dx

Se alguém puder fazer melhor….procuro a verdade

SÍNTESE ESQUEMÁTICA

Preface to Logic, Language and Meaning, by L. T. F. Gamut, University of Chicago Press, 1991.

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