#Pitágoras

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[bocadosdefilosofia]

«Es una cosa terrible la inteligencia. Tiende a la muerte como a la estabilidad la memoria. Lo vivo, lo que es absolutamente inestable, lo absolutamente individual, es, en rigor, ininteligible. La lógica tira a reducirlo todo a entidades y a géneros, a que no tenga cada representación más que un solo y mismo contenido en cualquier lugar, tiempo o relación en que se nos ocurra. Y no hay nada que sea lo mismo en los momentos sucesivos de mi ser. Mi idea de Dios es distinta cada vez que la concibo. La identidad, que es la muerte, es la aspiración del intelecto.»

Miguel de Unamuno: Del sentimiento trágico de la vida. Espasa-Calpe, S. A., pág. 73.  Madrid, 1971.

TGO

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Invenciones griegas antiguas

A los griegos antiguos se les suele acreditar la construcción de los cimientos sobre las cuales se han construido todas las culturas occidentales y este impresionante elogio estriba de sus contribuciones innovativas a una gran variedad de actividades humanas, desde los deportes hasta la medicina, desde la arquitectura hasta la democracia.

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[lahija-del-molinero]

"Aprende a estar en silencio. Deja que tu mente tranquila escuche y absorba."

—Pitágoras

[marlene-bea]

Tú verás que los males de los hombres son fruto de su elección; y que la fuente del bien la buscan lejos, cuando la llevan dentro de su corazón.

— Pitágoras.

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Desvelando el Velo del Esoterismo: Un Viaje por la Tradición Oculta de la Humanidad

Inspirado en el canal de Revelando el Velo, un recorrido teórico-conceptual-histórico por la tradición esotérica de la humanidad:

[blogdorogerinho]

Críticas — Soul (2020), Divertida Mente (2015), O Primeiro Encontro de Riley (2015), Divertida Mente 2 (2024)

Equilíbrio  Existe uma teoria que conecta todas as animações da Pixar num único Universo onde Riley, da franquia Divertida Mente, encarnou pela primeira vez na Terra depois de séculos de planejamento reencarnatório. Apesar de ter sido auxiliada por mentores ilustres como Gandhi, Arquimedes e Madre Teresa de Calcutá, quem a convenceu de fato foi um pianista que a fez descobrir prazer nas pequenas…

[factomaniac]

Locura Matemática Nº 3: El Teorema de Pitágoras No Fue Descubierto por Pitágoras y Otros Hechos al Respecto

a² + b² = c²

miércoles, el 12 de junio de 2024, Chicagolandia, IL

(ediciones menores 13 de junio de 2024)

Los historiadores de las matemáticas mesopotámicas han establecido que, a pesar del nombre que es conocido por hoy, el teorema de Pitágoras era ampliamente conocido en el antiguo Imperio Babilónico que existía desde el siglo XX al XVI antes de Cristo, más de 1,000 años antes de Pitágoras de Samos, el homónimo de la teorema, fue incluso nació a mediados del siglo VI aC en la isla griega de Samos o la ciudad de Tyre en Lebanón del día presente (Wikipedia “Teorema de Pitágoras” 2024, Neugebauer 1969, Friberg 1981, Hørup 1998, Robson 2008, Wikipedia “Pitágoras” 2024, Porphyry 2014).

El teorema de Pitágoras afirma que en cualquier triángulo rectángulo, un triángulo que contiene un ángulo recto (un ángulo de 90° –noventa grados– o π/2 radianes), el área de un cuadrado donde cada lado es la longitud de la hipotenusa del triángulo (el lado del triángulo opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados donde cada lado de cada cuadrado es la longitud de cada uno de los otros lados del triángulo, que son perpendiculares entre uno a otro.

Por cierto, la palabra hipotenusa viene dirécto del latín hypotenusa (“jipoteNUsa”), que en última instancia tiene su origen en el griego antiguo ἡ ὑποτείνουσα (“jē jipoTEInusa”), que significa “el [lado] extendido por debajo [del ángulo recto]” porque, en la época griega de antigüedad, los triángulos rectángulos tendían a dibujarse con el ángulo recto apuntando hacia arriba, por lo tanto, la hipotenusa parecía estirada debajo de los otros dos lados que formaban el ángulo recto (Wikipedia “Hipotenusa” 2024, Liddle, Scott, Jones 1940/Perseus Project 2024, Diccionario de Etimología en línea “Hipotenusa” etymonline.com 2024).

Aunque normalmente este teorema se expresa como algo así como “el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados,” y se escribe algebraicamente como a² + b² = c² hoy en día, en la antigüedad, originalmente se construyó geométricamente con cuadrados reales en los lados del triángulo rectángulo. Sorprendentemente, existen miles de demostraciones geométricas y algebraicas del teorema de Pitágoras. Abajo se muestra una prueba geométrica moderna muy sencilla.

Además de servir visualmente como prueba del teorema de Pitágoras, la ilustración anterior también constituye un buen punto de partida para una prueba algebraica del mismo. Con referencia al segundo cuadro de la ilustración con el cuadrado c² en el centro, observe que los lados de todo el cuadro miden cada uno a + b. Por lo tanto, su área se puede encontrar elevando al cuadrado esta expresión: (a + b)². Observe también cómo se puede encontrar el área del marco sumando el área del cuadrado c² a las áreas de cada uno de los cuatro triángulos, ½ab: c² + 4(½ab). El teorema de Pitágoras aparece simplemente escribiendo una ecuación que iguala estas dos expresiones entre uno a otro.

(a + b)² = c² + 4(½ ab) → a² + 2ab + b² = c² + 2ab → a² + b² = c²

Por cierto, la ecuación del teorema de Pitágoras también se puede reordenar para encontrar la longitud de uno de los lados de un triángulo rectángulo sabiendo la longitud de los otros dos lados.

∵ a² + b² = c², c = √(a² + b² ), a = √(c² - b² ), b = √(c² - a² ) (∵ significa “porque” y √(x) significa "la raíz cuadrada de x").

Originalmente, Euclides demostró este teorema tomando un triángulo rectángulo con el ángulo recto apuntando hacia arriba y la hipotenusa como base en la parte inferior y luego, como mencioné anteriormente, haciendo cuadrados con los tres lados del triángulo cuyo cada lado propio es la longitud del respectivo lado del triángulo a partir del cual está formado.

Aunque estoy presentando lo que es esencialmente la demostración del teorema de Pitágoras por parte de Euclides, le daré mi propio giro al referirme a los puntos, líneas y formas de una manera muy diferente a como lo haría se realiza en geometría clásica. Porque una cosa que recuerdo que me resultó confusa cuando aprendí geometría clásica en primaria y secundaria fue la referencia a las formas por los puntos que forman sus esquinas, como referirse a una forma como triángulo ABC—o peor aún, △ABC—porque contiene los puntos A, B y C, o decir que una figura es congruente con otra porque contienen lados proporcionales que se encuentran en puntos que forman los mismos ángulos. Siempre me ha parecido desconcertante la semántica y el vocabulario de la geometría clásica en comparación con, digamos, el álgebra o incluso el cálculo. Por lo tanto, los puntos tendrán letras griegas minúsculas, se hará referencia a las longitudes de las líneas utilizando letras romanas minúsculas y las formas se representarán con números romanos. (Por favor nota bien que usaré la notación tradicional también mi propia notación en orden de evitar confusión.)

Primero, tenemos el triángulo I en gris oscuro (tradicionalmente definido por los puntos ϙ [kopa, pronunciado “CO-pa,” una letra griega arcaica que ahora solo se usa como número], α y β, o simbólicamente como △ϙαβ) con lados de longitudes a, b y c, a es la longitud del lado del triángulo en el lado derecho del ángulo recto, b es la longitud del lado izquierdo del ángulo recto y c es la longitud de la hipotenusa, al estilo de los antiguos griegos, en la parte inferior del triángulo que forma su base. A continuación, están los cuadrados en blanco (cuadrados II [□ϙηιβ], III [□αφγϙ] y IV [□βαδε]—ver la llave de unión en la parte inferior del cuadrado IV) formados a partir de cada uno de los lados del triángulo I, todos cuyos lados, por definición, tienen exactamente la misma longitud de uno a otro y la misma longitud que cada uno de los lados del triángulo I del que están formados.

Además, tomando el punto ϙ, dibujemos un segmento de línea recta que pase por el triángulo I pasando por el punto κ y hasta el cuadrado IV (□βαδε) hasta el punto λ, dividiendo el cuadrado en dos rectángulos, los Rectángulos V (▯καδλ) y VI ( ▯βκλε). Ahora, también en gris más claro, tenemos dos triángulos no rectángulos más grandes, los triángulos VII (△φαβ) y VIII (△ϙαδ), dibujando segmentos de recta desde el punto φ al punto β (segmento de recta φβ, o φβ) y del punto ϙ al punto δ (ϙδ). Finalmente, también en gris más claro, dibujamos segmentos de recta desde el punto α hasta el punto ι (αι) y desde el punto ϙ hasta el punto ε (ϙε) para crear otro par de triángulos no rectángulos más pequeños, los triángulos IX (△αβι) y X (△ϙβε). (Tipicalmente, se escribe un segmento de recta por poniendo las letras de los puntos finales con una línea encima de ellas, pero esta característica no está fácilmente disponible en Tumbr, en lugar de eso por lo que puse las letras de los puntos finales en una fuente tachada.)

Tenga en cuenta que la esquina superior izquierda del cuadrado IV (ángulo βαδ o ∠βαδ) y la esquina inferior izquierda del cuadrado III (∠φαϙ) se encuentran en el punto α y, debido a que ambas son esquinas de cuadrados, ambos son ángulos rectos. Entonces, debido a que los triángulos VII y VIII tienen una esquina común en el punto α, sus ángulos miden ambos 90º (π/2 radianes) más el ángulo de la esquina del triángulo I en el punto α (∠ϙαβ) y, por lo tanto, ambos ángulos de las esquinas de los triángulos VII (∠φαβ) y VIII (∠ϙαδ) que se encuentran en el punto α son iguales.

Debido a que el lado de la izquierda del triángulo VII (φα) y el lado del lado superior del triángulo VIII (αϙ) ambos también se encuentran en lados del cuadrado III y ambos tienen longitud b, y el lado inferior del triángulo VII y el lado izquierdo del triángulo VIII se encuentran en lados del cuadrado IV y ambos miden longitud c, y los ángulos de ambos triángulos que se encuentran en el punto α son iguales, ambos triángulos VII y VIII son congruentes entre sí en que todos sus lados y todos sus ángulos son iguales, y, por tanto, podemos asignar la letra d a la longitud de los lados diagonales de ambos triángulos.

Porque la recta que comienza en el punto ϙ bajando hasta el punto κ y continúa bajando hasta el punto λ (ϙκλ) es una recta paralela al lado izquierdo del cuadrado IV (αδ, es decir ϙκλ ‖ αδ), que es igual al lado izquierdo del Triángulo VIII, que mide la longitud c, y el lado superior del rectángulo V (αϙ) es paralelo a su lado inferior (δλ, o αϙ ‖ δλ), ambos miden cada uno la longitud f, que es la altura del triángulo VIII, por lo tanto su área (½cf) es la mitad del área del rectángulo V (cf). Por cierto, si deseas conocer la derivación de la fórmula del área del triángulo, consulta mi entrada anterior de blog.

Además, dado que el segmento de recta que comienza en el punto γ, en el lado derecho del cuadrado III, va al punto ϙ y continúa hasta el punto β (γϙβ), es un segmento de recta paralelo al lado izquierdo del cuadrado III (φα, o γϙβ ‖ φα), el triángulo VII con base b y altura c es la mitad del área del cuadrado III (½ bc = ½ b²), y es por lo tanto, el triángulo VIII con base c y altura f es también la mitad del área del cuadrado III (½ cf = ½ b²), que también es la mitad del área del rectángulo V (½ cf = ½ b²). Por lo tanto, las áreas del cuadrado III y del rectángulo V son iguales (b² = cf).

Finalmente, dado que el segmento de recta que comienza en el punto α, en el lado izquierdo del triángulo I, va al punto ϙ y continúa hasta el punto η, en la parte superior del cuadrado II hay un segmento de recta paralelo a la parte inferior del cuadrado II (αϙη ‖ βι), el triángulo IX tiene base y altura a y, por tanto, área ½ a², y el segmento de recta que comienza en el punto ϙ, pasa por el punto κ y termina en el punto λ es un segmento de recta paralelo al lado derecho del rectángulo VI, el triángulo X tiene base c y altura g y, por tanto, área ½ cg, y ambos triángulos IX y X son congruentes entre sí y, por tanto, sus áreas son iguales (½ a² = ½ cg) y, por lo tanto, el triángulo X es la mitad del área del rectángulo VI y, por lo tanto, tanto el cuadrado II como el rectángulo VI tienen la misma área (a² = cg). Por lo tanto, el cuadrado IV tiene la misma área que la suma de las áreas de los cuadrados II y III (a² + b² = c²). QED

Pero, como dije, hay miles de demostraciones del teorema de Pitágoras. La próxima vez cubriremos una de esas pruebas descubierta recientemente por dos chicas de escuela secundaria.

Obras citadas:

Friberg, Jöran. "Methods and traditions of Babylonian mathematics: Plimpton 322, Pythagorean Triples, and the Babylonian Triangle Parameter Equations." Historia Mathematica 8 (1981): 277-318.

Høyrup, Jens. "Pythagorean “Rule” and “Theorem” – Mirror of the Relation Between Babylonian and Greek Mathematics." Homepage of Jens Høyrup of Roskilde University. Jens Høyrup. 1999. http://akira.ruc.dk/~jensh/Publications/Pythrule.pdf (accesado 2024).

Neugebauer, Otto. The exact sciences in antiquity (2nd ed.). Mineola, NY: Courier Dover Publications., 1969.

Wikipedia "Pitágoras" http://es.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras (accesado 2024).

Wikipedia "Teorema de Pitágoras" http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras (accesado 2024).

Veniendo pronto: mi nuevo blog sobre la filosfía, la mitología, la religión, y la política, también en español y inglés. Se llama el aristotélico, y se despense en the-aristotelian.tumblr.com

[conscienciacoletiva]

Ilustres Que Estudaram a Cabala

[bocadosdefilosofia]

«Idea que se realiza es verdadera, y sólo lo es en cuanto se realiza, la realización, que la hace vivir, le da verdad; la que fracasa en la realidad teórica o práctica es falsa, porque hay también una realidad teórica. Verdad es aquello que intimas y haces tuyo; sólo la idea que vives te es verdadera. ¿Sabes el teorema de Pítágoras y llega un caso en que depende tu vida de hallar un cuadrado de triple área que otro, y no sabes servirte de tal teorema?... No es verdadero para ti. A lo sumo con verdad lógica. Y la lógica es esgrima que desarrolla los músculos del pensamiento, sin duda, pero que en pleno campo de batalla apenas sirve. ¿Y para qué quieres fuertes músculos si no sabes combatir?»

Miguel de Unamuno: «La ideocracia (1)», en Obras completas, tomo III: Ensayos. Vergara, S. A., págs. 434-435.  Barcelona, 1958.

TGO

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[whencyclopedes]

Filósofos presocráticos

Los filósofos presocráticos se definen como los pensadores griegos que desarrollaron escuelas de pensamiento independientes y originales desde la época de Tales de Mileto (en torno a 585 a.C.) hasta la de Sócrates de Atenas (470/469-399 a.C.). Se los conoce como presocráticos porque son anteriores a Sócrates.

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[pitagorensesdaciencia]

Você já sentiu espasmos enquanto dormia? Ou pelo menos já ouviu falar desse assunto? Acompanhe esse post para não ficar mais perdido quando tocarem no assunto.

Não existe certeza de como ocorre os espasmos, mas existem teorias que nos ajudam a compreender o assunto. o espasmo não é considerado uma doença, mas sim um sintoma e pode ser considerado um distúrbio no sistema nervoso.

Existem teorias que indicam que os espasmos são causados pelo relaxamento muscular, e pelas mudanças de temperatura do corpo para se adequar com o ambiente. Nessa teoria o corpo entende o relaxamento e as mudanças como uma queda ou choque.

Outra teoria é que os espasmos são causados por confusões cerebrais. quando o corpo esta em relaxamento profundo mas a mente esta ativa, o nosso sistema nervoso emite um sinal para nosso corpo reagir, disso surge a sensação de queda, esse susto que as vezes pode acabar causando uma parada cardíaca nas pessoas, principalmente nas mais velhas.

A última teoria consiste que ao adormecermos o nosso corpo sofre com a contração, isso ocorre como uma tentativa de nos mantermos vivos.

As causas dos espasmos

Estudos indicam que pessoas com ansiedade, insônia, fadiga ou desconforto físico tendem a ter mais espasmos, por conta da facilidade do cérebro ser confundido; a cafeína é algo que dificulta o sono, nesse sentido muitos espasmos podem ocorrer ao adormecer.

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Números primos y secretos cifrados: descubriendo la fascinante teoría de números

¿Qué son los números primos? ¿Por qué son importantes en la criptografía moderna? Descubre todo lo que debes saber sobre la teoría de números en este artículo #TeoríaDeNúmeros #Criptografía #MatemáticasAvanzadas

La teoría de números es una rama de las matemáticas que se centra en el estudio de los números enteros y sus propiedades. Desde la antigüedad, los números han sido una herramienta fundamental para la vida cotidiana, pero también han sido objeto de estudio para filósofos y matemáticos de todas las épocas. En este artículo, vamos a explorar algunos de los aspectos más importantes de la teoría de…

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Adolescentes que conseguiram provar o teorema de Pitágoras publicam 1º artigo

As duas adolescentes que, em 2022, descobriram uma nova maneira de provar o teorema de Pitágoras usando trigonometria enquanto ainda estavam no ensino médio publicaram seu primeiro artigo, detalhando suas descobertas. A publicação foi disponibilizada nesta segunda-feira (28), no American Mathematical Monthly. O teorema de Pitágoras possui mais de dois mil anos e pode ser resumido em a² + b² = c²…