#intégrale de legendre

[unpeudephysique]

Annexe : Intégrale elliptique

Les intégrales elliptiques sont des intégrales utilisées en physique. Elles ont été étudiées en détail par le mathématicien Adrien-Marie Legendre. Une intégrale elliptique est une intégrale de la forme :

R étant une fraction rationnelle et P un polynôme de degré 3 ou 4. Une intégrale elliptique se ramène à l’une des 3 formes canoniques de Legendre :

On peut écrire ces intégrales sous une forme simplifiée en posant s = sin(phi) :

Nous allons nous intéresser aux intégrales de première espèce. L’intégrale elliptique incomplète de première espèce s’écrit sous la forme :

L’intégrale complète de première espèce correspond à la valeur de F pour theta égal à pi/2 :

Application à la trajectoire d’un photon dans la métrique de Schwarzschild

Le calcul détaillé de la phase de la trajectoire d’un photon autour d’un trou noir de Schxarzschild a été fait par Jean-Pierre Luminet, alors astrophysicien de l’observatoire de Paris-Meudon. Il montre que:

xiinfini étant la valeur de xi correspondant à u = 0 (photon à l’infini). Ceci revient à écrire:

avec :

La valeur de xinfini se déduit des relations qui précèdent :

Lorsque r = A (photon au périastre) l’équation devient :

Démonstration

On cherche à calculer l’intégrale suivante :

avec :

Commençons par faire le changement de variable suivant :

Il vient :

Comme u2 > u1 on peut écrire :

avec :

Procédons à un nouveau changement de variable :

On voit tout de suite que :

Un peu de gymnastique mathématique maintenant :

Ceci permet d’écrire :

ou encore…

avec :

Ce qui correspond bien aux formules annoncées en première partie de ce post. Le changement de variable qui fait passer de u à theta n’est pas complètement évident. En combinant les équations qui précèdent on voit aussi que :

ou encore:

CQFD.

Pour en savoir plus :

post sur la trajectoire d’un photon dans la métrique de Schwarzschild

post sur l’image de disque d’accrétion d’un trou noir de Schwarzschild

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