#ecuación cuadrática sin solución

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Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas. Ejemplo 2.

Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas. Ejemplo 2.

Cómo resolver una ecuación de segundo grado.

Resuelve:  x² + 3x + 3 = 0

En este caso, no tiene solución en el conjunto de los números reales, ya que el discriminante (b² – 4ac) es negativo.

Actividad de ampliación: más allá de los números reales sí que tiene soluciones. ¿Quién es capaz de escribir qué soluciones tiene la ecuación y…

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¿Cómo resolver una ecuación cuadrática? Examen de admisión. En el vídeo comparto contigo la forma de acertar con la opción correcta en un examen de admisión en ejercicios vinculados con la solución de ecuaciones cuadráticas, sin necesidad que tú sepas resolver una ecuación cuadráticas por los métodos matemáticos tradicionales. Saludos.

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Ecuación #23 (II): La Teoría de Grupos

“No llores; necesito todo mi valor para morir a los 20”, le decía un moribundo Evariste Galois a su hermano la mañana del 30 de mayo de 1832. Tenía un disparo en el estómago y moría horas después de peritonitis en el Hospital Cochin de París. Había estado en un duelo provocado confusamente por su amor a Stephanie, la joven que le había roto el corazón. Así terminaba la vida de uno de los intelectos más brillantes que ha conocido la matemática.

La noche anterior, Galois había escrito tres cartas. Una de ellas era para despedirse de sus compañeros de revolución, los republicanos. La segunda era para desahogar su tristeza, explicando la razón de su duelo al día siguiente. Pero la tercera carta era para su amigo Auguste Chevalier, y contenía una alucinante serie de proposiciones matemáticas que lo harían inmortal. Cierra la carta así: “Sabes, mi querido Auguste, estos no son los únicos temas que he explorado. Ya no tengo tiempo y mis ideas aún no están suficientemente desarrolladas en todo este campo —que es inmenso”. Galois hablaba de la revolucionaria Teoría de Grupos.

La Teoría de Grupos es un monumental triunfo del intelecto humano. Es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades simétricas de las álgebras. Es la abstracción absoluta de las operaciones y así, puede entonces aplicarse incluso a objetos que no son números. 

Mientras que Niels Abel había probado que no existe fórmula universal para resolver La Quíntica, lo que Galois hizo fue inventar un método para entender esa y todas las ecuaciones de una sola vez. 

Es importante aclarar lo que significa “ser resuelta por una fórmula”. Los polinomios pueden ser resueltos de diferentes maneras, incluso los polinomios de grado 5 o mayores. Por ejemplo X5 - 1 =0, tiene una solución muy sencilla y es X=1.  

Para los polinomios de grado 2, por ejemplo, tenemos la fórmula cuadrática:

Y con esta fórmula usted puede resolver cualquier polinomio de grado 2.  Para los polinomios de grado 3, tenemos otra formula que los puede resolver todos:

Para los polimonios de grado 4, hay otra seria de fórmulas para resolverlos todos (lea aquí). Pero cuando llega a los polinomios de grado 5 ya no existe ninguna fórmula que los pueda resolver todos. Este fue el descubrimiento de Niels Abel. Si usted toma 2.7X5+3.12x4-9.43x3+x2=0, no encontrará ninguna forma de resolverlo usando solo operaciones de álgebra.

Galois y su teoría llevaron esto mas allá. Le asoció a todas las ecuaciones un tipo de código genético (hoy llamado “Grupo de Galois”) y demostró, según ese grupo, si puede o no resolverse con una fórmula. La simetría fue el concepto clave y el “grupo de Galois” es precisamente una medida de esa propiedad en una ecuación. Es por eso que la Teoría de Grupos es considerada como el lenguaje universal de la simetría en todas sus formas; un logro verdaderamente colosal.

Educado por su madre en casa, fue hasta los 16 años que participó por primera vez en un curso formal. “Este estudiante se desempeña en las más altas esferas de la matemática”, diría luego uno de sus profesores. Al siguiente año publicó su primer ensayo sobre fracciones continuas y luego tomaría el mismo reto que tomó Niels Abel unos años antes: la solución de polinomios. Envió sus escritos sobre el tema a la Academia de las Ciencias, pero el reputado examinador que lo recibe enferma y su trabajo queda empapelado. Luego mandó un segundo estudio a otro célebre académico para participar en el Gran Premio de la Academia, pero su promotor muere al poco tiempo y su ensayo nunca llega al jurado. Lo intentaría por tercera vez, pero su activismo en el convulsionado escenario político de Francia en 1830 iba a darle un giro a su vida.

La revolución en contra del rey Carlos X estaba en pleno apogeo. Un frustrado Galois miraba cómo cambiaba su país desde las aulas sin poder participar. Su continuo activismo político dentro del colegio eventualmente provocó su expulsión, dándole la libertad para unirse a la milicia del naciente partido republicano que a veces realizaba sus actividades con violencia. Eventualmente, durante una manifestación es arrestado y condenado. En la prisión, maltratado por los guardias, su único consuelo eran las visitas de su hermana y cuando no estaba borracho, se paseaba por la prisión pensando en sus proposiciones matemáticas. Salió de la cárcel cuando una epidemia de cólera abrumó París y fue llevado a una clínica, donde se enamoró de la joven que no solo le rompió el corazón, sino que también fue la causa del duelo en el que perdió la vida.

La Teoría de Galois no fue reconocida ni comprendida en su tiempo. De hecho fue criticada duramente por eminentes académicos. Pero hoy en día es una materia central no solo en las carreras de matemáticas, sino en las ciencias. La física encontró la herramienta perfecta en los métodos de Galois para dilucidar los aspectos más oscuros de la teoría cuántica y las geometrías que surgen en la Relatividad de Einstein. El universo y la naturaleza exhiben simetrías asombrosas que producen leyes y efectos que se han estudiado por siglos, pero es solo después de Evariste Galois que tenemos una herramienta poderosa para entenderlas.

La Teoría Grupo es bastante emplia.  Pero en general, explora estructuras algebraicas llamadas “grupos”. Un grupo tiene una definición bien precisa, pero imagínese los números naturales. Este es un conjunto que contiene elementos con los que usted puede hacer ciertas operaciones (sumas, restas, multiplicaciones). Algunas de esas operaciones poseen propiedades como la asociatividad (la operacion puede agruparse de diferentes formas y da el mismo resultado, por ejemplo la suma: (a+b)+c = a+(b+c)), tiene un elemento neutro (el 0, porque no cambia nada cuando se suma) y tiene un elemento simétrico, que convierte todos al elemento neutro (un número sumado con su negativo siempre da 0). Cuando se cumplen estas propiedades, estamos frente a un grupo.

Si además el grupo posee la propiedad conmutativa, es decir que el órden de la operación no altera el producto (la suma, por ejemplo), entonces se llama un grupo abeliano.

Estudiando mas propiedades, se encuentran mas grupos, y otras estructuras como campos, anillos o espacios (como los vectoriales).

Las diferentes clasificaciones entonces nos proveen información sobre el comportamiento de las operaciones y los resultados posibles con ellas. Si tomamos eso y lo extendemos a las ecuaciones, Galois entendió como clasificar aquellas ecuaciones que pueden ser solucionadas por fórmulas algebraicas y cuales no.

Si uno abstrae el concepto de los elementos de un grupo y el de operación, puede aplicar la misma lógica a objetos que no son números y encontrar formas de resolver problemas con ellos.  Ejemplos de estos son el cubo de rubrik, la criptografía y las descripción del comportamiento de partículas subatómicas. 

Este video es una pequeña introducción al respecto: