#피타고라스

[fybriankang]

day6_kisstheradio: 🌙 240305 콩츄초대석 홀리삭 홍이삭과 함께한 오늘✨ 종이비행기 잘 날리는 꿀팁과 셀카 잘찍는 비법 주고 받으며 훈훈한 시간 가져봤습니다🫶🏻 감미로운 목소리로 힐링도 시켜주고 피타고라스 정리도 가르쳐주는 홍이삭의 <사랑은 하니까> 많사부 🎶 #데이식스의키스더라디오 #데키라 #영디 #영케이 #홍이삭

[iamkenlee-blog]

"신의 방정식 오일러 공식"

작년 초 유튜브에 오일러 공식 관련 링크가 뜨길래 관심이 생겨서 이 공식을 유도하는 강좌를 시청하다보니 꽤 재밌길래 서너 시간 분량을 끝까지 다 보고 난 후 결론에서 입이 딱 벌어지며 일종의 경이감을 느낌.

각 잡고 앉아 연필 들고 직접 풀어본 건 아니라 현재 기��나는 거라곤 '테일러 급수'라는 거 하나 뿐이긴 ��지만…

얼마 전 도서관에서 이거에 관해 쓴 책을 발견하고 빌려 읽음. 크게 세 부분으로 나뉘어 있었다.

도입부는 오일러 주변의 개인적이고 시시콜콜한 가십거리, 본론은 오일러 공식을 이해하기 위한 기초 수학 이론, 후반부는 오일러 공식의 철학적 의미와 후대인의 평가.

문득 내가 학교 다닐 때 오일러 공식을 본 적 있나 돌이켜보니 없었던 것 같다. 나 역시 남부럽잖은 수포자라 기억이 잘못됐을 수도 있지만.

한국 수학 교육에 문제 많다는 지적은 어제 오늘 얘기가 아니긴 하지만, 내가 수포자가 될 수밖에 없었던 근본적인 문제점은 어느 수학 선생도 원리를 알려준 바 없이 문제 풀이부터 시작했던 거라고 봄.

일례로 피타고라스 정리 모르는 사람은 없겠지만, 증명하라고 하면 과연 몇이나 가능할지? 나 역시 그 중 한 명이었고 스스로 좀 쪽팔리다고 느껴 구글에서 증명 방법을 나중에 찾아보고 작게나마 쾌감을 느꼈거든.

즉 수학이 싫었던 게 아니라, 기본을 갖추지 않은 채로 암기 과목처럼 패턴을 외웠기 때문이었다고 봄.

오일러 공식에 등장하는 e, i, π라는 세가지 기호의 의미 또한 나중에 따로 찾아 본 거. 나는 e가 뭔지도 모르면서 로그 문제 풀이 패턴을 익힌, 성능 나쁜 기계였다는.

[zentopiabooks]

삶에 명상을 끌어들여야 한다. 그래야만 지나침이 무엇이고 부족함이 무엇인지 알 수 있다. 명상은 균형을 가져다준다. 균형은 아름다움이다. 균형은 음악이다. 균형은 곧 신이다.인도에서 ‘궁극’을 지칭하는 모든 단어는 균형을 뜻하는 어원에서 나왔다. 사마디samadhi라는 단어는 sam이라는 어근에서 나왔다. sam은 균형을 의미한다. 음악을 뜻하는 상기트sangeet, 깨달음을 이르는 삼보디sambodhi라는 단어도 sam에서 나왔다. sam은 균형을 의미한다. 균형이 사마디이고 깨달음이다.지금까지 그대는 충분함이 무엇이고 지나침이 무엇인지 알고도 남을 만큼 오래 살았다. 그러나 그대는 무엇을 알았는가? 비바르토, 그대는 다만 지금까지 살아 온 방식을 계속 유지할 수 있는 구실을 찾고 있다. 그대는 이렇게 말한다.저는 중용의 길은 이미 진아에 도달한 사람들에게나 어울리는 것이라고 생각합니다.이미 진리에 도달한 사람은 길이 필요 없다. 그는 이미 도달했다. 총명한 척 머리를 굴리지 말라. 나와 타협하려고 하지 말라. 진리에서 도망칠 길을 찾으려고 애쓰지 말라. 길은 이미 도달한 사람들을 위해 있는 게 아니다. 그들은 아무 길도 필요 없다. 길은 아직 도달하지 못한 사람들을 위해 있는 것이다.구도자에게는 중용이 교활함과 비겁함의 길처럼 보입니다.그렇지 않다. 중용은 의식의 길이다. 그것은 교활함과 비겁함의 길이 아니다. 비겁하다는 것은 또 하나의 극단이다. 소위 용감무쌍함과 비겁함은 둘 다 극단이다. 교활함도 마찬가지이다. 그것은 우둔함의 다른 극단이다.중용은 용감무쌍함도 아니고 비겁함도 아니다. 중용은 깨어 있음이다. 중용은 교활함도 아니고 우둔함도 아니다. 중용은 항상 각성의 상태이다. 중용의 맛은 곧 각성의 맛이다.피타고라스는 ‘특정한 인격을 길러라.’라고 말하지 않았다. 단지 ‘주의 깊게 관찰하라. 그대가 얼마나 극단과 극단 사이를 오가는지 알라.’라고 말한다.주시하고 관찰하라. 그러면 자연히 중용을 발견할 것이다. 중용은 다른 사람들 통해 배우는 것이 아니다. 중용은 그대의 내면으로 솟아나는 것이다. 그것은 하나의 발견이다.

오쇼의 <피타고라스> 중에서

[zentopiabooks-blog]

의식적이 되어라. 의식적으로 될수록 그대는 예측할 수 있는 한계를 초월한다. 그때 그대는 매순간을 전적인 자유로 살아간다. 힘은 자유를 의미한다. 힘은 과거의 카르마에서 벗어남을 의미한다. 힘이란 그대가 더 이상 과거에 의해 지배되지 않는 것을 뜻한다. 과거가 아무런 영향력도 행사하지 못한다. 그대의 매순간은 과거로부터 자유롭다. 매순간이 전적으로 새롭고 신선하다. 그대는 전적인 자유 안에서 살아간다. 그대가 살아가는 모든 순간은 앞으로 다가올 순간들을 구속하지 않는다. 모든 순간이 아무 것에도 오염되지 않고 수정처럼 투명하다. 모든 순간이 그 자체로 순수하다.

필연의 법칙 아래 산다는 것은 속박된 삶을 의미한다. 이것이 삼사라samsara의 의미이다. 구속된 상태, 감금된 상태이다. 이것이 카르마의 법칙이 뜻하는 모든 의미이다. 사실, 피타고라스가 채택한 필연의 법칙이라는 개념은 카르마의 법칙���서 유래했다.

필연의 법칙이란 카르마의 법칙을 나타내는 피타고라스의 표현 방식 외에 다른 것이 아니다. 카르마의 법칙은 과거의 모든 행위가 지금도 그대를 지배한다고 말한다. 그대는 죽은 과거의 영향력 아래 있다. 이미 죽어버린 과거가 그대를 지배한다.

그대가 어제 행한 모든 행위는 특정한 패턴, 구조, 인격으로 굳어지고, 오늘 그대는 단순히 그것을 반복한다. 이렇게 반복함에 의해 이 패턴은 더 강화된다. 날이 갈수록 더 강화될 것이다. 이렇게 여러 생을 거치면서 특정한 것을 반복하면 그것은 마음속에 고정된 틀을 만들어내고, 그것은 절대적으로 필연적인 일이 되어버린다. 그대는 단순히 로봇처럼 그 틀에 따라 살아간다.

- 오쇼의 <피타고라스> 중에서

[slotmaket56]

스포츠 베팅의 스릴

두 가지가 모든 스포츠를 가치 있게 만듭니다. 플레이어에게 중요한 것은 이기는 것입니다. 관중에게는 스포츠 베팅을 하고 전리품을 집으로 가져가기를 희망합니다. 하지만 이기든 지든, 다음 베팅 라운드에 활기를 불어넣는 것은 베팅의 스릴과 승리에 대한 기대입니다.

당신의 이벤트, 당신의 스릴

야구, 농구, 복싱, 축구, 대학 미식축구, 경마, 테니스 등 모든 이벤트에 사용할 수 있는 스포츠 베팅을 제공하는 게임 사이트에 가입하면 이점이 있습니다. 베팅 시간이 되면 아드레날린이 솟구칩니다.

그러나 배당률, 포인트 스프레드 및 스포츠 북에 대해 이야기하는 모든 것이 어려워 보인다면 피타고라스 정리를 사용하지 않고 스포츠 베팅을 즐기는 것을 두려워하지 않고 쉽게 경험할 수 있는 스포츠 베팅 사이트를 찾을 수 있습니다. 무료이든 아니든.

게임 계획의 일부는 가장 건전한 스포츠 베팅을 선택하는 데 도움이 되는 올바른 스포츠 베팅 프로그램을 선택하는 것입니다. 당신은 스포츠 베팅으로 돈을 벌고 싶어합니다.

그러나 내기에 돈을 걸기 전에 자신을 평가하십시오. 관련된 스포츠와 팀을 얼마나 잘 알고 있습니까? 기본 사항을 알면 일반 베터보다 우위에 있기 때문에 선택한 이벤트의 스릴을 더할 수 있습니다. 당신은 그들이 가지고 있지 않은 정보를 가지고 있습니다.

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[pionia-milly]

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[livlovlun119]

완전수 6 28 496 8128 등등 / 초과수 불완전수 / 피타고라스 실론 / 페르마의 마지막 정리 앤드류 와일즈 /

페르마 파스칼 확률이론 미적분학 / 정수론 / 유클리드 원론 / 정수론 그리스 시대 알렉산드리아 디오판토스 / 아부 바르크 우마르 우스만 알리 / 디오판토스 아리스메티카 / 페르마 친화수 220 284 ; 17296 18416 / 20c 군거성수 / 26 제곱수 세제곱수에 끼어 있는 유일한 수 /

오일러 1707-1783 3 4 일 때 증명 / 소수일 때만 증명하면 되는 문제로 됨 / 테아노(피타고라스 아내) 히파티아 아그네시(18c) 에미 뇌터 소피 제르맹(18c 후반) / 가우스 1777-1855 / 가브리엘 라메 오귀스탱 코시 / 에른스트 쿰머 /

파울 볼프스켈 / 힐베르트 러셀 괴델 / 튜링 / 코티스 교수 와일즈 타원곡선 분야 /

[gormiantherasusnelacizfuzred]

[sehyoons]

another vpick!!! 😱

[iamkenlee-blog]

"공대생 땅고 유머"

땅고 관련 짤 전문 페이스북에서 최근 본 일종의 공대생 유머.

땅고 모르는 분이 보면 "탄젠트 90도 = 무한대"란 의미이겠으나, 땅고 추는 인간 눈에는 "Tango°(각) = 오초"로 읽히는 말장난.

땅고에선 ∞ 기호를 "(자빠진) 오초 = Ocho = 8"이라고 부른다. 아재 유머로는 "오초 잘 한다 = 팔자 좋다"라고도 할 수 있을 듯.

나아가 '무한대 = 영원'으로 확대 해석하면 "Tango Forever"도 된다.

학교 다닐 때 수학을 문제 풀이 방법만 외워 벼락치기로 익힌 뒤 시험 치르고 나면 싹 증발해 남은 게 없는 자칭, 타칭 수포자로서 보낸 세월이 길다. 가끔 이게 좀 창피할 때가 있다.

예전에 어느 글에도 썼던 거 같은데, 피타고라스 정리 공식은 당연히 알지만, 증명을 못 했다. 그래서 위키 백과 찾아봤더니 두 가지 방법이 나와 있던데 차근차근 따라 하니 재밌더라고. 이제 나는 길 가는데 누가 "피타고라스 정리 증명할 줄 아세요?"라고 물어보면 "Yes I can" 대답하고 즉시 써 갈길 수 있다.

마찬가지로 π, e, i 처럼 주입식으로 의미도 모른 채 마구 썼던 수학 기호도 여기저기 구글 검색해 최대한 이해해 보려고 노력했다.

그중 하나가 0과 무한대의 충돌. 어릴 때 "1 / 0 = ∞"라고 배웠던 거 같은데, 위키 백과에는 undefined라고 나오고 컴퓨터 프로그램 짤 때도 에러 메시지가 뜬다. 반면에 "1 / ∞ = 0"이 맞다고 한다.

이거는 극한을 이용해 증명할 수 있다곤 하지만, 나 같은 프로그래머 겸 수포자는 (완벽하진 않아도) 다음과 같이 귀납적으로 예측하는 게 훨씬 더 와닿는다.

1/1 = 1 1/10 = 0.1 1/100 = 0.01 1/1000 = 0.001 1/10000 = 0.0001

즉 분모가 커질수록 숫자가 작아지는 패턴이므로 분모가 무한대로 가면 값은 0에 수렴한다. 비슷한 논리로,

1/1 = 1 1/0.1 = 10 1/0.01 = 100 1/0.001 = 1000 1/0.0001 = 10000

과 같이 분모가 0에 수렴하면 값은 무한대로 가버린다. 하지만 lim 없이 "1 / 0 = ∞"라고만 쓰면 안 되기 땜에 엄밀히 말해 이 식은 undefined라고 하는 게 맞을 듯.

그렇다면 tan 90도 = tan π/2 = (sin π/2) / (cos π/2) = 1 / 0 = ∞라고 한 거도 사실은 틀린 거.

[zentopiabooks]

깨어나라. 깨달은 사람은 특정한 인격을 갖지 않는다. 그대는 이 말을 듣고 놀랄 것이다. 나는 깨달은 사람을 무인격자라고 말한다. 그러나 이 말은 그대가 생각하는 무인격자라는 의미와 같지 않다. 나는 전혀 다른 의미에서 그를 무인격자라고 말한다. 그에게는 그를 지배하는 과거가 없다. 특정한 패턴이나 구조가 없다. 그는 완전히 자유롭다. 아무 것에도 오염되지 않은 순수한 상태이다. 매순간 즉흥적으로 감응한다. 고정된 반응 양식이 없다. 고정된 반응 양식은 결코 감응이 아니다.

그것은 반사작용에 불과하다. 그는 매순간을 있는 그대로 반영한다. 그 반영을 통해 행동이 나온다. 무의식적인 사람은 반응react하고 의식적인 사람은 행동act한다. 순간 속에서 전체적이고 의식적으로 행동할 때 그대는 아무런 카르마도 남기지 않는다. 고정된 틀을 만들지 않는다. 이때 그대는 언제나 자유로운 상태를 유지한다. 계속해서 과거를 초월해 간다. 뱀이 낡은 껍질을 벗듯 그대는 과거로부터 계속 미끄러져 나온다.

이때 삶은 엄청난 아름다움을 갖는다. 이때 힘이 존재하기 때문이다. 그 힘은 그대의 것이 아니다. 따라서 에고의 함정에 빠질 염려도 없다. 에고는 과거를 통해 들어온다. 에고는 필연의 법칙에 속한다. 에고는 그대의 인격이다. 훌륭한 인격이든 나쁜 인격이든 상관없이 모든 인격이 에고이다. 에고는 그대를 속박하는 감옥이다. 에고는 그대의 과거로부터 비롯된다.

잠시 생각해보라. 그대에게 아무 과거도 없다면 그대는 누구인가? 돌연 에고의 구조 전체가 사라진다. 힘을 가진 인간은 자신의 능력으로 힘을 가지는 것이 아니다. 그는 신의 힘이 발휘되는 매개체일 뿐이다. 그는 자신을 주장하지 않는다. 다만 전체를 대표하는 도구로써 기능할 뿐이다. 그는 전적으로 자유롭고 기쁨에 넘친다. 그는 경계선을 모른다. 그는 무한하다. 시간과 공간은 더 이상 그대를 가두지 못한다. 그는 시공을 초월한다.

그것이 깨달음의 의미이다. 하나의 인격체, 한 명의 개인, 에고는 사라지고 우주 전체와 하나가 되는 것이 깨달음이다. 유니오 미스티카unio mystica, 즉 신비로운 합일 안에 그대는 더 이상 존재하지 않는다. 오직 신이 존재할 따름이다. 신은 곧 힘이다.

필연성으로부터 힘으로 가는 다리가 의식이다. 어떤 일을 하건 더욱 더 의식적으로 깨어있으라. 힘의 세계, 그 빛나는 힘의 세계로 들어가는 것은 그대의 타고난 권리이다.

- 오쇼의 <피타고라스> 중에서

[zentopiabooks-blog]

네 번째 책으로 내가 아리스토텔레스Aristotle의 [시학Poetics]을 선택했다는 것에 놀랄 것이다. 나는 태생적으로 아리스토텔레스에 반대한다. 나는 그를 ‘아리스토텔레스병病Aristotleitis’이라는 일종의 불치병 이름으로 부른다.

데바라지, 그 병에는 약도 없다. 아슈, 그대의 편두통은 아무것도 아니다! 그대들이 아리스토텔레스병에 시달리지 않는 것을 신께 감사하는 바이다. 그것은 정말로 암癌과 같은 고약한 질병이다.

아리스토텔레스는 서양철학과 논리학의 아버지라고 여겨진다. 그는 분명 실체적인 것이 아니라 철학과 논리에 관해서만 그렇다. 진리에 대한 가르침은 소크라테스, 피타고라스, 플로티누스, 디오게네스, 디오니시우스와 같은 인물들로부터 나오는 것이지, 아리스토텔레스로부터 나오는 것이 아니다.

그러나 이상한 점은 아리스토텔레스가 아름다운 책을 썼다는 사실이다. 그리고 그 책은 아리스토텔레스학파의 학자들이 연구하지 않는 [시학]이다. 나는 그의 수많은 책들 가운데 그 책을 연구해야 했다. 그 사람에게도 뭔가 아름다운 면모를 찾을 수 있을지 내가 직접 찾아보았고, [시학]을 발견하고 몇 페이지를 읽었을 때 나는 전율을 느꼈다.

그 사람 역시 꿰뚫어보는 가슴을 갖고 있었기 때문이다. 그는 모든 것을 자신의 머리로부터 썼지만, 그 책만큼은 가슴으로부터 나온 것이다. 물론 그 책은 시의 본질, 시학의 본질에 대한 책이지만, 시의 본질은 다름 아닌 사랑의 본질과 같다. 그것은 지식이 아닌 직관의 향기이다. 그래서 나는 그 책을 추천하는 바이다.

- 오쇼의 <내가 사랑한 책들> 중에서

[ddddyy3325]

침묵하라

아니면 침묵보다 더 가치있는 말을 하라

쓸데없는 말을 하느니

차라리 진주를 위험한 곳에 던져라

많은 단어로 적게 말하지 말고

적은 단어로 많은 것을 말하라

-피타고라스

[nbvhauab]

잃어 가는 것 - 김윤진 ㈊ 직선의 위치관계℉

잃어 가는 것 - 김윤진 이런저런 생각에 치여 누구에게도 내어 줄 여유가 없고 만나면 돌아갈 시간을 계산하는 이룰 수 없는 사이가 연민으로 동여맸을까 맥없는 한숨도 부질없음을 안다 그럼에도 놓지 못하는 심정을 충분히 동참하고 헤아렸을까 그만 미련의 자리를 내어주렴 시선이 한 곳으로 모였다 그러나 못보니 멀어지고 멀어지니 새삼스러워 그렇게, 그렇게 산다는 것은 하나, 둘 잃어가는 거라지 직선의 위치관계 1. 교과서 속 주개념 1) 평행한 경우 두 직선의 방정식을 y = ax + b y = a′x + b′ 라 하면 a = a′, b ≠ b′ 의 조건을 만족할 때 두 직선은 평행하다. 이는 서로 다른 출발점(예컨대 y절편)에서 우상향하는 직선인 경우 출발점에서 y값의 차가 b - b′ 이라면 x만큼 이동시에도 두 직선의 기울기가 동일하기 때문에 y값의 차이는 여전히 b - b′이게 된다. 평행한 두 직선은 교점이 없다. 2) 일치하는 경우 두 직선의 방정식을 y = ax + by = a′x + b′ 라 하면 a = a′, b = b′ 인 조건을 만족할 때 두 직선은 일치하게 된다. 일치하는 두 직선은 무수히 많은 교점을 갖는다.(부정) 3) 수직인 경우 두 직선의 방정식을 y = ax = b y = a′x + b′ 라 하면 aa′ = -1 의 조건을 만족할 때 두 직선은 직교하게 된다. b, b′의 값은 교점의 위치와 관계있을 뿐 수직여부에는 영향을 미치지 않는다. 수직인 두 직선은 하나의 교점을 갖는다. 4) 한 점에서 만나는 경우 두 직선의 방정식을 y = ax + b y = a′x + b′ 라 하면 a ≠ a′ 인 조건을 만족할 때 두 직선은 한 점에서 만나게 된다. 평행하거나 일치하지 않는 직선은 반드시 한개의 교점만을 가지며 수직인 경우는 그중 특수한 위치관계일 뿐이다. [예제] 1. 수직인 직선의 기울기 곱이 -1 이 됨을 보이라. 정답 및 해설 1.피타고라스 정리에 의해, (a - b)2 = a2 + 1 + b2 + 1-2ab = 2∴ ab = -1 실��수학 조삼모사 : 만석지기가 두 형제에게 재산을 상속할 시점이 되었다고 하자. 재산을 동일하게 분배하는 것에는 첫째가 불만을 품을 것이다. 현명한 동생은 이렇게 제안한다. 형은 1000톨부터 시작하여 매일 1톨씩만 적게 가져가고 동생은 10톨부터 시작하여 매일 좁쌀 1톨씩만 더 가져가기로 하자고. 첫날부터 990톨만큼 가져가는 분량이 차이가 나는 것이니 형은 일단은 만족스러워 약속을 하게 된다.결론은? 멍청한 형에 지혜로운 동생이다. 형은 y절편값이 1000이지만 기울기가 -1인 직선을 따라 x일에는 y만큼의 좁쌀을 가져가게 된다. 동생은 y절편값이 10이지만 기울기가 1인 직선위의 점을 따라 좁쌀을 챙겨간다. 결국 495일이 지나면 동생과 형이 가져가는 좁쌀은 일치하고 이후에는 동생이 가져가는 몫이 형보다 많아지게 된다. 기울기가 다른 두 직선은 하나의 교점을 가지며 기울기가 큰 직선이 교점 이후에는 y값이 커지는 단순한 사실을 놓치고 있었던 것이다. 2. 관련 지식 1) 상용로그의 비례부분 계산 로그함수 y = logx(상용로그)는 우상향하는 증가함수이며 증가폭은 체감하는 위로 볼록한 함수이다. 선형적으로 증가하는 일차함수 형태는 아니지만 x의 값이 미세하게 변하는 부분 즉 국지적인 영역에서는 대략적으로 선형적인 증가를 가정하여 직선의 방정식을 상정하면 영역 내의 특정 점의 로그값을 구할 수 있다. 물론 이는 극한의 개념과도 상통하는 부분이다(또한 구분구적법의 논리를 생각해보라) 예컨대 x = a와 x = a + Δa에서의 로그값을 알고 있다면 x = a + Δc(0 c a)에서의 로그값은 다음과 같이 계산이 된다. 2) 공간의 꼬인위치 평면에서는 평행과 일치. 한점에서 만나는 3가지 경우가 가능하다. 그런데 공간에서는 두 직선이 평행하거나 일치하지 않으면서도 만나지 않는 위치관계가 가능하다. 이러한 관계를 꼬인 위치에 놓였다고 말하는데 꼬인 위치에 있는 두 직선을 포함하는 평면은 존재하지 않는다. 심사가 뒤틀렸을 때 꼬였다고 표현하듯 한 평면에 담지 못하는 두 직선의 위치관계를 꼬였다고 표현하는 것은 적절한 명명인 셈이다.

[kpoqwr]

ΥIn Classic Style (Hardcover) The Splendor of American Ballet Theatre - Ellison, Nancy △ 피보나치 Υ

피보나치 피보나치는 중세 이탈리아 수학자로 피사의 레오나르도(1170~1250)라고도 부른다. 사실 이 이름은 19세기에 붙여졌지만, 그의 가장 유명한 책 《산반서》 첫 줄에서 그 유래를 찾을 수 있다. “1202년 보나치의 아들인 피사의 레오나르도가 정리한 《산반서》는 여기서부터 시작한다.” Filius Bonacci를 문자 그대로 번역하면 ‘보나치의 아들’이지만, 레오나르도 아버지의 이름은 굴리크무스(Guilichmus)였다. 이로 미루어 그가 ‘보나치의 아들’로 불리기를 의도했던 것으로 보인다. 1838년 이탈리아 역사학자 굴라우메 리브리(Guillaume Libri)가 ‘Filius Bonacci’를 Fibonacci로 축약하여 사용하면서 그 이름이 쓰이게 되었다. 마음을 넓히는 여행 피사에 있는 피보나치 조각상 피보나치의 아버지는 피사의 상업 도시국가에서 수완이 탁월한 상인으로, 당시 지중해에서 강력한 권력을 가진 사람 중 한 명이었다. 그는 중세를 변화시키고 있던 국제무역에서의 빠른 변화를 선도하면서 다양한 문화를 깊이 있게 접하기도 했다. 또한 북부 아프리카의 버기아 항구(현재 알제리의 베자이아)의 무역 통상 대표이자 세관원으로 임명받자, 아들 레오나르도를 데려가 최신의 이슬람 수학을 배울 수 있도록 했다. 피보나치는 다음과 같이 기술했다.“피사의 상인들을 대행하는 버기아 세관의 서기로 임명받은 아버지는 ��린 나를 불렀다. 유용한 것과 미래에 편리한 것에 주목한 아버지는 내가 그곳에 머무르며 회계 학교에서 공부하기를 바랐다. 내가 훌륭한 지도를 받아 인도인들의 아홉 개의 기호가 나타내는 예술을 알게 되었을 때, 나는 그 무엇보다도 그 예술에 대한 지식을 이해하게 되어 기뻤다. 그리고 이집트, 시리아, 그리스, 시칠리아와 프로방스에서 다양한 형태의 그 예술을 모두 공부했다.”피보나치는 여행하는 곳마다 아랍의 상인들이 인도–아라비아 숫자를 사용해 10진법의 위치기수법으로 계산하는 것을 지켜보며, 유럽인들이 주판을 사용한 계산 결과를 로마 숫자로 기록하는 방식보다 우월하다는 것을 알게 되었다. 피사에 돌아온 피보나치는 그동안 배웠던 것을 종이에 기록하고, 그의 첫 번째 위대한 저서 《산반서(Liber Abaci/Liber Abacci)》를 집필하기 시작해 1202년에 완성했다. ‘계산에 관한 책’인 《산반서》는 오늘날 인도–아라비아 숫자와 그 숫자들로 더하고 빼고 곱하고 나누는 방법을 서양에 전달한 중요한 책이다. 하지만 보다 작으면서 쉽게 이용할 수 있는 요약판 《소책자(Libro di minor guise)》만큼 영향을 미치지는 못했다. 요약판은 오늘날 사본조차도 남아 있지 않지만, 상인들 사이에 널리 유포되었을 것으로 추정된다. 사실 피보나치가 유럽에서 인도–아라비아 수체계의 대중화를 최초로 시도한 사람은 아니다. 당시 사람들은 주판을 사용하여 계산하고 그 결과를 로마 숫자로 기록하는 주산파와 새로운 숫자를 직접 사용하여 계산하는 알고리즈미(algorismi) 기수법파로 나뉘어져 있었다. 《산반서》가 이들 사이에 빠르게 스며들거나 하룻밤 사이에 상황을 변화시키지는 못했다. 대중들은 새롭고 친숙하지 않은 숫자 사용에 반대했고, 로마 숫자를 읽을 수 있는 사람들은 새로운 수체계를 사용하는 엘리트주의자들에게 소외감을 느끼지 않았다. 중세 내내 로마 숫자로 작성된 상인들의 원장을 보면 상인들이 지조 있게 주산파에 속해 있었다는 것을 알 수 있다. 공무상의 저항도 있었다. 1299년 아르테 델 캄비오(Arte del Cambio)의 피렌체 법령에서는 환전상들의 아라비아 숫자 사용을 금지했다. 알고리즈미 기수법이 널리 보급되기 시작한 것은 14세기가 되어서야 가능했다.피사의 성당과 기울어진 사탑의 중세의 전경 피보나치수열 《산반서》는 많은 예시 문제들을 다루고 있으며, 상인과 회계사들을 위해 일상에서 필요한 계산 문제들의 예시와 어려운 문제들이 포함되어 있다. 《산반서》의 제3부에는 피보나치의 가장 유명한 문제가 실려 있다.“어떤 남자가 벽으로 둘러싸인 장소에 한 쌍의 토끼들을 둔다. 만약 각 쌍이 두 번째 달부터 매달 새끼 토끼를 한 쌍씩 낳는다고 가정하면 그해에는 몇 쌍의 토끼가 생산되겠는가?” 피보나치가 제시한 답은 오늘날 피보나치수열로 알���진 수열(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55······)이다. 수백 년 전에 이미 인도 수학자들이 기록을 남겨놓았던 이 수열은 처음 두 항을 1로 하고, 세 번째 항부터는 바로 앞의 두 항의 합이 되는 수들로 반복하여 나열한 것이다. 피보나치수열은 수학, 과학 분야 및 자연에서 찾아볼 수 있다. 토끼 문제를 대수학적 식으로 나타내면 피보나치 수를 생성하는 식을 유도할 수 있다. n달 후에 xn쌍의 토끼가 있으면, 다음 달인 (n+1)달에는 xn쌍의 토끼에 새로 태어난 각 쌍의 새끼 토끼의 수가 더해질 것이다. 이때 새로 태어난 각 쌍의 새끼 토끼는 적어도 한 달 이전에 태어난 토끼들이므로, 새로 태어난 각 쌍의 새끼 토끼는 xn-1이 된다. 따라서 xn+1=xn+xn-1이며, 이것이 바로 피보나치 수를 생성하는 식이다.피보나치 수의 토끼들 수학 시합을 하다 토끼 문제는 1225년 피사를 방문한 신성로마제국의 황제 프리드리히 2세가 당시 프리드리히 2세의 왕실 서기였던 팔레르모의 요하네스에게 지시해 피보나치에게 냈던 많은 문제 중 하나였다. 그중 몇 개의 문제에 대한 해답이 1225년에 쓴 그의 세 번째 책 《수론(Fros)》에 실려 있다. 이슬람 수학자이자 천문학자이며 후에 시인이 된 오마르 하이얌(Omar Khayyam)이 제시했던 삼차방정식 x3+2x2+10x=20에 대한 풀이도 그중 하나이다. 피보나치는 고대 바빌로니아인들의 60진법을 사용하여 계산한 뒤 1, 22, 7, 42, 33, 4, 40을 답으로 제시했다. 이 수들은 다음과 같이 분수표기법으로 나타낼 수 있다.고대 바빌로니아의 수체계에 대하여 오늘날의 분수표기법으로 쓴 피보나치의 삼차방정식에 대한 해 피보나치는 10진법을 대중화시키고 싶어 했지만 위의 문제의 답을 10진법으로 나타내지는 않았다. 이 수를 10진법으로 나타내면 1.3688081075가 되며, 소수점 아래 아홉 번째 자리까지는 정확하다. 피보나치가 이 답을 어떻게 얻었는지에 대해서는 알려지지 않았으며, 이후 300년 동안 어느 누구도 정확한 값을 제시하지 못했다. 제곱에 관한 책 피보나치는 《수론》을 집필하던 해, 《제곱수에 관한 책(Liber quadratorum)》도 저술했다. 일반적으로 이 논문은 수학사학자들이 피보나치의 가장 중요한 책으로 여기고 있다. 이 책에서 피보나치는 제곱수들을 홀수들의 합으로 나타낼 수 있다는 정리를 어떻게 알아내게 되었는지에 대해 기술하고 있다.“나는 제곱수들의 원천에 대해 생각하고 규칙적으로 커지는 홀수들로 나타낼 수 있다는 것을 알아냈다. 1은 제곱수이므로 1이 첫 번째 제곱수가 된다. 이 수에 3을 더하면 두 번째 제곱수 4가 만들어지며, 이 수의 제곱근은 2다. 1과 4를 더한 값에 세 번째 홀수 5를 더하면, 세 번째 제곱수 9가 만들어지며, 이 수의 제곱근은 3이다. 따라서 규칙적으로 홀수들을 더함으로써 제곱수들은 물론 제곱수들의 합을 만들어낼 수 있다.” 이 말을 통해 제곱수를 구성하는 식을 나타내면 다음과 같다.n2+(2n+1)=(n+1)2 피보나치는 피타고라스 세 쌍을 구성하는 방법에 대해서도 기술하고 있다. 피타고라스 세 쌍은 a2+b2=c2을 만족하는 세 개의 양의 정수 a, b, c를 말한다. 피타고라스 세 쌍의 한 예로 3, 4, 5를 들 수 있다. 피보나치는 다음과 같이 기술했다. “이런 식으로, 두 제곱수의 합이 또 다른 제곱수가 되는 두 제곱수를 구하려 할 때는, 먼저 두 제곱수 중 한 ���를 임의의 홀수의 제곱수를 선택한 다음, 1과 이 홀수의 제곱수보다 작은 홀수들을 더하여 또 다른 제곱수를 구하면 된다. 예를 들어 언급된 두 제곱수 중 하나로 9를 택하면, 또 다른 제곱수는 9 이하의 모든 홀수, 즉 1, 3, 5, 7을 더하여 얻을 수 있다. 이때 이 합은 16으로 제곱수이며, 이 수에 9를 더하면 제곱수인 25가 된다.” 1228년 이후, 단 하나의 문서를 제외하고는 역사적 기록에서 피보나치를 찾아볼 수 없다. 이 문서는 1240년 ‘진지하고 학식 있는 대가 레오나르도 비골로(the serious and learned Master Leonardo Bigollo)’에게 급료를 지급하는 것에 관하여 피사 공화국이 만든 포고문이었다. 여기서 피보나치의 어린 시절을 참고로 추정컨대 ‘bigollo’는 ‘여행자’를 의미하는 것으로 보인다. 피보나치는 상인들과 은행원들에게 회계 문제를 조언해주고 수학을 가르치며 피사에서 남은 생애를 보내다 1250년경 세상을 떠난 것으로 추측하고 있다. In Classic Style (Hardcover) The Splendor of American Ballet Theatre - Ellison, Nancy THIS OVERSIZED, DELUXE VOLUME CELEBRATING THE EXQUISITE SPECTACLE THAT EMBODIES THE EXCELLENCE OF AMERICAN BALLET THEATRE, RECOGNIZED BY CONGRESS AS 'AMERICA'S NATIONAL BALLET COMPANY,' PRESENTS THE UNFOLDING BEAUTY, GRACE, AGILITY, AND SHEER FORCE OF ITS MOST RECENT PRODUCTIONS. DISTINGUISHED PHOTOGRAPHER NANCY ELLISON DEPICTS SUCH ENDURING BALLET CLASSICS AS LA BAYADERE, OTHELLO, THE SLEEPING BEAUTY, MANON, ROMEO AND JULIET, SWAN LAKE, AND GISELLE, AND CAPTURES THE VIRTUOSITY OF SUCH UNFORGETTABLE DANCERS AS ANGEL CORELLA, NINA ANANIASHVILI, ALESSANDRA FERRI, JULIO BOCCA, AND ETHAN STIEFEL. ABT'S ARTISTIC DIRECTOR, KEVIN MCKENZIE, HAS WRITTEN AN ILLUMINATING ESSAY ABOUT THIS PREEMINENT COMPANY. THE COMBINATION OF DYNAMIC BRAVURA DANCING IN DREAMLIKE SETTINGS WILL BE A SHEER DELIGHT TO BALLET LOVERS EVERYWHERE.