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LISTAS DE EXERCÍCIOS

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Análise combinatória - Fórmula da combinação simples

Introdução

Um professor de matemática dispõe de oito questões de geometria e seis questões de trigonometria para montar uma prova de cinco questões. O número de provas diferentes, galera, é questão de análise combinatória. O número de provas diferentes que ele pode montar usando três questões de geometria e duas de trigonometria ou que contenham apenas questões de geometria. Sendo que uma mudança na ordem das questões não é considerada uma prova diferente está entre quanto? Esse número de provas diferentes que ele pode montar está entre que número aqui nas alternativas? Uma coisa que a questão falou e que vai ajudar bastante é isso aqui, ó, essa última parte aqui do enunciado aqui. Vou só até aqui, beleza? Porque já vou dizer, já, já.

Traduzindo o Problema para Matemática

Vamos lá. O número de provas diferentes que ele pode montar usando três questões. Vamos colocar aqui três questões de geometria, sendo que geometria ele tem oito. Ele quer montar uma prova com três e duas questões de trigonometria, sendo que ele tem seis questões, ou só com geometria. Cadê, cadê, cadê? Só com geometria. Ou seja, cinco questões de geometria, já que a prova tem cinco questões, cinco questões de geometria num total de oito, galera.

A gente vai traduzir isso aqui agora para a matemática, o português a gente vai passar agora para a matemática. Lembra-se, lembre-se disso: combinação. Se a ordem alterar, é porque a gente vai utilizar arranjo. Se a ordem não for alterada, não alterar, a gente vai usar combinação. E por isso que eu falei que isso aqui ajudou muito, ó, sendo que uma mudança na ordem das questões, uma mudança não é considerada uma prova diferente. Ou seja, não foi alterada a ordem. Então a gente vai usar combinação nesta questão. Beleza? Então vamos começar. A gente vai traduzir essas palavras agora, esse português em matemática. Eu quero montar uma prova com três questões de geometria num total de oito. Então combinação de oito elementos tomados três a três. E na matemática traduz como multiplicação em análise combinatória. Eu quero montar também uma prova que essa mesma prova tem que ter geometria e trigonometria. Eu quero montar uma prova cinco questões de duas, mas eu tenho seis para escolher. Então combinação de seis escolhe dois ou é o sinal mais. Quero montar uma prova com isso e isso ou uma prova só com questões de geometria, e eu tenho oito questões para escolher de geometria. Então combinação de oito escolhe cinco. Para quem não lembra, a forminha da combinação de n elementos tomados p a p é o primeiro fatorial dividido pelo segundo fatorial e a diferença entre eles, fatorial, n - p. Beleza, galera? Essa é a forminha.

Calculando as Combinações

Agora vamos lá: combinação de oito escolhe três. O primeiro fatorial dividido por 3 fatorial, que é o segundo, e a diferença 8 - 3, 5 fatorial, que multiplica o primeiro fatorial dividido por 2 fatorial e a diferença 4 fatorial. Ou o aqui combinação de oito escolhe cinco. O primeiro fatorial dividido pelo 5 fatorial e a diferença entre eles 3 fatorial. Galera, a gente tem aqui essa expressão, a mesma expressão aqui, eu vou colocar ela em evidência, vai ficar assim: 8 fatorial sobre 3 fatorial 5 fatorial que multiplica 6 fatorial 2 fatorial 4 fatorial mais 1. Beleza, vamos fazer agora essa continha aí. Como é que se faz isso aqui? Eu vou expandir esse oito até aparecer um número que eu consiga cortar em cima e embaixo. Então vou expandir até o seis. Então 8 7 6 5, paro aqui. Aí vem 3, o 3 fatorial é 3 x 2 x 1, não precisa representar um, tá, galera? Vamos ver se qualquer coisa é qualquer coisa vezes esse 5 fatorial que multiplica 6 fatorial, vou abrir até o 4, 6 x 5 x 4 fatorial sobre 2 fatorial 2 x 1, vou colocar só o 2 porque 1 vezes qualquer coisa vai dar qualquer coisa e o 4 fatorial e mais esse um, claro. E aí vamos cortar, cortar esse 5 fatorial com esse 5 fatorial, esse 3 x 2 vai dar 6, vou cortar com esse 6 de cima, 4 fatorial vai embora com 4 fatorial e esse 6 vai vou dividir por dois vai ficar 3 em cima.

Simplificação da Expressão

O que que sobrou disso tudo aí? Vamos colocar um pouco pro lado e continuar aqui. Vamos descer, ficou os 8 x 7 em evidência, 8 x 7 em evidência. 3 x 5 mais 1. 3 x 5, 3 x 5 mais 1. Então vai ficar o seguinte: 8 x 7, se fosse 7 x 7 daria 49, mais 7 vai dar 56, beleza, e aí multiplicado por 3 x 5 vai dar 15 mais 16. Deu esse número aí. Beleza? Aí vai ter que fazer conta, não adianta. Esse 16 eu vou fazer o seguinte: eu vou abrir ele como 8 x 2, e aí eu vou multiplicar esse 8 por 56. Vamos lá: 56 x 8 vai ficar 6 x 8 dá 48, vai 4, aqui vai dar 40 mais 4, 44. Beleza? 448 vezes, ó, já fiz assim, eu já fiz essa multiplicação aqui do 8 com 56. Agora falta multiplicar o 2. Vezes 2 eu vou colocar até aqui, aqui, aqui embaixo, ó, vezes 2 vai ficar 16, vai 1, vai ficar 4 x 2, 8 mais 1, 9, 2 x 4, 8, 896.

896 provas diferentes que o professor pode montar. Esse número 896 está entre, passou de 800, né, então está entre 900 e 1000. Ficamos então com gabarito na letra D. Vamos, é isso mesmo? Não, não, não está, é entre 800, né, 800 e 900. Então é menor que 900. Letra C. Olha isso, eu marcando gabarito errado. Letra C. Isso, marcando de novo. Letra C. Vamos para a questão de número 68 agora.

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