#باناخ

[mthmtc]

در هر فضای بعدی ($n<۲$) هر دو مجموعه محدود دلخواه که شامل نقاط داخلی باشند با تجزیه متناهی معادل یکدیگرند.

New Post has been published on https://mthmtcs.ir/banachtarski/

در هر فضای بعدی ($n

پارادوکس‌های ریاضیات

آن چه تناقض آمیز، باور نکردنی یا خلاف انتظار و شهود ماست ( آن چه به نظر درست می رسد ولی غلط است، به نظر غلط می رسد ولی دست است، یا به نظر غلط می رسد و واقعاً غلط است) پارادوکس یا باطلنما (1)Paradox jQuery("#footnote_plugin_tooltip_13284_1").tooltip( tip: "#footnote_plugin_tooltip_text_13284_1", tipClass: "footnote_tooltip", effect: "fade", predelay: 800, fadeInSpeed: 200, fadeOutSpeed: 2000, position: "top right", relative: true, offset: [10, 10] ); خوانده می شود.

ممکن است فکر کنیم که پارادوکس ها ربطی به ریاضیات ندارند، یا این که « جزء ریاضیات» واقعی نیستند. و یا اساساً حقه و شعبده اند و به همین دلیل مفید نیستند، اما نه تنها چنین نیست بلکه عده ی زیادی آن ها را بخشی از ریاضیات به حساب می آورند که از نظر تاریخی در ایجاد انگیزه برای گسترش مرزهای دانش، تعمیق بینش، تعمیم شیوه های استدلال، افزایش دقت و وضع قوانین زبان شناختی جدید تأثیر شگرف داشته اند. مثلاً پارادوکس های زنون در تکامل حسابان در قرن های ۱۷ تا ۱۹، پارادوکس های نظریه ی مجموعه ها مانند پارادوکس های بورالی فورتی، کانتور و راس�� در تدقیق نظریه ی ( شهودی) مجموعه های کانتور، پارادوکس دروغگو در طرح برهان قضیه ی ناتمامیت گودل در قرن بیستم ( که می گوید « این جمله اثبات شدنی نیست» در درون یک دستگاه صوری به قدر کافی بزرگ اثبات شدنی نیست)، پارادوکس بوچوفسکی در درک نارسایی های زبان و پارادوکس لامپ تامسون و پارادوکس تیر زنون در طرح مشکلات مفاهیم نظری در فیزیک نقش به سزایی داشتند.

بعضی پارادوکس ها که متضمن تناقضند صادق به نظر می رسند و حتی این ایده را به ذهن نزدیک می کنند که چرا تناقض ها را نپذیریم. می دانیم در ریاضیات کلاسیک به استناد استنتاج معتبر از

$(\neg A \wedge A)\Rightarrow B$ ، تناقض هر چیزی نتیجه می شود. اما چرا باید به این مطلب گردن نهاد؟ در واقع نوعی منطق به نام پیراسازگار وجود دارد که در آن تناقض پذیرفتنی است و بر خلاف ریاضیات کلاسیک، چنین نیست که از تناقض هر چیزی نتیجه شود.

ابزارهای متفاوتی برای رفع و رجوع پارادوکس ها به کار گرفته شده اند. مثلاً بوچفار در ۱۹۳۸ از منطق های سه ارزشی برای تحلیل پارادوکس ها استفاده کرد. همچنین می توان از فرازبان برای تفکیک جملات به لایه های مختلفی با نام های نوع اول، نوع دوم و … که روی آن ها درستی و نادرستی به طور مستقل تعیین می شوند استفاده کرد، کاری که مثلاً در مورد پارادوکس دروغگو که بیان می دارد « آن چه می گویم دروغ است» انجام شدنی است.

برای مثال آلفرد تارسکی با تقسیم زبان به دو لایه ی زبان موضوعی که در مورد امور بیرون از زبان صحبت می کند و فرازبان که در مورد زبان موضوعی سخن می راند، استدلال می کند که وقتی می گوییم « آن چه می گویم دروغ است»، عبارت « دروغ است» که متعلق به فرازبان است در لایه ی موضوعی به کار رفته است و لذا از نظر ساختار منطقی اشکال دارد.

با این حال، هر بار که پارادوکسی در ریاضیات ( و علم) ظاهر می شود، برای حل آن باید فهم خود را از آن چه داریم بهبود بخشیم یا تصحیح کنیم یا قوانین زبان شناختی مناسب وضع کنیم و این دلیل، برای قرار دادن پارادوکس ها در کالبد ریاضیات و جدی گرفتن آن ها کافی به نظر می رسد.

رده بندی پارادوکس ها:

در این بخش به رده بندی و معرفی بعضی از معروف ترین پارادوکس ها ( در ریاضیات) می پردازیم:

اولین پارادوکس های مورد مطالعه، پارادوکس های نظریه ی مجموعه ها است که به علت وجود مجموعه های بسیار بزرگ مانند مجموعه ی همه ی مجموعه ها به وجود می آیند. به خصوص این پارادوکس ها ضعف دیدگاه شهودی نظریه ی مجموعه های کانتور را نشان می دهند. در نظریه ی کانتور، مجموعه، یک گروه یا دسته از اشیاء معین است که هر شی دلخواه، یا عضو آن مجموعه باشد یا نباشد، به علاوه با هر خاصیت یک مجموعه مشخص می شود یعنی اگر

$\varphi$ یک محمول ( یا خاصیت) باشد، دسته ی همه ی $x$ هایی که برای آن ها

$\varphi(x)$ درست است�� یک مجموعه به دست می دهد. البته دستگاه اصل موضوعی تسرملو و فرانکل که برای تنقیح نظریه ی مجموعه ها وضع شد با این اصل که « هر مجموعه ی ناتهی دارای عضوی است که اشتراکش با خود مجموعه تهی است» از ظهور این تناقض ها و نیز پارادوکس راسل جلوگیری می کند.

پارادوکس بورالی فورتی (۱)

ریاضی دان ایتالیایی به نام بورالی فورتی، در ۱۸۹۷ اولین پارادوکس در نظریه ی مجموعه ها را عرضه کرد. وی گفت اگر $A$ مجموعه ی همه ی عددهای ترتیبی باشد آن گاه با ترتیب طبیعی اش خوش ترتیب بوده و لذا عدد ترتیبی یکتایی مانند$\alpha$ است.

$\alpha$ باید از هر یک از اعضای $A$ و از جمله خود $\alpha$ اکیداً بزرگتر باشد که ممکن نیست.

پارادوکس کانتور (۲)

فرض کنید $A$ مجموعه ی همه ی مجموعه ها باشد، پس $P(A)=A$ لذا $card(P(A))=Card(A)$ از طرفی بنا به قضیه ی کانتور $Card(A)\le Card(P(A))$ و این تناقض است ( در این جا $Card(B)$ نمایش عدد اصلی ( یا به عبارت نادقیق تعداد اعضای) مجموعه B است).

بعضی پارادوکس ها خلاف شهود ما و باور نکردنی و در عین حال درست هستند مانند پارادوکس های باناخ – تارسکی و روز تولد:

پارادوکس باناخ – تارسکی (۳)

باناخ و تارسکی در ۱۹۲۴ به کمک اصل انتخاب اثبات کردند که می توان با برش یک گوی ( پرتقال) به شش قطعه، ایجاد حرکات صلب ( یعنی دوران و انتقال) و دوباره چسباندن آن ها دو گوی ( پرتقال) هم اندازه ی اولی به دست آورد. ( توجه کنید که قطعات مزبور اندازه پذیر لبگ نیستند زیرا در حرکات صلب، اندازه پایا است. ضمناً هیچ حکم مشابهی برای قرص مستدیر وجود ندارد).

در ۱۹۴۴ ر.م رابینسون تعداد قطعات را از شش به پنج تقلیل داد. همچنین در ۱۹۹۹ فرانسیس ادوارد سو از دانشگاه هاروارد نشان داد که اگر هر دو مجموعه ی کراندار در صفحه داد شده باشند همواره می توان یکی را با تقسیم به پنج قسمت و سپس حرکت در صفحه بر دیگری منطق کرد.

پارادوکس روز تولد (۴)

اگر ۲۳ نفر در یک سخنرانی شرکت کرده باشند، احتمال این که حداقل دو نفر روز تولدشان یکی باشد حدود ۰٫۵۰۷۳ است، اگر ۲۲ نفر شرکت کرده باشند این احتمال حدود ۰٫۴۷۵۷ و اگر بیش از ۵۷ نفر حضور داشته باشند این عدد بزرگتر از ۰٫۹۹ است.

بعضی پارادوکس ها نتایج نادرست حاصل از استدلال نادرست هستند. مانند پارادوکس دار غیرمنتظره، پارادوکس آشیل و لاک پشت زنون (فیلسوف قرن پنجم اهل الیا در جنوب ایتالیا و شاگرد پارامندیس) و پارادوکس استقراء:

پارادوکس دار غیرمنتظره (۵)

به یک زندانی گفته می شود که او در یکی از روزهای بین شنبه و پنجشنبه به دار آویخته خواهد شد، اما تا روز به دار آویخته شدن، وی نخواهد دانست که کدام روز اعدام می شود.

او روز پنجشنبه به دار آویخته نمی شود، زیرا اگر او تا چهارشنبه زنده باشد می فهمد که اعدام در روز پنجشنبه صورت خواهد گرفت، اما به او گفته می شود که وی از روزی که به دار کشیده می شود پیشاپیش آگاه نیست. او روز چهارشنبه نیز اعدام نمی شود زیرا اگر ��ا سه شنبه زنده بماند، با توجه به این که بنا به استدلال بالا روز پنجشنبه اعدام نمی شود، می فهمد که روز چهارشنبه اعدام انجام نخواهد شد. استدلال های مشابه نشان می دهد که او در هیچ یک از روزهای دیگر نیز نمی تواند اعدام شود.

اما در روزی غیر از پنجشنبه جلاد وارد می شود و وی را اعدام می کند.

پارادوکس آشیل و لاک پشت زنون (۶)

در مسابقه « دو» بین آشیل تندرو و لاک پشت کندرو، آشیل که کمی عقب تر از لاک پشت است، هیچ گاه به او نمی رسد. زیرا ابتدا باید به نقطه ای برسد که لاک پشت از آن جا حرکت کرده است. اما وقتی به آن جا می رسد لاک پشت قدری جلوتر رفته است و همان وضعیت قبل روی می دهد و با تکرار این روند، گرچه آشیل به لاک پشت نزدیک می شود ولی هیچ گاه به او نمی رسد.

پارادوکس حس کچل (۷)

اگر حسن یک تار مو داشته باشد کچل است. اگر حسن n تار مو داشته باشد و کچل باشد، آن گاه اگر یک تار موی دیگر نیز روی سرش بروید ( یا رویانده شود) یعنی دارای $n+1$ تار مو شود باز هم کچل است. پس بنا به استقرای ریاضی، حسن هر تعداد تار مو داشته باشد کچل است.

تعدادی از پارادوکس ها ناشی از تعریف های مبهم هستند مانند پارادوکس های توده، ریچارد، اژدها و تخته سیاه:

پارادوکس توده ( کپه) (۸)

یک دانه گندم یک توده گندم نیست. با اضافه کردن یک دانه گندم، به دو دانه دست می یابیم که باز هم توده گندم نیست. با اضا��ه کردن یک دانه گندم دیگر، سه دانه خواهیم داشت که توده محسوب نمی شود. اگر این عمل را تکرار کنیم، هیچ گاه به توده گندم نمی رسیم. اما زمانی که گردآیه گندم ها به قدر کافی بزرگ شود، توده نامیده می شود.

پارادوکس ریچارد (۹)

آیا « کوچکترین عدد طبیعی که نتوان آن را با کم تر از صد حرف تعریف کرد» وجود دارد؟ چون تعداد اعداد طبیعی نامتناهی و تعداد حروف زبان فارسی متناهی است پس عددی وجود دارد که نمی توان آن را با عبارتی شامل کم تر از صد حرف فارسی تعریف کرد. بنا به اصل خوش ترتیبی اعداد طبیعی، کوچکترین عدد طبیعی که نتوان آن را با کم تر از صد حرف فارسی تعریف کرد وجود دارد. اما عبارت بالا که بین دو نماد گیومه قرار دارد کم تر از صد حرف ( یعنی پنجاه و سه حرف) دارد، یعنی عدد ارائه شده سبا کم تر از صد حرف فارسی تعریف شد.

پارادوکس اژدها (۱۰)

چگونه می توانیم راجع به چیزی که وجود ندارد صحبت کنیم، وقتی که می گوییم « اژدهای هفت سر وجود ندارد».

پارادوکس تخته سیاه (۱۱)

تخته سیاهی را در نظر بگیرید که روی آن علاوه بر اعداد ۲، ۱ و ۳ جمله « کوچکترین عدد طبیعی که روی این تخته سیاه ارائه نشده است». نوشته شده است. در این صورت گرچه عدد ۴ روی تخته سیاه نمایش داده نشده است، ولی عبارت مذکور روی تخته سیاه مبین ۴ است.

پارادوکسی مانند بوچوفسکی مشعر به نارسایی های زبان است:

پارادوکس بوچوفسکی (۱۲)

فرض کنید شما فقط دو برادر دارید که هر دو از شما مسن تر هستند. در این صورت جمله به ظاهر غلط ذیل، راست است:

« برادر جوان ترم از من مسن تر است».

پوانکاره و راسل دریافتند که بروز بسیاری از پارادوکس ها مانند پارادوکس راسل، کانتور و … به علت وجود تعریف های غیر حملی در آن ها است. یک تعریف غیر حملی، تعریفی است که در آن یک شی با ارجاع به خود شی تعریف می شود، مثلاً وقتی یک شی $a$ و یک مجموعه ی $A$ طوری تعریف شوند که $a$ عضو $A$ باشد ولی تعریف $a$ فقط با مراجعه به $A$ ارائه گردد، مانند مفهوم کوچکترین کران بالایی یک مجموعه که به عنوان کوچکترین عضو مجموعه ی متشکل از همه ی کران های بالای آن مجموعه تعریف می شود. پارادوکس های آرایشگر، راسل، فهرست، خودناتوصیف، اسمارندارچ و بری از این دسته اند:

پارادوکس آرایشگر (۱۳)

در دهکده ای فقط یک آرایشگر وجود دارد. او فقط ریش کسانی را می تراشد که ریش خود را نمی تراشند. سؤال این است که ریش خود آرایشگر را چه کسی می تراشد؟

اگر او ریش خود را نتراشد، باید نزد آرایشگر یعنی خودش، برود تا ریش خود را بتراشد و اگر ریش خود را بتراشد، نباید توسط آرایشگر یعنی خودش، ریشش تراشیده شود.

پارادوکس راسل (۱۴)

فرض کنید $\phi$ خاصیت عضو خود نبودن باشد و $A=\setmxx\notin x$ درست است . پس بنا به نظریه ی مجموعه های کانتور، $A$ یک مجموعه است و لذا یا $A\in A$ یا $A\notin A$ . اگر $A\in A$ ، بنا به تعریف $A$، $A\notin A$ ؛ و اگر $A\notin A$ ، بنا به تعریف A باید $A\in A$ . پس در هر حال تناقض داریم.

پارادوکس خود ناتوصیف (۱۵)

خود ناتوصیف، کلمه ای است که خودش را توصیف نمی کند. پس کلمه « خود ناتوصیف» خود ناتوصیف است اگر و فقط اگر خود ناتوصیف نباشد.

پارادوکس فهرست (۱۶)

کتابشناسی در حال تدوین یک فهرست از کتاب شناسی هایی است که نام خود را در فهرست ذکر نکرده اند. آیا فهرست این کتابشناس، نام خودش را نیز در بر می گیرد؟

پارادوکس اسمارانداچ (۱۷)

فرض کنید $A$ یکی از عبارات ممکن، حاضر، کامل و … باشد. در این صورت عبارت « همه چیز $A$ است» ایجاب می کند $\neg A$ که نیز $A$ باشد.

مثلاً ‌وقتی می گوییم « همه چیز ممکن است » ، نتیجه می شود که « غیر ممکن نیز ممکن است » ، یا از ” هیچ چیز کامل نیست » این که « کامل نیز کامل نیست » مستفاد می شود.

پارادوکس بری (۱۸)

این پارادوکس اولین بار در نوشته های برتراند راسل با انتساب آن به آقای ک.بری، کتابدار دانشگاه آکسفورد، درج شده است. « اولین عددی که نمی تواند با کم تر از هزار کلمه فارسی مشخص شد.» اما عبارت اخیر فقط دوازده کلمه دارد و بنابراین عدد مورد نظر می تواند با کم تر از هزار کلمه معرفی شود.

دسته ای از پارادوکس ها ناشی از اشکالاتی در اصول و تعاریف ما است. در این مورد می توان از پارادوکس های آلبرت ساکسونی، سقراط و قبیله ی وحشی نام برد. یکی از مشهورترین پارادوکس ها، پارادوکس دروغگو است که پارادوکس های بالا ناظر به آن هستند و در زیر به شرح آن می پردازیم:

پارادوکس دروغگو (۱۹) یا پارادوکس ائوبولیدس (۲۰)

می گویند روزی ائوبولیدس، متفکر یونانی قرن چهارم قبل از میلاد، گفت: « چیزی که الان می گویم دروغ است.» اگر گفته ی او درست باشد، آن گاه بنا به آن چه گفته است، باید گفته اش دروغ باشد؛ و اگر گفته ی او دروغ باشد، دو باره بنا به آن چه گفته است نتیجه می شود که گفته اش درست است.

پارادوکس آلبرت ساکسونی (۲۱)

این پارادوکس توسط آلبرت ساکسونی در قرون وسطی طرح گردیده است.

جمله $p$ این است: « $q$ دروغ است.»

جمله $q$ این است: « $p$ راست است.»

نکته جالب این است که اگر ما دارای یک منطق سه ارزشی باشیم که در آن گزاره ها فقط بتوانند یکی از ارزش های « راست»، « دروغ» و « تصمیم ناپذیر» را داشته باشند آن گاه گزاره ی p به صورت « p دروغ یا تصمیم ناپذیر است» نمی تواند ��یچ یک از ارزش های « راست»، « دروغ» و « تصمیم ناپذیر» را به خود بگیرد.

پارادوکس سقراط (۲۲)

نقل شده است که سقراط روزی گفته است: « چیزی که می دانم این است که من هیچ چیز نمی دانم.»

پارادوکس قبیله وحشی (۲۳)

در جزیره ای قبیله ای وحشی زندگی می کردند که دو خدا، خدای راستی و خدای دروغ داشتند. آن ها هر کس را که به جزیره می آمد قربانی می کردند، به این ترتیب که از وی سؤالی می پرسیدند، اگر راست می گفت او را قربانی خدای راستی و اگر دروغ می گفت، او را قربانی خدای دروغ می کردند. روزی شخصی وارد جزیره شد. او را گرفتند و از او پرسیدند: « سرنوشت تو چه خواهد بود؟» آن شخص جواب داد: « شما من را قربانی خدای دروغ خواهید کرد».

با این جواب وحشی ها مستأصل شدند زیرا نمی دانستند وی راست می گوید یا دروغ. اگر راست گفته باشد باید قربانی خدای راستی شود و اگر دروغ گفته باشد، باید قربانی خدای دروغ شود.

بعضی پارادوکس ها مانند لامپ تامسون و اشتقاق به دو بخش ناشی از مشکلات فلسفی مربوط به مفاهیم نظری در فیزیک مانند حرکت، زمان و … مربوطند:

پارادوکس لامپ تامسون (۲۴)

لامپی به مدت $\frac12$ روشن می شود، سپس برای $\frac14$ دقیقه خاموش می شود، به مدت $\frac18$ دقیقه روشن می شود و قس علی هذا. درست بعد از یک دقیقه، لامپ روشن خواهد بود یا خاموش؟

پارادوکس اشتقاق به دو بخش زنون (۲۵)

این پارادوکس در ارتباط با امکان بی نهایت بار تقسیم پذیری زمان و مکان ارائه شده است:

در صورتی که پاره خط بی نهایت بار تقسیم پذیر باشد، حرکت ناممکن است، زیرا برای این که پاره خطی مانند AB را با شروع از نقطه A بپیماییم، ابتدا باید به نقطه ی وسط آن C برسیم. برای این که AC پیموده شود، باید به نقطه ی وسط آن D برسیم و قس علی هذا. پس نمی توان حتی از نقطه A حرکت کرد.

پارادوکس تیر زنون (۲۶)

در صورتی که زمان از لحظه های کوچک تقسیم ناپذیر تشکیل شده باشد، تیری که از کمانی پرتاب می شود، همواره در یک جاست، زیرا تیر در هر لحظه در وضعیتی ثابت است و این مطلب در مورد هر لحظه درست می باشد.

و بالاخره بحث را با پارادوکس نیوکام که نشان می دهد پیدایش بعضی پارادوکس ها به خاطر وجود فرض های غلط و یا ناکامل است خاتمه می دهیم:

پارادوکس نیوکام (۲۷)

فرض کنید دو جعبه $A$ و $B$ داده شده باشد. در جعبه $A$ باز و در جعبه $B$ بسته باشد. $A$ شامل ۱۰۰۰ دلار و $B$ شامل ۱۰۰۰۰۰۰ دلار است و یا شامل هیچ چیز نیست. شما فقط باید جعبه $B$ را انتخاب کنید و یا هر دو جعبه $A$ و $B$ را. اما قبل از این که شما انتخاب خود را انجام دهید، پیشگویی بر اساس انتخابی که شما انجام خواهید داد، در جعبه $B$ ،۱۰۰۰۰۰۰ دلار قرار می دهد اگر شما فقط جعبه $B$ را انتخاب کنید و هیچ چیز نمی گذارد اگر شما هر دو جعبه $A$ و $B$ را انتخاب کنید.

سؤال: اگر شما به انتخاب فقط $B$ تمایل داشته باشید، می توانید $A$ را نیز انتخاب کنید؟

پاورقی   [ + ]

↑ 1. Paradox

function footnote_expand_reference_container() jQuery('#footnote_references_container').show(); jQuery('#footnote_reference_container_collapse_button').text('-'); function footnote_collapse_reference_container() jQuery('#footnote_references_container').hide(); jQuery('#footnote_reference_container_collapse_button').text('+'); function footnote_expand_collapse_reference_container() if (jQuery('#footnote_references_container').is(':hidden')) footnote_expand_reference_container(); else footnote_collapse_reference_container(); function footnote_moveToAnchor(p_str_TargetID) footnote_expand_reference_container(); var l_obj_Target = jQuery('#' + p_str_TargetID); if (l_obj_Target.length) jQuery('html, body').animate( scrollTop: l_obj_Target.offset().top - window.innerHeight * 0.12 , 80);

[math-lovelve-blog]

بعض علماء الرياضيات

إقليدس

أرخميدس

فيثاغورس

طاليس

الخوارزمي

إسحاق نيوتن

غوتفريد لايبنتس

بيير لابلاس

باسكال

هنري بوانكاريه

غاوس

ديفيد هيلبرت

ستيفن باناخ

[albonynet]

معلومات عن مفارقة باناخ تارسكي

معلومات عن مفارقة باناخ تارسكي

[ad_1]

عند قطع كرة صلبة إلى خمس قطع وإعادة تجميعها، باستخدام حركات جامدة فقط، يمكن تشكيل كرتين صلبتين بنفس الحجم وبنفس الشكل الأصلي، هذه النظرية تعرف باسم مفارقة باناخ تارسكي.

إذا لم لا يكون هذا الشيء حقيقيا في العالم الواقعي، وتطبيقه على كرة من الذهب؟

إذا كان يمكن تقسيم المادة بشكل غير منتهي (وهذا بالطبع غير ممكن) عندها يمكن أن تتحقق النظرية. لكن القطع المعنية هي قطع غريبة لدرجة أنها ليس لديها…

[lakhasly]

يعتبر الرياضيّات من أهم العلوم التي ترتبط ارتباطاً وثيقاً بالعديد من العلوم الأخرى، وقد تطوّر هذا العلم تطوّراً كبيراً منذ أقدم العصور حتى يومنا هذا بفضل العديد من العلماء، ومنهم: أرخميدس. إقليدس. فيثاغورس. طاليس. الخوارزمي. ابن الهيثم. بيير لابلاس. غاوس. ستيفين باناخ. عمر الخيّام. إقرأ المزيد على via Lakhasly.com Rss Feed

[sh22ycom]

مفارقة باناخ-تارسكي Banach - Tarski Paradox

مفارقة باناخ-تارسكي Banach – Tarski Paradox

مفارقة باناخ-تارسكي

هل تعتقد أنّه بالإمكان تقطيع كرة مصمتة (مثلاً كرة من الذهب) إلى 5 قطع ومن ثمّ إعادة تجميعها، من دون أي تغيير في شكل القطع (يُسمح فقط تحريك القطع وتدويرها)، لتحصل على كرتين مصمتتين لكلّ منهما نفس حجم وشكل الكرة الأصليّة؟

هذه النظرية معروفة باسم مفارقة باناخ-تارسكي.

علم الرياضيات يقول: نعم. ولكن لماذا لا يمكن تطبيق هذه النظريّة على أرض الواقع؟

إنّ المادّة (أي مادّة) لا يمكن…

[mthmtc]

کتاب آنالیز تابعی رودین

New Post has been published on https://mthmtcs.ir/product/rudin_w_-functional_analysis/

کتاب آنالیز تابعی رودین

پیشگفتار مؤلف

آنالیز تابعی عبارت است از مطالعه چند ساختار توپولوژیک – جبری و روشهایی که با آنها می توان این ساختارها را در مسائل تحلیلی به کار گرفت. یک کتاب مناسب در این مبحث باید شامل صورت اصل موضوعی آن (یعنی نظریه عمومی فضاهای برداری توپولوژیک) بوده، دست کم چند مطلب را با عمق بیشتر بررسی کرده، و چند کاربرد جالب آن در شاخه های دیگر ریاضیات را شامل باشد. امیدوارم این کتاب ویژگیهای مذکور را داشته باشد. این مبحث وسیع بوده و به سرعت در حال رشد است. (کتابنامه جلد یک مرجع [۴] شامل ۹۶ صفحه است و تا سال ۱۹۵۷ می باشد.) لذا برای نگارش یک کتاب در اندازه متوسط باید بعضی از مطالب انتخاب و از مطالب دیگر صرف نظر کرد. تقریبا هر متخصص که فهرست مطالب را نگاه کند در می یابد که بعضی از م��احث دلخواه وی (از جمله من) غایب اند، ولی این امر غیرقابل اجتناب می باشد چرا که هدف نگارش یک دایره المعارف نبوده است. می خواستم کتابی بنویسم که راه را برای کاوشهای بیشتر باز نماید. این امر دلیل حذف بسیاری از مطالب خاص تر که می توان آنها را در نظریه عمومی فضاهای برداری توپولوژیک گنجاند بوده است. مثلا، از فضاهای یکنواخت، همگرایی مور-اسمیت، تورها، و صافی ها بحث نشده است؛ تمامیت فقط در محدوده فضاهای متری مطرح شده است؛ نه فضاهای بورنولوژیک ذکر شده است نه فضاهای بشکه ای. البته دوگانی عنوان شده است ولی نه در کلیترین شکل خود. با انتگرالگیری از توابع برداری صرفا به عنوان ابزار برخورد شده و توجه ما فقط معطوف انتگرالدههای پیوسته با مقادیر در یک فضای فرشه می باشد. با اینحال، مطالب قسمت یک برای تقریبا هر کاربرد در مسائل ملموس کاملا مناسب است، و نکته مورد تأکید در این درس آن است که ارتباط نزدیک بین تجرید و واقعیت نه فقط مفید ترین جنبه تمام مبحث است بلکه جذاب ترین آنها نیز می باشد. حال چند ویژگی دیگر مطالب انتخابی را ذکر می کنیم. بخش نسبتا وسیعی از نظریه عمومی بدون فرض تحدب موضعی مطرح شده است؛ خواص اصلی عملگرهای فشرده از نظریه دوگانی در فضاهای باناخ به دست آمده است؛ قضیه کرین – میلمن راجع به وجود نقاط اکستریم به چند طریق در فصل ۵ به کار رفته است؛ نظریه توزیعها و تبدیلات فوریه با تفصیل مطالعه شده و (در دو فصل بسیار کوتاه) در دو مسئله از معادلات دیفرانسیل جزئی و نیز در قضیه تاوبری وینر و دو کاربرد آن به کار گرفته شده است؛ قضیه طیفی از نظریه جبرهای باناخ (به خصوص، از ویژگی گلفاند – نیمارک *B – جبرهای تعویضپذیر) به دست آمده است، این احتمالا کوتاهترین راه نبوده ولی راه آسانی می باشد؛ حساب علامتی در جبرهای باناخ با تفصیل قابل ملاحظه ای مطرح شده است، همچنین برگشتها و تابعیهای مثبت. فرض است خواننده با نظریه اندازه و انتگرالگیری لبگ (به انضمام مطالبی چون فشردگی فضاهای LP)، خواص اصلی توابع هلوریخت (نظیر شکل کلی قضیۂ کشی و قضیه رونگه)، و مفاهیم مقدماتی توپولوژیک که همراه این دو مطلب تحلیلی اند آشنا می باشد. در ضمیمۂ آ چند مطلب توپولوژیک دیگر به اختصار آمده اند، تقریبا هیچ زمینه ای از جبر پیش از مفهوم همریختی لازم نیست. ارجاعات تاریخی در ضمیمه ب گرد آمده اند. بعضی از این ارجاعات اشاره به منابع اصلی دارند، و بعضی عبارتند از کتابها، مقالات، یا مقالات تشریحی جدیدتر که در آنها مرجعهای بیشتری را می توان یافت. البته بسیاری از مطالب ریشه یابی نشده اند. در هیچ موردی عدم ذکر مرجع دلیل اصلی بودن یا تعلق داشتن به من نخواهد بود. بسیاری از کاربردها در فصلهای ۵، ۸، و ۹ آمده اند. بعضی از کاربردها در فصل ۱۱ و در بیش از ۲۰۰ تمرین گنجانده شده اند؛ بسیاری از آنها با راهنمایی همراه می باشند. اغلب کاربردهای فصل ۵ را می توان پیش از اتمام چهار فصل اول مطالعه کرد. لذا بهتر است به محض آنکه زمینه نظری لازم تأمین شد، به آنها پرداخته شود. با اینحال، برای آنکه در نظریه انفصالی رخ ندهد، فصل ۵ را با زمینهای کوتاه که در هر مورد لازم است آغاز کرده ام. این کار مطالعه کاربردها را هر چه زودتر (در صورت تمایل) آسان می سازد. در ویرایش اول، بخش زیادی از فصل ۱۰ به مشتقگیری در جبرهای باناخ اختصاص دارد. بیست سال پیش این مطالب جالب و خوش آتیه به نظر می رسیدند، اما ظاهرا به جایی نرسیده اند و لذا آنها را حذف کرده ام. از آن سو، چند مورد اضافه شده است که به راحتی می توان آنها را با متن موجود سازش داد؛ این موارد عبارتند از قضیه ارگودیک میانگین فون نویمان، قضیه هیل – یوزیدا راجع به زیر گروههای عملگرها، یک جفت قضیه نقطه ثابت، کاربرد اعجاب آور بونسال قضیه بردبسته، و قضیه زیر فضای پایای جالب لومونوسف. همچنین چند بخش برای تشریح جزئیات بازنویسی و برخی از برهانها کوتاه و ساده شده اند. بسیاری از این تغییرات واکنشی است به پیشنهاداتی که از دوستان و همکاران متعدد داشته ام. به خصوص مایلم از جاستین پترز (Justin Peters) و رالف رایمی (Ralph Raimi) که انتقادات مشروحی به ویرایش اول داشته اند، و نیز مترجم روسی ویرایش اول که چند پانوشت مناسب به متن افزوده است نام ببرم. سپاس فراوان نصیب همه آنها باد!

والتر رودین (Walter Rudin)

[mthmtc]

مشتق فرشه روی فضای باناخ-۲

New Post has been published on https://mthmtcs.ir/frechet-derivative-2/

مشتق فرشه روی فضای باناخ-۲

نگاشت ها و جمع مستقیم

قبل از ادامه بحث درباره خواص مشتق، به تعمیم اصل ماتریس ها روی فضاهی باناخ می پردازیم. فرض کنید $E_1,\dots,E_m$ و $F_1,\dots,F_n$ فضاهای برداری باشند و $\lambda:E_1\times\cdots\times E_m\to F_1\times\cdots\times F_n$ نگاشتی خطی باشد. بنابراین نگاشت های منحصر بفرد $\lambda_i,j:E_j\to F_i$ وجود دارند بطوریکه $\lambda_i,j=\pi_i\circ\lambda\circ\iota_j$ که نگاشت $\pi_i:F_1\times\cdots\times F_n\to F_i$ تصویر استاندارد (1)canonical projection jQuery("#footnote_plugin_tooltip__1").tooltip( tip: "#footnote_plugin_tooltip_text__1", tipClass: "footnote_tooltip", effect: "fade", predelay: 800, fadeInSpeed: 200, fadeOutSpeed: 2000, position: "top right", relative: true, offset: [10, 10] ); و $\iota_j:E_j\to E_1\times\cdots\times E_m$ انژکسیون استاندارد (2)canonical injection jQuery("#footnote_plugin_tooltip__2").tooltip( tip: "#footnote_plugin_tooltip_text__2", tipClass: "footnote_tooltip", effect: "fade", predelay: 800, fadeInSpeed: 200, fadeOutSpeed: 2000, position: "top right", relative: true, offset: [10, 10] ); می باشد. در این حالت \beginequation* \lambda=\beginbmatrix \lambda_1,1 & \cdots & \lambda_1,m \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda_n,1 & \cdots & \lambda_n,m \endbmatrix \endequation* را ماتریس نمایش $\lambda$ می نامیم. و $\lambda_i,j$ را مولفه های $\lambda$ می نامیم. اگر $\tau:F_1\times\cdots\times F_n\to G_1\times\cdots\times G_p$ نگاشت خطی دیگری باشد، بررسی اینکه $\tau\circ\lambda$ بوسیله ضر�� نمایش ماتریس $\tau$ در نمایش ماتریس $\lambda$ بدست می اید آسان است. از طرف دیگر اگر ما با نگاشت های خطی $\lambda_i,j$ آغاز کنیم، آنگاه نگاشت منحصر بفرد $\lambda$ وجود دارد بطوریکه $\lambda_i,j$ مولفه های آن می باشند. این وضعیت دقیقا مشابه بلوک های ماتریسی در $\mathbbR$ یا $\mathbbC$ می باشد. لذا از بحث بیشتر در این مورد خود داری می کنیم.

قضیه ۸: فرض کنید $A\subseteq E$ یک مجموعه باز و $F_1,\dots,F_n$ فضاهای باناخ باشند، فرض کنید تابع $f:A\to F_1\times\cdots\times F_n$ و $f_i=\pi_i\circ f$ توابع مولفۀ $f$ موجود باشند.که $\pi_i:F_1\times\cdots\times F_n\to F_i$ تصویر استاندارد می باشند. تابع $f$ در نقطۀ $x\in A$ مشتق پذیر باشد اگر و تنها اگر هر $f_i$ در $x\in A$ مشتق پذیر باشد. در این حالت داریم $f’_i(x)=\pi_i\circ f’(x)$، یعنی \beginalign* f’(x) = \beginbmatrixf’_۱(x) \\ \vdots \\ f’_n(x)\endbmatrix. \endalign*

اثبات: اگر $\lambda$ نگاشت خطی باشد آنگاه مولفه $i$ام (متناظر با تجریه جمع مستقیم) \beginequation* T(h)=\fracf(x+h)-f(x)-\lambda hh \endequation* تابع زیر می باشد \beginequation* T_i(h)=\fracf_i(x+h)-f_i(x)-\pi_i\lambda hh. \endequation* بنابراین $T(h)$ به صفر، هنگامی که $h\to 0$ میل می کند اگر و تنها اگر $T_i(h)$ به صفر، هنگامی که $h\to 0$ میل کند. اثبات حکم دوم آسان می باشد. $\square$

قضیه اساسی حساب دیفرانسیل (3)The fundamental theorem of calculus jQuery("#footnote_plugin_tooltip__3").tooltip( tip: "#footnote_plugin_tooltip_text__3", tipClass: "footnote_tooltip", effect: "fade", predelay: 800, fadeInSpeed: 200, fadeOutSpeed: 2000, position: "top right", relative: true, offset: [10, 10] );

تعریف مشتق را می توان بطور طبیعی به بازه های بسته (با بیش از یک نقطه) در $\mathbbR$ توسیع داد. اگر $f:[a,b]\to E$ مشتق پذیر باشد و $x\in[a,b]$، آنگاه $f’$ یک نگاشت خطی از $\mathbbR$ بتوی $E$ می باشد. برای آسانی ما $f'(x)(1)$ را با $f'(x)$ یکی می گیریم و می نویسیم $f’(x)=c\in E$، که $c=f’(x)(1)$. و این با تعریف مقدماتی مشتق مانند \beginequation* f’(x)=\lim_h\to 0\fracf(x+h)-f(x)h. \endequation* منطبق می شود.

لم ۹: فرض کنید $f:[a,b]\to E$ تابعی مشتق پذیر باشد. اگر $f'(x)=0$ برای تمام $x\in[a,b]$، انگاه $f$ تابعی ثابت می باشد.

اثبات: فرض کنیم برای $t\in[a,b]$ داشته باشیم $f(t)\ne f(a)$. با استفاده از قضیه هان-باناخ (4)Hahn Banach theorem jQuery("#footnote_plugin_tooltip__4").tooltip( tip: "#footnote_plugin_tooltip_text__4", tipClass: "footnote_tooltip", effect: "fade", predelay: 800, fadeInSpeed: 200, fadeOutSpeed: 2000, position: "top right", relative: true, offset: [10, 10] ); می توان فانکشنال خطی (5)linear functional jQuery("#footnote_plugin_tooltip__5").tooltip( tip: "#footnote_plugin_tooltip_text__5", tipClass: "footnote_tooltip", effect: "fade", predelay: 800, fadeInSpeed: 200, fadeOutSpeed: 2000, position: "top right", relative: true, offset: [10, 10] ); $\lambda:E\to\mathbbR $ را طوری انتخاب کرد که داشته باشیم $\lambda(f(t))\ne \lambda(f(a))$. در نتیجه $\lambda\circ f$ مشتق پذیر می باشد و برای تمام $x\in[a,b]$ داریم $(\lambda\circ f)’(x)=0$. در نتیجه $\lambda\circ f$ تابع ثابت می باشد و این یک تناقض می باشد. $\square$

برای مطالعه مشتق بحث در مورد انتگرال اساسی می باشد. فرض می کنیم خواننده با وجود انتگرال روی توابعی پیوسته باناخ مقدار روی بازه های بسته آشنایی دارد. جهت اطلاعات بیشتر به انتگرال باکنر رجوع شود.

قضیه ۱۰(قضیه اساسی حساب دیفرانسیل) : فرض کنید $f:[a,b]\to E$ تابع انتگرال پذیر باشد و $f$ در $x\in[a,b]$ پیوسته باشد. آنگاه نگاشت \beginequation* t\mapsto\int_a^t f \endequation* در $x$ مشتق پذیر بوده و مشتقش برابر $f(x)$ می باشد.

اثبات: وقتی $h\to 0$ داریم \beginalign* \frac1h\left\vert \int_a^x+h f – \int_a^x f – f(x)h \right\vert &= \frac1h\left\vert \int_x^x+h [f(t)-f(x)]\,dt \right\vert \\ &\le \sup_t |f(t)-f(x)| \\ &\to 0 \endalign* که سوپریمم روی تمام $t$ های بین $x$ و $x+h$ انجام می گیرد که $f(t)$ تعریف شده است. $\square$

نتیجه ۱۱: فرض کنیم $f:[a,b]\to E$ تابعی پیوسته باشد، و $F:[a,b]\to E$. فرض کنیم برای تمام $x\in[a,b]$ داریم $F’(x)=f(x)$. آنگاه \beginequation* \int_a^b f = F(b)-F(a). \endequation*

اثبات: لم ۹ را برای نگاشت زیر بکار می بریم \beginequation* x \mapsto F(x) – \int_a^x f. \endequation* $\square$

نتیجه ۱۲: فرض کنید $E_1,E_2,F$ فضای باناخ باشند و نگاشت دوخطی پیوسته $\cdot:E_1\times E_2\to F$ موجود باشد. فرض کنید $f:[a,b]\to E_1$ و $g:[a,b]\to E_2$ توابع بطور پیوسته مشتق پذیر باشند. آنگاه \beginequation* \int_a^b f’g + \int_a^b fg’ = f(b)g(b)-f(a)g(a). \endequation*

اثبات: بوسیله قاعد ضرب داریم $(fg)’=f’g+fg’$. لذا با استفاده از نتیجه ۱۱ اثبات می شود. $\square$

نامساوی های مقدار میانی (6)Mean value inequalities jQuery("#footnote_plugin_tooltip__6").tooltip( tip: "#footnote_plugin_tooltip_text__6", tipClass: "footnote_tooltip", effect: "fade", predelay: 800, fadeInSpeed: 200, fadeOutSpeed: 2000, position: "top right", relative: true, offset: [10, 10] );

فرض کنیم $\alpha:[a,b]\to L(E,F)$ نگاشت پیوسته بتوی فضای نگاشت های خطی از $E$ بتوی $F$ باشد. اگر $x\in[a,b]$ و $y\in E$ آنگاه برای $\alpha(x)(y)\in F$ می نویسیم $\alpha(x)y$.

لم ۱۳: فرض کنیم $\alpha:[a,b]\to L(E,F)$ یک نگاشت پیوسته و $y\in E$ باشد. آنگاه \beginequation* \int_a^b \alpha(t)y\,dt = \left(\int_a^b \alpha(t)\,dt\right)y. \endequation*

اثبات: نگاشت $\lambda\mapsto\lambda(y)$ نگاشت خطی پیوسته از $L(E,F)$ بتوی $F$ می باشد. و نتیجه از این حقیقت ناشی می شود که \beginequation* \varphi \int_X f = \int_X \varphi \circ f \endequation* که $\varphi$ نگاشت خطی پیوسته بین فضاهای باناخ می باشد. $\square$

قضیه ۱۴(قضیه مقدار میانی): فرض کنید $A\subseteq E$ مجموعه باز باشد و $f:A\to F$ تابع بطور پیوسته مشتق پذیر باشد. فرض کنید $x\in A$ و $v\in E$. اگر پاره خط $x+tv$، $۰\le t\le 1$ در $A$ قرار داشته باشد. آنگاه \beginequation* f(x+v)-f(x)=\int_0^1 f’(x+tv)v\,dt=\left(\int_0^1 f’(x+tv)\,dt\right)v. \endequation*

اثبات: قرار می دهیم $g(t)=f(x+tv)$. در نتیجه $g’(t)=f’(x+tv)v$. بوسیله قضیه اساسی حساب دیفرانسیل داریم \beginequation* g(1)-g(0)=\int_0^1 g’. \endequation* چون $g(0)=f(x)$ و $g(1)=f(x+v)$، لذا بوسیله لم ۱۳ حکم برقرار می باشد. $\square$

قضیه مقدار میانی نشان می دهد که تغیرات $f(x)$ بوسیله مشتق و تغیرات $x$ مشخص می شود. لذا نتیجه زیر را داریم.

نتیجه ۱۵(نابرابری مقدار میانی): فرش کنید $a\subseteq E$ مجموعه باز باشد، و $f:A\to F$ تابع بطور پیوسته مشتق پذیر و $x,y\in A$. اگر پاره خط بین$x$ و $y$ (یعنی $tx+(t-1)y$، $۰\le t\le 1$) در $A$ قرار داشته باشد.آنگاه \beginequation* |f(y)-f(x)| \le |y-x| \sup_u |f’(u)|, \endequation* که سوپریمم روی تمام $u=tx+(t-1)y$ که $۰\le t\le 1$ گرفته می شود. اگر $z\in A$، آنگاه \beginequation* |f(y)-f(x)-f’(z)(y-x)| \le |y-x| \sup_u |f’(u)-f’(z)|, \endequation* که سوپریمم همانند بالا می باشد

اثبات: داریم \beginalign* |f(y)-f(x)| &= \left\vert \int_0^1 f’(x+t(y-x))(y-x)\,dt \right\vert \\ &\le |y-x|(1-0)\sup_t\in[0,1] |f’(x+t(y-x))|, \endalign* که قسمت اول اثبات می شود. حال این نتیجه را بر روی نگاشت تعریف شده بصورت $g(v)=f(v)-f’(z)v$ بکار می بریم و قسمت دوم حکم اثبات می شود. $\square$

نتیجه ۱۶(تخمین لیپ شوتس برای نگاشت های $C^1$): فرض کنیم $A\subseteq E$ مجموعه باز محدب باشد و $f:A\to F$ تابع بطور پیوسته مشتق پذیر. اگر ثابت $M$ وجود داشته باشد بطوریکه برای تمام $x\in A$ها داشته باشیم $|f’(x)| \le M$، آنگاه برای تمام $x,y\in A$ داریم \beginequation* |f(x)-f(y)| \le M|x-y| \endequation*

حال می توانیم لم ۹ را توسیع دهیم

نتیجه ۱۷: فرض کنید $A\subseteq E$ یک مجموعه باز همبند و مشتق $f:A\to F$ روی $A$ ناصفر باشد. آنگاه $f$ تابع ثابت می باشد.

اثبات: اگر $x\in A$ و $B_r(x)$ گوی باز حول $x$ باشد در $A$ قرار دارد. با استفاده از نتیجه ۱۶ می توان نشان داد که $f$ روی $B_r(x)$ ثابت می باشد و چون $A$ همبند می باشد، لذا $f$ روی $A$ ثابت می باشد. $\square$

در قسمت بعد مشتقات از مرتبه بالا تر مورد بحث قرار خواهد گرفت.

ادامه دارد

پاورقی   [ + ]

↑ 1. canonical projection ↑ 2. canonical injection↑ 3. The fundamental theorem of calculus↑ 4. Hahn Banach theorem↑ 5. linear functional↑ 6. Mean value inequalities

function footnote_expand_reference_container() jQuery('#footnote_references_container').show(); jQuery('#footnote_reference_container_collapse_button').text('-'); function footnote_collapse_reference_container() jQuery('#footnote_references_container').hide(); jQuery('#footnote_reference_container_collapse_button').text('+'); function footnote_expand_collapse_reference_container() if (jQuery('#footnote_references_container').is(':hidden')) footnote_expand_reference_container(); else footnote_collapse_reference_container(); function footnote_moveToAnchor(p_str_TargetID) footnote_expand_reference_container(); var l_obj_Target = jQuery('#' + p_str_TargetID); if (l_obj_Target.length) jQuery('html, body').animate( scrollTop: l_obj_Target.offset().top - window.innerHeight * 0.12 , 80);

[mthmtc]

مشتق فرشه روی فضای باناخ-۱

پست جدید انتشار یافت https://mthmtcs.ir/frechet-derivative-1/

مشتق فرشه روی فضای باناخ-۱

در دروس حساب دیفرانسیل و انتگرال اغلب به فرمول گنگی مانند زیر برخورد می کنیم:

قاعده زنجیری : اگر $F=F(x,y)$ باشد و $x=x(t)$،$y=y(t)$ آنگاه \begineqnarray* \fracdFdt=\fracdF\partial x\fracdxdt + \fracdF\partial y\fracdydt. \endeqnarray*

($F$ سمت راست چیست، $F$ سمت چپ چیست؟) مشتق جزئی تابع $f:\mathbbR^2\to\mathbbR$ بصورت عبارت مبهم زیر نمایش داده می شود \begineqnarray* \frac\partial f\partial x \quad\mathrmor\quad \frac\partial f(x,y)\partial x \quad\mathrmor\quad \frac\partial f\partial x(x,y) \quad\mathrmor\quad f_x, \endeqnarray* که تمایز مشتق جزئی بعنوان یک تابع و مشتق جزئی در نقطه $(u,v)$ دشوار می باشد: \begineqnarray* \frac\partial f\partial x(u,v) \quad\mathrmor\quad \left.\frac\partial f(x,y)\partial x\right|_(x,y)=(u,v) \quad\mathrmor\quad f_x(u,v) \quad\mathrm? \endeqnarray* علاوه بر این تفاوت بین \begineqnarray* \fracdfdx \quad\mathrmand\quad \frac\partial f\partial x \endeqnarray* واضح نمی باشد.

چون مشتقات جزئی توسیعی از دیفرانسیل تک متغیره می باشند که برای محاسبات مناسب اند، معمولا ابتدا معرفی می شوند. ما در این رشته مباحث به معرفی مشتق و این تمایز ها می پردازیم.

خواص اساسی

نکته: فرض می کنیم $E,F$ و $G$ فضاهای باناخ حقیقی باشند. فضای نگاشت های خطی پیوسته از $E$ به $F$ را با $L(E,F)$ نمایش می دهیم. تمامی جبرهای باناخ یکدار فرض شده اند، اگر $f:E\to F$ نگاشت خطی باشد ما بجای $f(x)$ خواهیم نوشت $fx$. اگر چه ما در حالت کلی بحث خواهیم کرد ولی برای درک بهتر ما $E,F$ را $\mathbb R^n$ در نظر می گیریم.

تعریف ۱: فرض کنیم $f:A\to F$ که $A\subseteq E$ یک مجموعه باز می باشد. یک نگاشت خطی پیوسته $\lambda : E \to F$ را مشتق فرشه (1)Fréchet derivative jQuery("#footnote_plugin_tooltip__1").tooltip( tip: "#footnote_plugin_tooltip_text__1", tipClass: "footnote_tooltip", effect: "fade", predelay: 800, fadeInSpeed: 200, fadeOutSpeed: 2000, position: "top right", relative: true, offset: [10, 10] ); یا مشتق $f$ در نقطۀ $x\in A$ خوانیم اگر \begineqnarray* \lim_h \to 0 \fracf(x+h)-f(x)- \lambda h = 0, \endeqnarray* و بصورت $f'(x)=\lambda$ یا $Df(x)=\lambda$ می نویسیم. اگر $f$ در نقطه $x$ دارای مشتق باشد، $f$ را در $x$ مشتق پذیر خوانیم. اگر $f$ در تمام نقاط $A$ مشتق پذیر باشد، $f$ را روی $A$ مشتق پذیر خوانیم.

بحث راجب یکتایی مشتق بدیهی است و قضیه زیر را داریم

قضیه ۲: فرض کنیم $A\subseteq E$ مجموعه ای باز باشد. مشتق تابع $f:A\to F$ در نقطۀ $x\in A$ در صورت وجود یکتا می باشد.

اثبات: فرض کنیم $\lambda_1$ و $\lambda_2$ هر دو مشتق $f$ در $x$ باشند. لذا با استفاده از تعریف مشتق داریم \begineqnarray* \lim_h\to 0 \frac(\lambda_2-\lambda_1)h = 0. \endeqnarray* برای هر $u\in E$ داریم \begineqnarray* \lim_t\to 0^+ \frac(\lambda_2-\lambda_1)tu = 0, \endeqnarray* و چون سمت چپ تساوی مستقل از انتخاب $t$ می باشد، لذا برای تمام $u \in E$ داریم $(\lambda_2-\lambda_1)u=0$. در نتیجه $\lambda_1=\lambda_2$. $\square$

قضیه ۳: فرض کنیم $A\subseteq E$ مجموعه باز باشد. اگر $f:A\to F$ در $x\in A$ مشتق پذیر باشد، آنگاه در $x$ پیوسته می باشد.

اثبات: برای $h$های کوچک می توانیم بنویسیم \begineqnarray* f(x+h)-f(x)=|h|\left(\fracf(x+h)-f(x)-\lambda h\right)+\lambda h. \endeqnarray* وقتی $h\to 0$ طرف سمت راست بسمت صفر میل می کند. لذا $f$ پیوسته می باشد. $\square$

فرض کنیم $f:A\to F$ روی $A$ مشتق پذیر باشد. لذا نگاشت $f’:A\to L(E,F)$ را داریم که هر نقطه از $A$ را به مشتق $F$ در آن نقطه می برد. اگر $F’$ پیوسته باشد، $f$ را بطور پیوسته مشتق پذیر (2)continuously differentiable jQuery("#footnote_plugin_tooltip__2").tooltip( tip: "#footnote_plugin_tooltip_text__2", tipClass: "footnote_tooltip", effect: "fade", predelay: 800, fadeInSpeed: 200, fadeOutSpeed: 2000, position: "top right", relative: true, offset: [10, 10] ); یا از کلاس $C^1$ (3)of class $C^1$ jQuery("#footnote_plugin_tooltip__3").tooltip( tip: "#footnote_plugin_tooltip_text__3", tipClass: "footnote_tooltip", effect: "fade", predelay: 800, fadeInSpeed: 200, fadeOutSpeed: 2000, position: "top right", relative: true, offset: [10, 10] ); خوانیم. ما بعدا در این باره بیشتر خواهیم گفت.

قضیه ۴ (قاعده زنجیری): فرض کنیم $A\subseteq E$ و $B\subseteq F$ مجموعه های باز باشند و $f:A\to F$ و $g:B\to G$ بطوریکه $f(A)\subseteq B$. اگر $f$ در $x\in A$ و $g$ در $f(x)\in B$ مشتق پذیر باشند، آنگاه $f\circ g$ در $x\in A$ مشتق پذیر می باشد و \begineqnarray* (g\circ f)’(x)=g’(f(x))\circ f’(x). \endeqnarray*

اثبات: قرار می دهیم $y-f(x)$ و تعریف می کنیم \beginalign* \phi(s) &= f(x+s)-f(x)-f’(x)s, \\ \psi(t) &= g(y+t)-g(y)-g’(y)t, \\ \rho(h) &= g(f(x+h))-g(y)-g’(y)f’(x)h \endalign* چون $f$ در $x$ و $g$ در $y$ مشتق پذیر می باشد، داریم \begineqnarray* \lim_s\to 0\frac\phi(s)s = \lim_t\to 0\frac\psi(t)=0\tag* \endeqnarray* ما می خواهیم نشان دهیم \begineqnarray* \lim_h\to 0\frac\rho(h)=0. \endeqnarray* برای $h$های بقدر کافی کوچک داریم \beginalign* g(f(x+h))-g(y)&=g(y+f’(x)h+\phi(h))-g(y) \\ &=g’(y)(f’(x)h+\phi(h))+\psi(f’(x)h+\phi(h)) \endalign* و \begineqnarray* \rho(h)=g’(y)\phi(h)+\psi(f’(x)h+\phi(h)). \endeqnarray* چون $g'(y)$ پیوسته می باشد داریم \begineqnarray* \lim_h\to 0\fracg’(y)\phi(h) = g’(y)\left[\lim_h\to 0\frac\phi(h)\right]=0, \endeqnarray* حال کافی است نشان دهیم \begineqnarray* \lim_h\to 0\frac\psi(f’(x)h+\phi(h))=0. \endeqnarray* فرض کنیم $\epsilon$ مفروض باشد. با استفاده از (*)، $\delta_1,\delta_2,\delta_3>0$ وجود دارد بطوریکه $|\psi(t)|\le\varepsilon|t|$ هنگامی که $|t|\le\delta_1$، $|f’(x)h+\phi(h)|\le\delta_1$ هنگامی که $|h|\le\delta_2$ و $|\phi(s)|\le|s|$ هنگامی که $|s|\le\delta_3$. بنابراین برای تمام $۰<|h|\le\min(\delta_2,\delta_3)$ داریم \beginalign* \frac &\le \varepsilon\left(\fracf'(x)h+\frac\phi(h)\right) \\ &\le \varepsilon(|f'(x)|+1). \endalign* $\square$

قضیه ۵: فرض کنیم $F_1,\dots,F_m$ فضاهای باناخ باشند و $A\subseteq E$ مجموعه باز و $f:A\to F_1$ و $g:A\to F_2$ در $x\in A$ مشتق پذیر باشند.

اگر $f$ تابع ثابت باشد $f'(x)=0$

اگر $f(x)=\lambda x$ برای نگاشت خطی پیوسته $\lambda$. آنگاه $f'(x)=\lambda$

اگر $F_1=F_2$، آنگاه $(f+g)’(x)=f’(x)+g’(x)$.

برای تمام اسکالر ها $c$ داریم $(cf)’(x)=cf’(x)$.

(قاعده ضرب). فرض کنیم یک نگاشت دوخطی پیوسته $\cdot:F_1\times F_2\to G$ وجود دارد. آنگاه \begineqnarray* (fg)’(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x), \endeqnarray* که $f’(x)g(x)$ نگاشت خطی می باشد که بصورت $f’(x)g(x)u=f’(x)u\cdot g(x)$ تعریف می شود.

اگر $h:F_1\times\cdots\times F_m\to G$ نگاشت چند خطی پیوسته باشد، آنگاه داریم \begineqnarray* h’(x_1,\dots,x_m)(u_1,\dots,u_m)=\sum_j=1^m h(x_1,\dots,u_j,\dots,x_m). \endeqnarray*

اثبات: اثبات ۴ قسمت اول واضح می باشد. ما فقط به اثبات قسمت ۵ می پردازیم. \beginalign* ۰ &= \lim_h\to 0\frac[f(x+h)-f(x)-f'(x)h]g(x+h)+f(x)[g(x+h)-g(x)-g'(x)h] \\ &= \lim_h\to 0\frac(fg)(x+h)-(fg)(x)-[f'(x)g(x+h)+f(x)g'(x)]h.\tag* \endalign* حال چون $g$ و $\cdot$ پیوسته می باشد. لذا اگر $h\to 0$ داریم \begineqnarray* \fracf’(x)h[g(x+h)-g(x)] \le |f’(x)||g(x+h)-g(x)| \to 0 \endeqnarray* در نتیجه \begineqnarray* \lim_h\to 0\fracf’(x)h[g(x+h)-g(x)] = 0. \endeqnarray* و با اضافه کردن به (*) خواهیم داشت \begineqnarray* \lim_h\to 0\frac(fg)(x+h)-(fg)(x)-[f'(x)g(x)+f(x)g'(x)]h=0. \endeqnarray* $\square$

قضیه ۶: فرض کنیم $E$ یک جبر باناخ و $U$ مجموعه باز شامل عناصر معکوس پذیر باشد. آنگاه نگاشت $x\mapsto x^-1$ روی $U$ مشتق پذیر می باشد و مشتقش در نقطه $x$ توسط نگاشت \begineqnarray* u \mapsto -x^-1ux^-1. \endeqnarray* تعریف می شود.

اثبات: داریم \beginalign* (x+h)^-1-x^-1+x^-1hx^-1 &= (x(e+x^-1h))^-1-x^-1+x^-1hx^-1 \\ &= (e+x^-1h)^-1x^-1-x^-1+x^-1hx^-1 \\ &= [(e+x^-1h)^-1-(e-x^-1)]x^-1.\tag* \endalign* برای $h$ های بقدر کافی کوچک داریم $|e-(e+x^-1h)|=|x^-1h|<1/2$ در نتیجه \beginalign* |(e+x^-1h)^-1-(e-x^-1h)| &= \left\vert \sum_k=0^\infty (-x^-1h)^k – (e-x^-1h) \right\vert \\ &= \left\vert \sum_k=2^\infty (-x^-1h)^k \right\vert \\ &\le \frac^2 \\ &= \fracx^-1h \\ &< |x^-1||h|. \endalign* که با ترکیبش با (*) خواهیم داشت \begineqnarray* \frac(x+h)^-1-x^-1+x^-1hx^-1 \to 0\qquad \mboxif\qquad h\to 0 \endeqnarray* $\square$

نتیجه ۷(قاعده تقسیم): فرض کنیم $F_1$ یک فضای باناخ و $F_2$ یک جبر باناخ باشد و $U$ مجموعه باز شامل عناصر معکوس پذیر $F_2$ باشد. $A\subseteq E$ یک مجموعه باز و $f:A\to F_1$ و $g:A\to U$ در $x\in A$ مشتق پذیر باشند. فرض کنیم یک نگاشت دوخطی پیوسته $\cdot:F_1\times F_2\to G$ موجود باشد. $f^-1g$ را برای نگاشت $(fg^-1)(x)=f(x)g(x)^-1$ می نویسیم. آنگاه نگاشت $(fg^-1)’(x)$ بوسیله زیر بدست می آید \begineqnarray* u \mapsto [f'(x)u]g(x)^-1-f(x)g(x)^-1[g'(x)u]g(x)^-1. \endeqnarray* بویژه اگر $F_2$ تعویض پذیر باشد داریم \begineqnarray* (f/g)’(x)=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]g(x)^-2. \endeqnarray*

ادامه دارد

پاورقی   [ + ]

↑ 1. Fréchet derivative ↑ 2. continuously differentiable↑ 3. of class $C^1$

function footnote_expand_reference_container() jQuery('#footnote_references_container').show(); jQuery('#footnote_reference_container_collapse_button').text('-'); function footnote_collapse_reference_container() jQuery('#footnote_references_container').hide(); jQuery('#footnote_reference_container_collapse_button').text('+'); function footnote_expand_collapse_reference_container() if (jQuery('#footnote_references_container').is(':hidden')) footnote_expand_reference_container(); else footnote_collapse_reference_container(); function footnote_moveToAnchor(p_str_TargetID) footnote_expand_reference_container(); var l_obj_Target = jQuery('#' + p_str_TargetID); if (l_obj_Target.length) jQuery('html, body').animate( scrollTop: l_obj_Target.offset().top - window.innerHeight * 0.12 , 80);

[sh22ycom]

مفارقة Sierpinski - Mazurkiewicz

مفارقة Sierpinski – Mazurkiewicz

يمكنك الاستماع للمقالة عوضاً عن القراءة ب النقر هنا

فعّل واجهة الاستماع

رأينا في مفارقة باناخ-تارسكي (هنا ) أنّه من الممكن تجزئة كرة مصمتة ثلاثيّة الأبعاد إلى خمس أجزاء وإعادة تجميعها لنحصل على كرتين مصمتين كل منهما بحجم الكرة الأصلية، وذلك دون تغيير في شكل الأجزاء. بناء هذه المفارقة يعتمد على ما يدعى بـ “بديهيّة الاختيار “، لكن بإمكاننا بناء مفارقة…