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SO

Being $p: \tilde{X} \rightarrow X$ a finite covering map, I'm trying to prove the following property. Let $V\subset \tilde{X}$ be open containing $p^{-1}(x)$, then there exists an open subset $O_x$ such that $p^{-1}(O_x)\subset V$. As $p$ is a covering map is open. So I thought I could use that for any open $\tilde{x} \in V \subset \tilde{X}$ there exists an open $x = f(\tilde{x}) \in O$ such that $O \subset f(V)$. Because of fiber being finite, $p^{-1}(x)=\{x_1, \dots, x_k\}$. So, $V$ would be neighbourhood of each $x_i$ $i=1,\dots,k$ and there exists $O_i \subset p(V)$. Then $p^{-1} (O_i) \subset p^{-1}(p(V))$ but this isn't $V$ as $p$ is not necessarily injective. I haven't used that $p$ is a local homeomorphism. I have read this property is equivalent to $p$ being closed. I have read this proof of finite covering map being closed https://math.stackexchange.com/questions/336827/why-must-a-finite-covering-map-be-closed.

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T proper initial segment de U

Nos encontramos, leyendo la tercera prueba sobre el Lema de Zorn. Esto es obsesión de finiquitar un trabajo veraniego inútil para cualquier asignatura pero satisfactorio personalmente. Ya sabemos que no podemos permitirnos el tiempo en buscar cada Lema inferior en el que se basa un resultado. No te da información sobre el resultado principal. De hecho, ni la prueba suele ayudar a la aplicación del resultado. Sin embargo, emplear varios días de verano profundizando en esta prueba (con éxito) y encontrar una mejor (más corta), hipótesis más débil. Initial segment como lowerset, o downward-closet-set. Old initial segment como ideal principal generado por x. ¿Es cierto que la Unión de todos los subconjuntos f-inductivos en both es la intersección de ellos? Sí, sabiendo que de hecho es uno de los dos, que están contenido y por tantó, siendo la intersección uno de ellos. Pero volvamos al origen del desesperación matemática. Tras presentar un esbozo con recursión transfinita (es lo mismo que contar ordinales?). No olvidemos que esta desesperación se iguala a la de solucionar fallo tras fallo en un sistema de software. O repetir las mismas acciones día tras día. A veces es incluso la recompensa propia (¿Cómo olvidar "Un día Normal" en el que describo una rutina perfecta de trabajo y placer durmiente). Sobrecalentamiento. El agua ayuda. Vale. Ahora con el sonidito de agua en Youtube, animando esta paz ataráxica de "libertad de" ocupación siendo ocupada (conquistada), convirtiéndola en "libertad para", procedamos a presentar el problema y tratar de encontrar solución. (Ric en dialógo con Ric). En primer lugar, AC (Axioma de Elección) nos da una función f que asigna a cada cadena una cota superior estricta. (Se puede pues toda cadena esta acotada superiormente por hipótesis). Si hubiera una cadena con un elemento máximal de P, entonces tenemos el resultado. Si una cadena S no tiene un elemento maximal de P, entonces es que hay cotas superiores estrictas. La idea es, fijado un p, presentar una clase de conjuntos C f-inductivos, que son subconjuntos S de P cumpliendo: i) S son (cadenas) bien ordenadas en P ii) p es min de S iii) Para cualquier T

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Easy to prove and classical

Situación rocambolesca que debe llegar a su fin. Me encuentro preguntando en Stackexchange acerca de por qué cierto lema es equivalente a que la aplicación recubridora p sea cerrada. En efecto, en general toda aplicación recubridora es un homeomorfismo local y por tanto abierta. También se puede probar mediante p(O) abierto usando la caracterización entorno de todos sus puntos. Además, toda aplicación recubridora es sobreyectiva y continua y añadiendo la apertura, se tiene que es identificación. Claramente, no toda identificación es aplicación recubridora igual que no todo homeomorfismo local lo es. Asumimos que los espacios son localmente arcoconexos y arcoconexos. Una consecuencia es que las arcocomponentes de abiertos son abiertas. Bien. Pues, recordemos que cada punto del espacio base tiene un entorno fundamental abierto o distinguido para el cual su preimagen es una unión disjunta de copias homeomórficas (arcocomponentes) de este. La preimagen del punto se denomina la fibra. El cardinal de la fibra está 1-1 con las arcocomponentes, de manera que la fibra interseca a cada arcocomponente abierta en un solo punto. Estas arcocomponentes también se les llama rebanadas pues el caso trivial de espacios recubridores son los espacios tortitas. Un resultado acerca de esto es que el cardinal de la fibra es invariante. En particular, el número de hojas o de rebanadas siempre es el mismo. Por eso, se puede hablar de espacio recubridor finito o con número finito de hojas. Pues bien, es un espacio recubridor con un número finito de hojas. Si el espacio base es compacto, el recubridor también. Hemos entendido la demostración de Henno Brandsma que es más explícita que los apuntes del clásico. https://math.stackexchange.com/questions/3159166/finitely-sheeted-covering-space-of-a-compact-space-is-compact/3159221?noredirect=1#comment8988327_3159221. Intentamos entender por tanto la prueba del Lema que usa, que probó Rouchan Liu (el que realiza la pregunta). El lema en cuestión es: Sea U abierto del espacio recubridor que contenga a la fibra de b. Entonces hay un entorno abierto de b cuya preimagen está contenida en U. Otra resultado es que en un espacio recubridor con número finito de hojas, la aplicación recubridora es cerrada. Pues, bien. El Lema es equivalente a que la aplicación sea cerrada, que como dice el título de esta entrada en inglés, es fácil de probar y clásico! Recordemos que una aplicación es cerrada por def si la imagen de todo cerrado es cerrado. Una forma primitiva y no recomendable de probar que un conjunto es cerrado es que su complementario sea abierto. De hecho así es como se prueba que la aplicación recubridora de un espacio recubridor con número finito de hojas es cerrada. Otra forma es usar lo siguiente: Para un recubrimiento por abiertos arbitrario de un espacio X. F es cerrado si y solo si todo abierto del recubrimiento U_i F \cap U_i es cerrado en U_i. Esto me perturba porque ser cerrado en U_i significa usar la topología relativa de U_i. De hecho una implicación es evidente. Si F es cerrado entonces F \cap U_i es cerrado en U_i. Es la otra la que aporta valor. Esto es de utilidad para probar el Lema? No creo. Al menos hay abiertos, como en el lema, en el cual no hay ningún cerrado. Aunque los cerrados son complementarios de abiertos. Repitiendo el Lema. Para todo U abierto del espacio recubridor que contenga a la fibra de x, existe un entorno abierto de O_x tal que su preimagen está contenida en U. En primer lugar, HAY que hacer uso de que la fibra es finita. Entonces lo que contiene el abierto U es un número finito de puntos. De hecho como hemos dicho antes, cada uno de esos puntos tiene una rebanada V asociada homeomorfa a p(V) que es entorno fundamental de x. Pero cual es la relación entre V y U? Un hecho interesante es que los entornos fundamentales son base de entornos del espacio base. Como U contiene a la fibra de x, x está en p(U). Pero por ser los entornos fundamentales base, hay un entorno abierto O_x tal que x en Ox en p(U). El problema viene ahora. Al sacar preimagenes obtenemos: fibra en p^-1(Ox) en p^-1 ( p(U) ) Si p^-1 ( p(U) ) = U entonces claramente, se tendría el resultado para O_x. Pero esto no es cierto porque p no es inyectiva en general, si lo fuera p sería homeomorfismo y no hablariamos de enrollar, tortias y espacios recubridores. U está en p^-1 (p(U) ) que es abierto por ser p continua y abierta. Pero no nos dice que contenga a p^-1 (Ox) . Hemos utilizado que la fibra es finita. Eso bastaría pues es equivalente a que p sea cerrada. Otra idea, sería sacar las componentes arcoconexas de U que son abiertas. Como la fibra siempre está contenida en rebanadas disjuntas arcoconectadas, si está contenida en U, realmente está contenida en unos V_i finitos que están U y cuya unión está en U. Pero esto nos lleva a algo como: Union p^-1(V_i) en p^-1 ( p(V_j) )

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Norma de una matriz por un vector ortogonal @cs

En una demostración encontramos la norma de una Matriz multiplicada por un vector igual a la norma de un vector. Esto se tiene (creo) que porque la matriz pertenece a O(3). Creo que esto era el grupo de matrices ortonormales. Las que van asociadas a los movimientos rígidos. Esto es contenido de Geometría III. Perdón de Geometría II. Una isometría linreal entre dos espacios vectoriales métricos (V,g) y (W,h) se define como un isomorfismo f: V -> W que conserva las métricas, es decir, que verifica g(u,v) = h(f(u), f(v)) para todos u,v de V Lo encontré en StackExchange: Si H es ortonormal, entonces ||Hx|| = ||x|| ya que ||Hx||^2 = (Hx)^T Hx = x^T H^t H x = x^T x = ||x||^2 https://math.stackexchange.com/questions/1754712/orthogonal-matrix-norm

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Integral de linea sobre un campo vectorial.

Trabajo https://ncatlab.org/nlab/show/line+integral https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calciii/LineIntegralsVectorFields.aspx https://mathinsight.org/line_integral_vector_field_introduction https://math.stackexchange.com/questions/4240285/dot-product-in-a-line-integral-of-a-vector-field

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LMD Inducción y Recursión

Página 11. Errata en factorización (n+1)(n+2)(n+3) - n(n+1)(n+2) = = (n+3-n)(n+1)(n+2) = 3(n+1)(n+2)

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Entrada 1

Esta en la primera entrada del diario Algunos de los tags son @jrnl @diario