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Gentile Prof. Tibullo, potrebbe caricare le prove di Istituzioni di Fisica Matematica fino a luglio 2024? La ringrazio

Caricate le prove fino a settembre 2024

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Se scegliamo come coordinata lagrangiana l'angolo \(\theta\) che l'asta \(OA\) forma con l'asse \(x\), allora s ha \begin{align} A &= (+L\cos\theta, L\sin\theta), \\\ B &= (-L\cos\theta, L\sin\theta), \\\ C &= (+L, L\sin\theta), \\\ D &= (-L, L\sin\theta) \end{align}

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gentile professore, come si scompone un vettore tangente in un punto?

Non mi è chiaro cosa intendi, cerca di elaborare un po’ meglio

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Nel piano xy di un sistema di riferimento cartesiano Oxyz sia assegnato il sistema materiale, rappresentato in figura, dato dalla curva astroide (di densita lineare costante pari a µ0) la cui equazione cartesianae: (gamma ) = ( x (t) = R1 + cos3 t

y (t) = R1 + sin3 t t appartiene [0, 2pigreco] Per il suddetto sistema materiale determinare i momenti d’inerzia rispetto agli assi coordinati ed alla retta di equazione cartesiana individuata dall'intersezione di ( x + y + z = 0 x- y -z = 0

Gentile professore, volevo chiederle se i prodotti di inerzia di questo esercizio di esame sono nulli. grazie

La traccia non è chiara, mi risulta che sia questa: \begin{align}   x(t) = R(1+\cos^3 t) \\\   y(t) = R(1+\sin^3 t) \end{align} Il prodotto d’inerzia rispetto agli assi \(xy\) non può essere nullo, dato che la figura giace tutta nel I quadrante, quindi la funzione integranda ha segno costante. Gli altri due prodotti d’inerzia sono nulli perché la figura è piana.

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Gentile professore, in merito alla prova d'esame del 12/02/2024 volevo chiederle se le coordinate trovate fossero corrette: A=(s, (s+a)^2/a), B=(s+2a, (s+a)^2/a), G=(s+a, (s+a)^2/a), C=(s+a+2acosteta, (s+a)^2/a+2asinteta), H=(s+a+acosteta, (s+a)^2/a+asinteta). Grazie mille

Sì, sono corrette

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Gentile professor Tibullo, buongiorno. Ho un dubbio circa gli integrali primi di moto. è corretto dire che, sia nel formalismo hamiltoniano, sia nel formalismo lagrangiano, il numero di integrali primi di cui necessiteremmo per ottenere il moto del sistema è pari al doppio dei gradi di libertà? La ringrazio per il suo tempo.

Sì, è corretto

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Gentile professore, vorrei chiederle chiarimenti su come si derivano le equazioni di Hamilton per un sistema lagrangiano. Per definizione: H=H(q,p,t). Per il teorema delle funzioni implicite, i momenti cinetici sono espressi in funzione delle velocità generalizzate ma (se non erro) dipendono al contempo da t e dallo stesso vettore q. Perché allora la derivata parziale di H rispetto alla coordinata generalizzata non tiene conto della dipendenza funzionale di p da q?

I momenti cinetici dipendono da \(q,\dot{q},t\) quando visti come funzioni nel formalismo lagrangiano: \[     p_h = \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_h}(q,\dot{q},t). \] Quando si passa al formalismo hamiltoniano, cioè alla hamiltoniana e alle relative equazioni di Hamilton, questa relazione si inverte (per ogni \(q,t\) fissati) in modo tale che \(\dot{q}\) risulta una funzione dipendente da \(q,p,t\) e \(p\) è considerata una variabile indipendente.

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2) Il tensore di inerzia è un tensore del secondo ordine. La sua rappresentazione dipende fortemente dal sistema di riferimento. Per sistemi principali, si considerano gli autovalori che sono invarianti scalari per un applicazione lineare. Questo significa che se passiamo da una terna principale ad un'altra (mantenendo costante l'origine) la matrice di inerzia, dunque il modo in cui rappresento il tensore, non cambia?

Sì, è quasi corretto, potrebbe cambiare solo l'ordine degli autovalori, ma in ogni caso la forma sarà diagonale con gli autovalori sulla diagonale.

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Il notebook a cui mi riferivo nella precedente risposta

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Gentile prof. Tibullo, mi piacerebbe rivolgerle due domande: 1) è possibile sapere quale applicazione/software/piattaforma di programmazione utilizza per le animazioni dei sistemi materiali?

L’applicazione che utilizzo è Wolfram Mathematica e di seguito mostro delle schermate dove si vede un notebook scritto nel linguaggio di questa applicazione di calcolo simbolico. In un successivo messaggio posterò un link al notebook per chi volesse scaricarlo e provarlo

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Aggiornamento prove scritte

È stato aggiornato il file contenente le prove scritte di Istituzioni di Fisica Matematica, per includere tutte le tracce fino a quella di settembre 2023 inclusa.

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Gentile professore, in merito alla prova di istituzioni di fisica del 15/11/2021, volevo chiederle se fosse possibile avere un disegno del sistema materiale dell' esercizio.

[15 novembre 2021]

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Gentile professore, nella prova del 13/05/2011 volevo chiederle se per il dominio del terzo quadrante è corretto imporre rho tra -a e 0. Inoltre non so perchè ma la massa mi risulta negativa.

[13 maggio 2011]

No, non è corretto: \(\rho\) è una variabile non negativa.

La scelta giusta è \( 0 \leq \rho \leq a \), mentre il fatto che sia il terzo quadrante è tenuto in conto dalla scelta degli estremi per la variabile angolare \( \theta \).

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Gentile professore, in merito alla prova di ingegneria del 30/10/2018, volevo chiederle se fosse possibile avere un'animazione del sistema materiale dell' esercizio al punto 2. Avrei difficoltà nel capire il moto che compie la seconda asta BC. La ringrazio dell'aiuto.

[30 ottobre 2018]

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Gentile Professore, le volevo chiedere un chiarimento su delle nozioni teoriche del corso di Istituzioni di Fisica Matematica . Cosa si intende per varietà, carta e carta della varietà?

Brevemente, dato che non è il caso di fare un corso di Geometria Differenziale.

Dato un sistema materiale discreto costituito da \(N\) punti materiali, in assenza di vincoli l'insieme delle posizioni possibili per il sistema è in corrispondenza biunivoca con \(\mathbb{R}^{3N}\). Questo è evidente se per ogni punto consideriamo le sue tre coordinate cartesiane rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano ortogonale.

In presenza di vincoli, l'insieme si riduce e forma una ipersuperficie in \(\mathbb{R}^{3N}\). Per quella che io chiamo ipersuperficie, la geometria differenziale usa il nome più appropriato di varietà differenziabile.

Su una superficie è noto il fatto che si possono adottare delle coordinate locali, che corrispondono ai parametri di una rappresentazione parametrica della superficie.

Queste coordinate sono dette locali in quanto non sempre è possibile avere una rappresentazione parametrica valida per l'intera superficie e che soddisfi il criterio fondamentale della biunivocità (oltre alle richieste di regolarità, che qui per semplicità tralascio).

Un carta è come una cartina, una mappa che rappresenta una porzione della superficie terrestre ed è essenzialmente una corrispondenza biunivoca tra i punti della superficie e le coordinate locali.

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buongiorno professore, volevo chiederle se fosse giusto il seguente risultato: svolgendo la prova del 23/06/2016 di istituzioni di fisica ho trovato , dopo aver calcolato l'energia potenziale , s=0 dove s è la seconda coordinata lagrangiana e l'ho utilizzata per scrivere le coordinate del punto P(s costeta, s sinteta). Grazie mille .

[23 giugno 2016]

Non mi è chiaro per quale motivo sarebbe \(s=0\).

Avrebbe avuto senso se avessi scritto "\(s=0\) all'equilibrio", ma non parli di equilibrio. Ad ogni modo sarebbe stato comunque sbagliato, dato che \(s\) è diverso da zero nelle posizioni di equilibrio.

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Gentile professore, dove è possibile trovare gli svolgimenti delle prove di meccanica razionale caricate?

TL;DR: non è possibile

Risposta lunga: non abbiamo una raccolta degli svolgimenti delle prove scritte di Meccanica Razionale, anche se è possibile che in un futuro non troppo lontano sarà messa a disposizione una dispensa con gli svolgimenti, ma non trattenete il fiato mentre aspettate :)